常微分方程
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物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一 个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个 或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之 间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、 求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
常微分方程
数学概念
01 概念
03 特点
目录
02 定义 04 应用
05 发展
07 实例
目录
06 分支学科 08 解法
常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程， 比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的 问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取 求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微 分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程 组。
特点
常微分方程常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和 唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
概念
学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、 高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之 间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的 运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等，要以现有数据求得出形式上的函数解析式，而不 是以已知函数来计算特定的未知数。
发展
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、半导体物理学、海洋动 力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学 和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。
常微分方程从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会 含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程 的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有 的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是 以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程 方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，维 数是很小的。
பைடு நூலகம்谢观看
高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即n阶齐次方程的通解是它的n个独立特解的线性组合，其系 数是任意常数。非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数变 易法通过求积分求得。求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根，这个代数方程的次数则 是原方程的阶数;当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归 纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不 是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。 另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响 和变化还必须在理论上加以解决。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。 也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还 有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足 某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
定义
定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分)的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函 数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的 未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下：
定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的 个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常 数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
一般地说，n阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的 阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。
实例
下列方程都是微分方程 (其中 y, v均为未知函数). (1) y'= kx, k为常数； (2) ( y - 2xy) dx + x² dy = 0； (3) mv'(t) = mg - kv(t)；
解法
一阶微分方程的普遍形式 一般形式：F（x,y,y'）=0 标准形式：y'=f(x,y) 主要的一阶微分方程的具体形式 1.可分离变量的一阶微分方程 2.齐次方程 3.一阶线性微分方程 4.伯努利微分方程 5.全微分方程
至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形(如方程(1)就是这几种情形都有的一个方程)之外，可以求 得通解的为数就更小了。
分支学科
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、 拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、数理逻辑、 模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学。
应用
常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导 弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究 解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足 需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之 间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、 求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
常微分方程
数学概念
01 概念
03 特点
目录
02 定义 04 应用
05 发展
07 实例
目录
06 分支学科 08 解法
常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程， 比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的 问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取 求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微 分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程 组。
特点
常微分方程常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和 唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
概念
学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、 高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之 间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的 运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等，要以现有数据求得出形式上的函数解析式，而不 是以已知函数来计算特定的未知数。
发展
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、半导体物理学、海洋动 力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学 和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。
常微分方程从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会 含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程 的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有 的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是 以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程 方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，维 数是很小的。
பைடு நூலகம்谢观看
高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即n阶齐次方程的通解是它的n个独立特解的线性组合，其系 数是任意常数。非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数变 易法通过求积分求得。求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根，这个代数方程的次数则 是原方程的阶数;当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归 纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不 是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。 另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响 和变化还必须在理论上加以解决。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。 也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还 有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足 某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
定义
定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分)的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函 数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的 未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下：
定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的 个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常 数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
一般地说，n阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的 阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。
实例
下列方程都是微分方程 (其中 y, v均为未知函数). (1) y'= kx, k为常数； (2) ( y - 2xy) dx + x² dy = 0； (3) mv'(t) = mg - kv(t)；
解法
一阶微分方程的普遍形式 一般形式：F（x,y,y'）=0 标准形式：y'=f(x,y) 主要的一阶微分方程的具体形式 1.可分离变量的一阶微分方程 2.齐次方程 3.一阶线性微分方程 4.伯努利微分方程 5.全微分方程
至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形(如方程(1)就是这几种情形都有的一个方程)之外，可以求 得通解的为数就更小了。
分支学科
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、 拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、数理逻辑、 模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学。
应用
常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导 弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究 解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足 需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。