考研数学三(矩阵及其运算)-试卷1

考研数学三（矩阵及其运算）-试卷1
(总分：54.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是
（分数：2.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：解析：由于CC * =｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题不妨附加条件A，
B可逆，那么
3.设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有
（分数：2.00）
A.CBA=E．
B.BCA=E．√
C.BAC=E．
D.ACB=E．
解析：解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立．
4.设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=
（分数：2.00）
A.E．√
B.-E．
C.A．
D.-A．
解析：解析：由B-C=(E-A) -1 -A(E-A) -1 =(E-A)(E-A) -1 =E(或B-C=B-AB=E)．故选(A)．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)
5.已知n阶行列式｜A｜A｜的第k行代数余子式的和A k1 +A k2+…+A kn = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式与伴随矩阵A *有密切的联系，而A *与A -1又密不可分．对于A用分块技巧，很容易求出A -1．由于又因A * =｜A｜A -1，那么
6.已知(A * ) -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由AA * =｜A｜E，有
7.已知 A -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：A= =5B -1，求B -1可用公式(2．
8.设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A-2B，(A+2E) -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由AB=A-2B有AB+2B=A+2E-2E，得知(A+2E)(E-B)=2E，即(A+2E). (E-B)=E．故(A+2E)
-1(E-B)．
9.设B=(E+A) -1 (E-A)，则(E+B) -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由于B+E=(E+A) -1 (E-A)+E=(E+A) -1 (E-A)+(E+A) -1 (E+A) =(E+A) -1 [(E-A)+(E+A)]=2(E+A)
-1，故 (B+E) -1(E+A)．
10.如A 3 =0，则(E+A+A 2 ) -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：E-A）
解析：解析：注意(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 3 =E．
11.设3阶方阵A，B满足A -1 BA=6A+BA．且B= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由题设知，A可逆．然后在题设关系式两端右乘A -1有：A -1 B=6E+B，在该式两端左乘A，
得B=6A+AB．移项得(E-A)B=6A，则B=6(E-A) -1 A．于是由
三、解答题(总题数：16，分数：32.00)
12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
13.设A为n阶可逆矩阵，证明：(A * ) * =｜A｜n-2 A．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用伴随矩阵A *替换关系式AA * =｜A｜E中的矩阵A，得到 A * (A * ) * =｜A *｜
E．由于｜A *｜=｜A｜n-1，从A可逆知A *可逆．又因(A * ) -1 = ，于是得到 (A * ) * =｜A *｜
(A * ) -1 =｜A｜n-2=｜A｜n-2 A．)
解析：
14.设A是n阶正交矩阵，证明A *也是正交矩阵．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由AA T =E，从行列式乘法公式知｜A｜2 =｜A｜.｜A T｜=1．又因A -1 =A T，于是A * =｜A｜A -1 =｜A｜A T，那么A * (A * ) T =｜A｜A T .｜A｜A=｜A｜2 A T A=E．类似地(A * ) T A * =E．所以，A *是正交矩阵．)
解析：
15.已知A是3阶非零矩阵，且a ij =A ij，2，3)，证明A可逆，并求｜A｜．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为A是非零矩阵，不妨设a 11≠0，那么按第一行展开，并将a ij =A ij代入，
即有所以，A可逆．由于=(A * ) T，即A T =A *，那么对AA * =｜A｜E两边取行列式，有｜A｜2 =｜A｜.｜A T｜=｜｜A｜E｜=｜A｜3，得｜A｜2 (｜A｜-1)=0．从而｜A｜=1．)
解析：
16.求
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：用伴随矩阵(2．10))
解析：
17.已知A是n阶对称矩阵，且A可逆，如(A-B) 2 =E，化简(E+A -1 B T ) T (E-BA -1 ) -1．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原式=[E T +(A -1 B T ) T ][AA -1 -BA -1 ] -1 =[E+B(A -1 ) T ][(A-B)A -1 ] -1 =[E+B(A T ) -1 ]A(A-B) -1 =(E+BA -1 )A(A-B)=(A+B)(A-B)．)
解析：
18.设A是n阶矩阵，若A 2 =A，证明A+E可逆．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：由于A 2=A，故A 2-A-2E=-2E，那么(A+E)(A-2E)=-2E，即按定义可知A+E 可逆．)
解析：
19.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，证明A-E可逆．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由AB=A+B有AB-B-A+E=E，于是(A-E)B-(A-E)=E．故(A-E)(B-E)=E．所以按定义知A-E可逆．)
解析：
20.已知X，Y是相互正交的n维列向量，证明E+XY T可逆．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：记A=XY T，则A 2 =(XY T )(XY T )=X(Y T X)Y T =0，于是A的特征值全是0，那么E+A的特征值全是1，所以E+XY T可逆．)
解析：
21.设A，B是n阶矩阵，E-AB可逆，证明E-BA可逆．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(反证法) 如｜E-BA｜=0，则齐次方程组(E-BA)x=0有非零解，设η是其非零解，则 (E-BA)η=0，即BAη=η，且η≠0． (*) 对于齐次方程组(E-AB)x=0，由于
(E-AB)Aη=Aη-(AB)Aη-Aη-A(BAη)=Aη-Aη=0，从(*)式易见Aη≠0．这样(E-AB)x=0有非零解Aη，这与E-AB可逆相矛盾．)
解析：
22.设A，B分别是m阶和n阶可逆矩阵，证明：矩阵H可逆，并求其逆H -1．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：因为A，B均可逆，由拉普拉斯展开式(1．6)有所以矩阵H可逆．设H -1=
解得X=A -1，Y=O，Z=-B -1 CA -1，W=B -1．故)
解析：
23.A．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
24.X．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：记A= ，用初等行变换(2．14)，得从增广矩阵的第一列解出x 3=2，
x 2 =t， x 1 =-3t-1．同理 y 3 =0，y 2 =u，y 1 =4-3u， z 3 =5，z 2 =v， z 1 =-3v-11，故，其中t，u，v为任意常数．)
解析：
25.设4阶矩阵A(E-C -1 B) T C T =E，求A．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：由于A(E-C -1B) T C T=A[C(E-C -1B)] T=A(C-B) T，于是A=[(C-B) T] -1) 解析：
26.设矩阵A的伴随矩阵A * ABA -1 =BA -1 +3E．① 求矩阵B．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由｜A *｜=｜A｜n-1，有｜A｜3=8，得｜A｜=2．又因(A-E)BA -1=3E，有(A-E)B=3A，
左乘A *，得 (｜A｜E-A * )B=3｜A｜E，即(2E-A * )B=6E．故B=6(2E-A * ) -1．)
解析：解析：对矩阵方程①化简，右乘A得．由于已知条件是A *，可继续变形，用A *左乘上式并用关系式AA *=A *A=｜A｜E得B=3｜A｜(｜A｜E-A *) -1．因此，应先求出｜A｜，再求逆．
27.已知=8A -1 B+12E，① 求矩阵B．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于｜A｜=4，用矩阵A左乘方程①两端，有因为AA *=｜A｜E=4E，｜A｜A=A，故 4BA=8B+12A，即 B(A-2E)=3A．那么 B=3A(A-2E) -1．)
解析：解析：由于(kA) * =k n-1 A *， (A * ) * =｜A｜n-2 A，可见AA * =｜A｜E，只要先求出｜A｜的值，就可把矩阵方程①化简．。