2018-2019学年人教新版山东省临沂市平邑县八年级第二学期期中数学试卷及答案 含解析

2018-2019学年山东省临沂市平邑县八年级第二学期期中数学试
卷
一、选择题（共12小题）
1．若二次根式有意义，则a的取值范围是（）
A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a≠2
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（）
A．B．C．D．2
4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．四个角为直角B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对边平行且相等
5．以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）
A．B．2，3，4C．2，2，1D．4，5，6
6．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）
A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若AC＝3，BC＝4．则BD的长是（）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
9．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）
A．12B．16C．20D．24
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）
A．6B．8C．10D．12
11．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．
A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB 的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）
A．14B．16C．18D．20
二、填空题
13．比较大小：．（填“＞、＜、或＝”）
14．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B 的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为．
15．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1200m，则隧道AB的长度为米．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．
17．如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE＝5，BF＝3，则EF的长为．
18．观察下列各式：①；②＝；③，…请用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律：．
三、解答题（满分66分）
19．计算
（1）
（2）
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE＝OF．
21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN＝；
（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
23．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．
24．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM＝AD+MC．
【探究展示】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若（2）中矩形ABCD两边AB＝6，BC＝9，求AM的长．
参考答案
一、选择题（本题共12小题．每小题3分，共36分）
1．若二次根式有意义，则a的取值范围是（）
A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a≠2
【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．
解：∵二次根式有意义，
∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，
故选：A．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
3．下列计算正确的是（）
A．B．C．D．2
【分析】根据二次根式的加减法对A、C、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断．
解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；
B、原式＝3，所以C选项的计算错误；
C、原式＝2，所以C选项的计算正确；
D、2与不能合并，所以D选项的计算错误．
故选：C．
4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．四个角为直角B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对边平行且相等
【分析】举出正方形具有而菱形不一定具有的所有性质，即可得出答案．
解：正方形具有而菱形不一定具有的性质是：①正方形的对角线相等，而菱形不一定对角线相等，②正方形的四个角是直角，而菱形的四个角不一定是直角，
故选：A．
5．以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）
A．B．2，3，4C．2，2，1D．4，5，6
【分析】由（2）2+（2）2＝16＝42，可得出三边长为2，2，4的三角形为直角三角形，此题得解．
解：∵（2）2+（2）2＝16＝42，
∴三边长为2，2，4的三角形为直角三角形．
故选：A．
6．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）
A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+
【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA＝OB＝，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．
解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，则根据勾股定理知OB＝＝＝，
∴OA＝OB＝，
∴a＝﹣1﹣．
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若AC＝3，BC＝4．则BD的长是（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．
解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC，
∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故选：A．
8．如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的长．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝3cm，
∵BC＝AD＝5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，
故选：B．
9．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）
A．12B．16C．20D．24
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）
A．6B．8C．10D．12
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′
≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果．
解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故选：C．
11．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．
A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为＝4cm，
＝2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，
∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，
＝8+16﹣12﹣16，
＝（﹣12+8）cm2．
故选：B．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB 的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）
A．14B．16C．18D．20
【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝S Rt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S Rt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝S Rt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4
＝（S1+S3）+S2+S4
＝S Rt△ABC+S Rt△ABC+S Rt△ABC
＝S Rt△ABC×3
＝4×3÷2×3
＝18．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
13．比较大小：＜．（填“＞、＜、或＝”）
【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
解：∵（）2＝12，（3）2＝18，
而12＜18，
∴2＜3．
故答案为：＜．
14．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B 的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为18m．
【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5m，AB＝12m，∴AC＝＝＝13（m），
∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝5+13＝18（m）．
答：棵树原来高18m．
故答案为：18米．
15．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1200m，则隧道AB的长度为2400米．
【分析】由D为AC的中点、E为BC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，根据DE 的长度结合三角形中位线定理即可得出AB的长度．
解：∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∵DE为△ABC的中位线，
又∵DE＝1200m，
∴AB＝2DE＝2400m．
故答案是：2400．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
17．如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE＝5，BF＝3，则EF的长为8．
【分析】首先证明∠ABF＝∠EAD，再利用AAS定理证明△AFB≌△DEA，进而得到AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，然后再根据线段的和差关系可得答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠BAF+∠EAD＝90°，
∵BF⊥a，DE⊥a，
∴∠AED＝∠AFB＝90°
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
∴△AFB≌△DEA，
∴AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，
∴EF＝AF+AE＝5+3＝8，
故答案为：8
18．观察下列各式：①；②＝；③，…请用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律：＝（n+1）．
【分析】从给出的三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，依此可以找出规律．
解：从①②③三个式子中，
我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，
即＝（n+1）．
三、解答题（满分66分）
19．计算
（1）
（2）
【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法法则和完全平方公式运算，然后合并即可．
解：（1）原式＝6﹣﹣+
＝6﹣﹣+
＝5﹣；
（2）原式＝2﹣+1﹣2+3
＝2﹣+4﹣2
＝4﹣．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE＝OF．
【分析】由平行四边形性质可证得△AOE≌△COF，则可证得OE＝OF．
【解答】证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN＝；
（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．
【分析】（1）以3和2为直角边作出直角三角形，斜边即为所求；
（2）以3和1为直角边作出直角三角形，斜边为正方形的边长，如图②所示．
解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF＝BD，结合条件可求得AF＝DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD＝CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF＝AC▪DF＝×4×5＝10．
23．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为24．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；
（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB•AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴EO＝CO，
同理：FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：
由（1）得：EO＝FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO＝FO＝CO，
∴EO＝FO＝AO＝CO，
∴EF＝AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，
∴∠AEC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，
∵122+52＝132，
即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴△ABC的面积＝AB•AC＝×12×5＝30，
∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；
故答案为：24．
24．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM＝AD+MC．
【探究展示】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若（2）中矩形ABCD两边AB＝6，BC＝9，求AM的长．
【分析】（1）先构造出△ADE≌△NCE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）设出MC＝x，利用（2）的结论得出AM＝9+x，再利用勾股定理建立方程求出CM 即可得出结论．
解：（1）如图1，延长AE，BC相交于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠∠DAE＝∠MAE，
∴∠ENC＝∠MAE，在△ADE和△NCE中，，∴△ADE≌△NCE，
∴AD＝CN，
∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；
（2）结论AM＝AD+CM仍然成立，
理由：如图2，
延长AE，BC相交于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠DAE＝∠MAE，
∴∠ENC＝∠MAE，
在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD＝CN，
∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；
（3）设MC＝x，则BM＝BC﹣CN＝9﹣x，
由（2）知，AM＝AD+MC＝9+x，
在Rt△ABM中，AM2﹣BM2＝AB2，
（9+x）2﹣（9﹣x）2＝36，∴x＝1，
∴AM＝AD+MC＝10．。