四年级上册数学讲义-8数学广角——优化-人教版(含答案)

数学广角——优化
学生姓名年级学科
授课教师日期时段
核心内容统筹优化课型一对一/一对N
教学目标
1.通过简单的事例，初步体会运筹思想和理解策论方法在解决实际问题中的应用。

2.认识到解决问题所用策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

3.学会从极端情况去探讨它的最大（小）值的方法和技巧。

4.逐渐养成合理安排时间的良好习惯。

重、难点重点：教学目标1、3 难点：教学目标3
课首沟通
和学生交谈沟通，了解学生是否知道什么是优化问题；列举实例，引起学生好奇心，增强学生的求知欲以及解决问题的
兴趣。

知识导图
课首小测
1. （面试模拟题）一盒玻璃球共有20个，两个人轮流从中拿走1个或2个，谁拿到最后一个球谁就获胜，想一想，如果让你先拿，怎样拿球才能确保获胜？
导学一：沏茶问题
知识点讲解 1
经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间——最短时间问题
例 1. 妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟。

为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，最少多少分钟后就能沏茶了？
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1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。

为了尽快做完这些事，怎样安排才能使所用的时间最少？最少需要几分钟？
2.（中山市校级期末测试卷）小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟，按你认为最合理的安排，最少多少分钟可以使客人尽快喝茶？
3.在早晨起床后的1小时内，小欣在完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗
擦桌5分钟，收听广播30分钟。

为了尽快做完这些事情，应怎样安排才能使所用的时间最少？最少需要多少分钟？
知识点讲解 2
多人等待问题，要按照从花费时间少的到花费时间多的顺序依次排列，才能使所用时间总和最短。

例 1.五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。

赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。

卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
例 2. 牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河要用1分钟，乙牛过河要2分钟，丙牛过河要5分钟，丁牛过河要6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河，要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？
【学有所获】统筹搭配的问题，根据每头牛过河的时间及所用的时间差进行搭配是最优方案。

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1.甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。

热水龙头只有一个，怎样安排他们打水
的次序，可以使他们打热水所花的总时间（包括等候时间）最少？（假如打满1瓶需要1分钟）
2.甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。

怎样安排三人
谈话的先后次序，使3人所花的总时间最少？最少时间是多少？
导学二：烙饼问题
知识点讲解 1：解答烙饼问题有两种方法：
（1）列表分析法：如果要求讲出过程，用列表分析法较方便，先保证把每个饼的一面烙到，再烙饼的另一面；
（2）三步计算法：若题目不要求讲出烙饼过程，只要求出最短的烙饼时间，则
①求饼面数——求出要烙的饼一共要烙多少个饼面。

饼数×2（每个饼要烙两个面）
②求最少锅数——求出要烙完这些饼面最少要烙多少锅。

饼面数÷每锅可放最多的饼数
（需要特别强调的是：1、算出的数不是整数时，采用进一法取近似数，如饼数为4，每一锅的只数为3时，烙每面需要1 分钟，根据公式：4×2÷3×1≈3（分钟）；
2、算出的数少于2时，结果取2，这是因为1个饼也要作两次烙。

）
③求最短时间——求出要烙完这些锅数最少要多少时间。

最少锅数×烙每面的时间
即烙饼问题公式：总时间＝饼数× 2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间
（注意：如果烙饼两面的时间不是一样的，不可以用公式法，要根据实际情况灵活解答）
例 1. （面试模拟题）用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。

问煎3个饼至少需要多少分钟？
例 2. 烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。

小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？
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1.（广汉市校级期末测试卷）用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。

烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？
2.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。

可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？
3.一只锅每次只能同时烙两张饼，一张饼要烙两面，烙熟第一面需要2分钟，烙熟第二面需要1分钟，烙熟五张饼需要多长时间？
导学三：田忌赛马
知识点讲解 1：用最好的策略解决生活中的问题。

例 1. “田忌赛马”中，田忌是怎样赢了齐王的，请把他的战略填在下表。

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1.（越秀区四年级数学《统计、数学广角》单元检测卷）四（1）班和四（2）班进行羽毛球比赛。

