初中数学因式分解的几种经典技巧

初中数学因式分解的几种经典方法
息县六中陈岳
因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。

下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。

【1】提取公因式
这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
2x-3x=0
例一：2
解：x(2x-3)=0
x=0,2x=3/2
1
这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式
这对我们后面的学习有帮助。

【2】公式法
将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：2x-4分解因式
分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2
解：原式=(x+2)(x-2)
【3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c
分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写
成结果
例三： 把22x -7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1 =5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3 =7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1) =-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3) =-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 原式=(x-3)(2x-1).
总结：对于二次三项式2ax +bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=21.a a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=21.c c ，把2121,,,c c a a ，排列如下：
╳
按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式2ax +bx +c 的一次项系数b ，即1221c a c a +=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式1a x+c1与22c x a +之积，即
2ax +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).
这种方法要多实验，多做，多练。

它可以包括前两者方法。

【4】分组分解法
也是比较常规的方法。

一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来
需要可持续性！
例四：2244y x x -++
可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式
解：原式=22)2(y x -+
=(x+2+y)(x+2-y)
总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

【5】换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
例五：1)(2)(2++-+y x y x 分解因式
考虑到x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a 代替x+y
那么原式=2a -2a+1
=2)1(-a
回代
原式=2)1(-+y x
【6】主元法
这种方法要难一些，多练即可
即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数
例六：4222)1()1(216x y y x y -+++
分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y 为主元会使原式极其
烦琐，而以x 为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=y x y x y 16)1(2)1(2242+++----------------------【主元法】
=)2)(82(22222+++-x y x y x y x ---------------------【十字相乘法】
可见，十字相乘十分重要。

【7】双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。

是用来分解形如f
2的二次六
+
+
+
+2
ey
dx
cy
ax+
bxy
项式
在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。

则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy
＋k）
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例七：2
2-
-
ab分解因式
a
b
+
+b
解：原式＝0×1×2a＋ab＋2b＋a－b－2
＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）
＝（b＋1）（a＋b－2）
【8】待定系数法
将式子看成方程，将方程的解代入
这时就要用到【1】中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式
例八：2x+x-2
该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做，2x+x-2=0
一眼看出，该方程有一根为x=1
那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）
一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）
所以另一因式为（x+2）
分解为(x-1)(x+2)
【9】列竖式
让人拍案叫绝的方法。

原理和小学的除法差不多。

要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候，一定要让第一项抵消
例九：25323-+x x 分解因式
提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）
那么该式分解为（x+1）(23x +2x-2)
因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

xy ＋6－2x －3y
(x ＋2)(x －3)＋(x ＋2)(x ＋4)
12x^2－29x ＋15
x(y ＋2)－x －y －1
5ax+5bx+3ay+3by
12a 2b(x －y)－4ab(y －x)
(x －1)2(3x －2)＋(2－3x)
x 2－11x ＋24
y 2－12y －28
x 2＋4x －5
y4－3y3－28y2
蚊子与牛一样重
从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。

有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。

它认为，可以设自己的体重为a,牛的体重为b，则有：a2－2ab＋b2=b2－2ab＋a2
左右两边分别因式分解为：(a－b)2=(b－a)2
从而就有：a－b=b－a
移项，得：2a=2b,
即a=b
蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！
①请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？
②讲这个例子的目的何在？。