高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件第2章函数、导数及其应用-第12节定积分与微积分基本定理ppt版本

0
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14，则10 1－x2＋12xdx＝14π＋14＝π＋ 4 1.
(2)解法 1：2|x－1|dx＝1|x－1|dx＋2|x－1|dx



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0
1
＝10(1－x)dx＋21(x－1)dx＝x－x2210＋x22－x21
－2
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】
根
据
定
积
分
的
几
何
意
义
知
，
定
积
分
m


－2
－x2－2xdx 的值就是函数 y＝ －x2－2x的图象与 x 轴及直
线 x＝－2，x＝m 所围成图形的面积，y＝ －x2－2x是一个
半径为 1 的半圆，其面积等于π2 ，而m
π －x2－2xdx＝ 4 ，

a
区间[a，b]叫做积分区间，______叫做被积函数，____叫做 积分变量，________叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)bkf(x)dx＝__________(k 为常数)； a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝________________； a
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋__________(其中 a<c<b)．
【解析】 汽车以速度 v(t)＝7－3t＋12＋5 t行驶到停止，
故令
v(t)＝0，解得
t＝4
或
t＝－83(舍)，从而
S＝4v(t)dt＝4(7


0
0
－3t＋12＋5 t)dt＝(7t－32t2＋25ln(1＋t))40＝7×4－32×42＋25ln5
＝4＋25ln5，所以选 C.
【答案】 C


a
a
答案
1．a，b f(x) x f(x)dx
2．(1)kbf(x)dx (2)bf1(x)dx±bf2(x)dx (3)bf(x)dx




a
a
a
c
1．判断正误 (1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝

a
bf(t)dt.( )
解析：s＝12(3t＋2)dt＝32t2＋2t21＝32×4＋4－32＋2＝10 －72＝123(m)．
答案：123 m
Hale Waihona Puke Baidu点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
定积分的计算
【例 1】 求下列定积分： (1)1(－x2＋2x)dx；

0
(2)π (sinx－cosx)dx； 0
必考部分
第二章
函数、导数及其应用
第十二节 定积分与微积分基本定理
[考纲考情] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念．
2．了解微积分基本定理的含义．
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
定积分的概念与性质
1．定积分的概念 在bf(x)dx 中，______分别叫做积分下限与积分上限，
考向 2 定积分在物理中的应用
【例 4】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急
情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋12＋5 t(t 的单位：s，v 的单
位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：
m)是( )
A．1＋25ln5
B．8＋25ln131
C．4＋25ln5
D．4＋50ln2
＝1－12＋222－2－12－1＝1.
解法 2：由定积分的几何意义知所求定积分是图中阴影 部分的面积，易知面积 S＝12＋12＝1.
答案：(1)π＋ 4 1 (2)1
定积分的应用
定积分在高考中一般难度较低，主要考查以下两个方 向：
考向 1 定积分在平面几何中的应用
所围成的图形一定在 x 轴下方．( )
(3)若 f(x)是连续的偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.( )


－a
0
(4)若 f(x)是连续的奇函数，则a f(x)dx＝0.( ) －a
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
5．(2015·天津卷)曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭
2
x2＋4x－3)]dx＝320x2dx＋323(x2－6x＋9)dx
＝98＋98＝94.
(2015·陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥 沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则 原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．
解析：由高及腰与水平面夹角等于 45°，知等腰梯形 的下底边长为 10－2×2＝6，
B．130 m
C．140 m
D．150 m
解析：设 t s 后两物体相遇，则t (3t2＋1)dt－t 10tdt＝5，


0
0
即 t3＋t－5t2＝5，即(t2＋1)(t－5)＝0，解得 t＝5，此时物体
A
离
出
发
地
的
距
离
为
5

(3t2
＋
1)dt
＝
(t3
＋
t)
|
5
0
＝
53
＋
5
＝

0
设阴影部分面积为 S.
①S＝bf(x)dx； a
②S＝－bf(x)dx； a
③S＝cf(x)dx－bf(x)dx；


a
c
④S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝__________________．


a
a
2．匀变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函 数 v ＝ v(t)(v(t)≥0) 在 时 间 区 间 [a ， b] 上 的 定 积 分 ， 即 ______________．
计算下列定积分：
(1)211x＋2xdx＝________；
π (2)∫ 2 0
2sinx＋π4 dx＝________．
解析：(1)211x＋2xdx＝lnx＋l2nx221 ＝ln2＋ln42－ln22＝ln2＋ln22.
π (2)依题意得∫ 2 0

a
本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 其中 f(x)叫做 f(x)的一个原函数． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记作________，即bf(x)dx＝

a
F(x)ba＝F(b)－F(a)．
答案 F(b)－F(a) F(x)|ba
2．定积分1(2x＋ex)dx 的值为( ) 0
答案
1．④b[f(x)－g(x)]dx 2.S＝bv(t)dt


a
a
4．判断正误
(1)在区间[a，b]上的连续的曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x
＝ b(a≠b) ， y ＝ 0
所围成的曲边梯形的面积
S
＝
b


a
|f(x)|dx.( )
(2)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴 a
在区间0，32上，直线 y＝4x－3 在曲线 y＝－x2＋4x－3 的上方；在区间32，3上，直线 y＝－2x＋6 在曲线 y＝－x2 ＋4x－3 的上方．
因此，所求的图形的面积是
S＝32
0
[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋3[(－2x＋6)－(－
3

a
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( ) (3)微积分基本定理中 F(x)是唯一的．( )
解析：(1)正确． (2)错误．当 f(x)≥0 时，S＝bf(x)dx.

