向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案

向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案
§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义
⼀．知识点梳理
1．⽤“相反向量”定义向量的减法：
1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a
2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。

任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。

如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法
2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：
若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b
3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的
终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量
注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.
4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）
5.向量减法与向量加法的⽐较：
（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-
⼆．例题讲解
例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d
解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,
作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d
例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，a
AD=，⽤a，b表⽰向量AC、
AB=，b
DB
解：由平⾏四边形法则得： D C
AC= a + b,DB= AD
AB- = a-b b
A a
B 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
解析:BC=AC-AB.
(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;
(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;
(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.
综上,可知3≤|BC|≤13.
答案:C
点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
三．课堂练习
1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,
结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.
答案:B
2 判断题:
(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.
(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.
(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;
若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,
此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.
(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.
(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两
条对⾓线的长,其⼤⼩不定.
当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有
(2)正确.
四.内容⼩结
本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则
§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义
教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤
⼀．知识点梳理
1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算
记作λa
. 它的长度和⽅向规定如下：
（1）
|λ
a|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a
的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =
.
2.运算律：设a 、b
为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：
（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+
.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。

3.共线向量定理
0.),(,a b a b a λλ≠= 向量与共线当且仅唯⼀⼀个当有实数使
⼆．例题讲解
例1，计算 (3)4;
3()2();
(23)(32).a a b a b a a b c a b c -?+---+---+
(1)(2)(3)解：(3)412a a -?=-
(1)
3()2()3223215a b a b a a b a b a
a b b +---=+3-+-=--++=
(2)（）（32）
(23)(32)
52a b c a b c a b c c
a b c
+---+=-++--=-+-
(3)（23）（32）
例2 如图3,已知任意两个⾮零向量a 、b ,试作OA =a +b ,OB =a +2b ,OC =a +3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么
图3
解:如图3分别作向量OA 、OC 、
OB 过点A 、C 作直线AC.观察发现,不论向量a 、
b 怎样变化,点B 始终在直线AC 上,猜想A 、B 、C 三点共线. 事实上,因为AB =OB -OA =a +2b -(a +b )=b , ⽽AC =OC -OA =a +3b -(a +b )=2b , 于是AC =2AB . 所以A 、B 、C 三点共线.
点评:关于三点共线问题,学⽣接触较多,这⾥是⽤向量证明三点共线,⽅法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.
例3 如图4, ABCD 的两条对⾓线相交于点M,且AB =a ,AD =b ,你能⽤a 、b 表
⽰MC 、、MB 、MA
和MD 吗?
图4
解:在ABCD 中,
∵AC =AB +AD =a +b ,DB =AB -AD =a -b , ⼜∵平⾏四边形的两条对⾓线互相平分, ∴MA =21-
AC =21-(a +b )=2
1-a -21
b ,
MB =21DB =21(a -b )=21a -21b ,
MC =21AC =21a +2
1b ,
MD =MB -=-21DB =-21a +2
1
b .
点评:结合向量加法和减法的平⾏四边形法则和三⾓形法则,将两个向量的和或差表⽰出来,这是解决这类⼏何题的关键.
例 4.如下图所⽰，凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F,求证:EF =
2
1
(AB +DC ). 分析:能否构造三⾓形,使EF 作为三⾓形中位线,借助于三⾓形中位线定理解决,或创造相同起点,以建⽴向量间关系.
图5
解:⽅法⼀:过点C 在平⾯内作CG =AB , 则四边形ABGC 是平⾏四边形, 故F 为AG 中点.(如图5) ∴EF 是△ADG 的中位线.
∴EF
21
DG. ∴EF =2
1
DG .
⽽DG =DC +CG =DC +AB , ∴EF =
2
1
(AB +DC ). ⽅法⼆:如图6,连接EB 、EC,则有EB =EA +AB ,EC =ED +DC ,
图6
⼜∵E 是AD 之中点, ∴有EA +ED =0, 即有EB +EC =AB +DC .
以EB 与EC 为邻边作EBGC,则由F 是BC 之中点,可得F 也是EG 之中点. ∴EF =
21EG =21(EB +EC )=2
1
(AB +DC ). 点评:向量的运算主要从以下⼏个⽅⾯加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三⾓形法则和平⾏四边形法则的运⽤练习,做到准确熟练运⽤.
三．课堂练习
1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( )
A.a +b
B.-a +(-b ).
C.a -b
D.b -a
2．在ABC ?中， , AB c AC b == ，若点D 满⾜2BD DC = ，则AD
=（）．
A. 2133b c + .
B. 5233c b -
C. 2133b c -
D. 1233b c
+
3、如图 ABCD 是⼀个梯形,AB ∥CD 且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若
= a , = b ,试⽤a,b 表⽰和 .
四．内容⼩结
本节我们主要学习的内容是： 1.向量的数乘运算的定义
2.向量的数乘运算的运算法则（运算律）
3.两个向量共线的基本定理
五．课后作业
【知识梳理、双基再现】
1、相反向量：
规定与
a ___________的向量，叫做 a 的相反向量，记作______，向量 a 与a - 互为相反向量，
于是 a +a -
=_____。

2、向量的减法
我们定义，减去⼀个向量相当于加上这个向量的相反向量，即
与a b 是互为相反的向量，那
么 a =______， b =_____，+
a b =_____。

3、向量减法的⼏何意义：
已知
a ，
b ，在平⾯内任取⼀点O ，作== ,OA a OB b ，则__________=- a b ，即-
a b
表⽰为从减向量________的终点指向被减向量________的终点的向量。

【⼩试⾝⼿、轻松过关】
1、在菱形ABCD 中，下列各式中不成⽴的是（） A ．-= AC AB BC B ．-=
AD BD AB C ．-= BD AC BC D ．-=
BD CD BC
2、下列各式中结果为
O 的有（）
①++ AB BC CA ②+++
OA OC BO CO ③-+- AB AC BD CD ④+-+
MN NQ MP QP A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．①②③ 3、下列四式中可以化简为AB 的是（）
①+ AC CB ②- AC CB ③+ OA OB ④-
OB OA A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④ 4、在下⾯各式中，不能化简为
AD 的是（）
A ．++ ()A
B CD B
C B ．+++
()()AD MB BC CM C ．+- MB AD BM D ．-+
OC OA CD
【基础训练、锋芒初显】
5、在△ABC 中，向量
BC 可表⽰为（）
①- AB AC ②- AC AB ③+ BA AC ④-
BA CA A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④
6、已知ABCDEF 是⼀个正六边形，O 是它的中⼼，其中===
,,OA a OB b OC c 则
EF =
（）
A ．a b +
B ．b a -
C ．- c b
D ．-
b c
7、当C 是线段AB 的中点，则AC BC +
=（） A ．AB B ．BA
C ．AC
D ．O
8、在平⾏四边形ABCD 中，BC CD AD +-
等于（） A ．BA B ．BD C ．AC D ．AB
【举⼀反三、能⼒拓展】
9、化简：AB DA BD BC CA ++--
=_______________。

10、⼀架飞机向北飞⾏300km 后改变航向向西飞⾏400km ，则飞⾏的总路程为___________，两次位移和的和⽅向为____________，⼤⼩为______________。

11.已知 ABCD 的两条对⾓线AC 与BD 交于E ，O 是任意⼀点，
求证：OA +OB +OC +OD =4OE
12.如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)
(1)⽤OA ，OB 表⽰OP .
(2)设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平⾯内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈
.
求证：A 、B 、P 三点共线.。