每班派出4名同学参赛，共打4场，4盘3胜。

各班选手按水平的高低排队分别为A、B、C、D，两个班同等水平的同学都有可能赢对方
（即（1）班的选手A和（2）班的选手A都有可能赢对方）。

如果你是四（2）班的同学，你准备怎样安排本班的选手，才有较大的取胜可能？将你的安排填在下表。

2.胜利小学和红旗小学举行象棋比赛，每校派出3名选手参赛，规定哪校有两名队员获胜，则该校就获胜。

两校的参赛选手情况如下表：（名次高的都能赢名次低的）
如果胜利小学想要获胜，该怎样排兵布阵？
3.这是一场拍球比赛，三局两胜，请看参加比赛双方的资料：
甲方1分钟排球个数：1号20个、2号40个、3号60个
乙方1分钟排球个数：1号10个、2号30个、3号50个
请问乙方队员怎样对阵才能赢甲方。

限时考场模拟： (10)分钟完成
1.（越秀区四年级数学《统计、数学广角》单元检测卷）芳芳起床后要做如下的事情，请帮她作出合理的安排，用最少的时间完成这些事。

（次序用①、②、③等表示，同时做的事填相同的序号）
最快要（）分钟。

2.（越秀区四年级数学《统计、数学广角》单元检测卷）妈妈用平底锅煎牛扒，每次只能煎2块，两面都要煎，煎一面要5分钟。

那么煎5块牛扒最少要（）分钟；如果每次能煎3块，那么煎7块牛扒最少要（）分
钟
3.甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗拖把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶接水需要1分钟。

怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时间是多少？
课后作业
1.丽丽长大了，想和妈妈学做菜，星期天要学做一个炒鸡蛋，妈妈告诉她这道菜有以下几项工序：
敲蛋（1分钟）搅蛋（1分钟）切葱（1分钟）洗锅（2分钟）
烧热锅（2分钟）烧热油（1分钟）炒蛋（4分钟）
2.四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？
3.每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面要烙4分钟，请问烙3张饼最快要多少分钟可以烙完？如果要烙4张饼，最快多少分钟可以烙完？
4.用一只平底锅煎饼，每次能同时放2张饼。

如果煎1张饼需要2分钟（假定正、反各需1分钟），问煎207张饼至少需要多少分钟？
5.四年级一班和二班进行200米跑挑战赛，比赛规定：一是每班每场次出1人，二是三局两胜定输赢，要想二班获胜怎么办？请你设计比赛方案
1.完成本堂课的课后作业
2.本堂课中的错题要写到错题本上，下节课会对错题进行练习。

课首小测
1.第一次应该拿2个，以后每次拿的数量和对方凑成3个，才能确保获胜。

解析:自己要先拿，拿走2个，那么剩余的数量就是18个，刚好能被3整除，接下来他拿1个，自己就拿2个，他拿2个，自己就拿1个，保证每次都凑成3个，这样就能保证自己拿到最后一个球，获得胜利。

20÷（1＋2）=6（次）……2个
导学一
知识点讲解 1
例题
1.16分钟
解析:经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。

水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。

而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。

根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。

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1.先烧开水10分钟（同时取奶5分钟，整理书包4分钟），然后把开水灌进热水瓶2分钟；12分钟
解析:①烧开水10分钟（同时取奶5分钟，整理书包4分钟）；②把开水灌进热水瓶2分钟。

10＋
2=12（分钟），所以最少需要12分钟。

2.8分钟
解析:接水1分钟，烧水6分钟（同时洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟），沏茶1分钟，由此可知，最少需要1＋6＋1=8分钟。

所以按最合理的安排，8分钟就能让客人喝茶了。

3.应这样安排：收听广播30分钟，同时叠被（3分钟）、刷牙洗脸（8分钟）、吃早餐（10分钟）、收拾擦桌（5分钟），然后读外语30分钟；最少需要60分钟。

解析:能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。

知识点讲解 2
例题
1.校医应该先给李佳点眼药水，再给孙勇包纱布，最后给赵明打针，才能使三位同学的时间总和最短，是14分钟。

解析:校医应该给治疗时间短的先治病，治病时间长的最后治病，才能使三位同学在卫生室的时间的总和最短。

这样校医应该先给李佳点眼药水，再给孙勇包纱布，最后给赵明打针。

三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，孙勇1＋3=4分钟，赵明1＋3＋5=9分钟，他们留在卫生室的时间总和是1 ＋4＋9=14分钟。

2.13分钟
解析:
首先骑甲带乙过河，需要2分钟；然后骑甲回来，需要1分钟；
其次骑丙带丁过河，需要6分钟；然后骑乙回来，需要2分钟；
最后骑乙带甲过河，需要2分钟。

共2＋1＋6＋2＋2=13（分钟）
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1.打水次序：丙、甲、乙；共用10分钟。