a
(3)错误．有无穷多个．
答案：(1)√ (2)× (3)×
微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x) ＝f(x)，那么bf(x)dx＝__________，这个结论叫做微积分基
2sinx＋π4 dx＝∫π2 0(sinx＋cosx)dx
＝(sinx－cosx)π2 0＝sinπ2 －cosπ2 －(sin0－cos0)＝2.
答案：(1)ln2＋ln22 (2)2
定积分的几何意义
【例 2】
若定积分m
－x2－2xdx＝π4 ，则 m 等于
(3)21e2x＋1xdx＝21e2xdx＋121xdx＝12e2x21＋lnx21 ＝12e4－12e2＋ln2－ln1＝12e4－12e2＋ln2.
【小结归纳】 用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的
原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数， 那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分 解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加.
∴梯形的面积 S1＝12(10＋6)×2＝16； 以下底边中点为原点，向右为 x 轴正方向建立直角坐标 系， 则抛物线方程为 y＝225x2(－5≤x≤5)，
那么当前横截面面积 S2＝22×5－05225x2dx＝430. 故原始最大流量与当前最大流量的比值为SS12＝65＝1.2. 答案：1.2
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
解析：因为(x2＋ex)′＝2x＋ex， 所以1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.

0
答案：C
3．已知
f(x)
为奇
函数
且
6

f(x)dx
＝8，
则6
f(x)dx
等于


0
－6
()
A．0
B．4
C．8
D．16
－2
即在区间[－2，m]上该函数图象应为14个圆，于是得 m＝－1，
故选 A. 【答案】 A
【小结归纳】 根据定积分的几何意义可利用面积求解定积分．画出被
积函数的图形，结合上、下限求出面积，即可得到定积分的 值.
(1)(2016·石家庄模拟)1
0
1－x2＋12xdx＝________．
130(m)．
答案：B
【小结归纳】 (1)利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分上、
下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论． (2)利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时，
物体 A 以速度 v＝3t2＋1(t 的单位：s，v 的单位：m/s)
在一直线上运动．在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B
在物体 A 的正前方 5 m 处以 v＝10t(t 的单位：s，v 的单位：
m/s)的速度与 A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体
A 的出发地的距离是( )
A．120 m
【例 3】 如图所示，求由抛物线 y＝－x2＋4x－3 及其 在点 A(0，－3)和点 B(3，0)处的切线所围成图形的面积．
【解】 由题意，知抛物线 y＝－x2＋4x－3 在点 A 处 的切线斜率是 k1＝y′|x＝0＝4，在点 B 处的切线斜率是 k2＝y′| x＝3＝－2.
因此，抛物线过点 A 的切线方程为 y＝4x－3， 过点 B 的切线方程为 y＝－2x＋6. 设两切线相交于点 M，由yy＝＝4－x－2x3＋，6消去 y， 得 x＝32，即点 M 的横坐标为32.
(3)21e2x＋1xdx.
【解】 (1)1(－x2＋2x)dx＝1(－x2)dx＋12xdx



0
0
0
＝－13x310＋x210＝－13＋1＝23.
(2)π(sinx－cosx)dx＝πsinxdx－πcosxdx



0
0
0
＝(－cosx)π 0 －sinxπ 0 ＝2.
(2)定积分2|x－1|dx＝________． 0

解析：(1)1
0
1－x2＋12xdx＝01
1－x2dx＋112xdx，因为1
0
0
1－x2dx 的几何意义是单位圆 x2＋y2＝1(x≥0，y≥0)与坐标
轴围成区域的面积，所以1
1－x2dx＝π4 ，又112xdx＝14x210＝
解析：∵f(x)为奇函数且6f(x)dx＝8，∴0 f(x)dx＝－8，


0
－6
∴6
f(x)dx＝0
f(x)dx＋6f(x)dx＝－8＋8＝0.



－6
－6
0
答案：A
定积分的几何意义
1．定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并 不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：
图形的面积为________．
解析：曲线 y＝x2 与 y＝x 的交点为(0，0)，(1，1)，则
两
图形
围
成
的封
闭
图
形的
面
积为
1(x

0
－
x2)dx
＝12x2－13x3

1
0
＝16.
答案：16
6．汽车以 v＝(3t＋2)m/s 作变速直线运动时，在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是________．