解析:首先丙打水1分钟，接着甲打水1＋2=3分钟，最后乙打水1＋2＋3=6分钟，共用1＋3＋6=10分钟。

2.
谈话次序：丙、甲、乙；共用60分钟。

解析:先安排丙谈8分钟，再安排甲谈8＋10=18分钟，最后安排乙谈8＋10＋16=34分钟，共用8＋18＋34=60分钟。

导学二
知识点讲解 1：解答烙饼问题有两种方法：
例题
1.3分钟
解析:法一：先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。

又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。

所以，煎3个饼至少需要3分钟。

法二：3×2÷2×1=3（分钟）
2.5分钟
解析:先放上第一、二片烤第一面，过2分钟拿下第一片，并将第二片翻过去，同时放上第三片；再过1分钟拿下第二片，并放上第一片；再过一分钟，拿下第一片，并把第三片翻过来；再过1分钟，三片面包都烤完了。

一共需要5分钟。

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1.9分钟
解析:法一：A、B、C三块饼，正反面分别为1,2
第一次：A1，B1
第二次：A2，C1
第三次：B2，C2
每次3分钟,共9分钟
法二：3×2÷2×3=9（分钟）
2.先放入4个饼，2分钟后取出2个饼，放入剩下的2个饼，并把锅里2个饼翻过去，再过2分钟，取出两个熟饼，放入2个已经烙熟1面的饼，并把锅里原有的两个饼翻过去，最后2分钟全熟了。

3.8分钟
解析:先放上第一、二片烙第一面，2分钟后，拿下一、二片，放上第三、四片烙第一面，2分钟后，拿下三、四片，放上第五片烙第一面和第一片烙第二面，1分钟后，拿下第一片，放上第二片烙第二面，1分钟后都拿下，放上第三、四片烙第二面，1分钟后都拿下，放上第五片烙第二面，1分钟后拿下，这时全部都烙熟了。

所需时间2＋2＋1＋1＋1＋1=8（分钟）
导学三
知识点讲解 1：用最好的策略解决生活中的问题。

例题
1.
解析: 田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？（看一看田忌一共有多少种可采用的应对策略。

）
小结：田忌可以采用的策略一共有6种，但只有一种也就是他所使用的方法是唯一可以获胜的。

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1.
2.
3.
限时考场模拟
1. ;33
解析:烧开水8分钟（同时穿衣、叠被子5分钟）；蒸包10分钟（同时洗漱5分钟，热牛奶5分钟）；吃早餐15分钟。

共8＋ 10＋15=33（分钟）
2.25；25
3.用水次序：丁、乙、甲、丙；共用26分钟。

解析:在安排四个人用水顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应用水时间少的人先用，顺序是：丁、乙、甲、丙。

这样，包括等候时间在内，丁用了1分钟，乙用了1＋2=3（分钟），甲用了1＋2＋3=6（分钟），丙用了1＋2＋3＋ 10=16（分钟）。

所以，他们所花时间的总和最少是1＋3＋6＋16=26（分钟）。

课后作业
1.9分钟
解析:洗锅2分钟；烧热锅2分钟（同时敲蛋1分钟、搅蛋1分钟）；烧热油1分钟（同时切葱1分钟）；炒蛋4分钟。

一共用
时2＋2＋1＋4=9（分钟）
2.打水次序：1分钟、3分钟、4分钟；最短时间是13分钟
解析:要求三人等待时间的总和最短，那么只要先接水的人用的时间越少，后面等待的人等待时间就越少，等待时间之和也越少。

所以，先让1分钟的那个人打水，别人等待；
1分钟后：让3分钟的人打水，剩下的人等待；
4分钟后：让4分钟的人打水；
8分钟后：全部完毕。

总的等待时间：
1分钟的人打水时，大家都在等：1＋1＋1=3（分钟）
3分钟的人打水时，一个人在等：3＋3=6（分钟）
4分钟的人打水时，没人在等： 4分钟
相加：3＋6＋4=13（分钟）
答：安排用时1分钟的同学先打水，然后用时3分钟的同学打水，最后用时4分钟的同学打水能使他们总的等候时间最短；这个最短的时间是13分钟。

3.12分钟；16分钟
解析:3×2÷2×4=12（分钟）
4×2÷2×4=16（分钟）
答：烙3张饼最快要12分钟可以烙完，烙4张饼最快16分钟可以烙完。

4.207分钟
解析:207×2÷2×1=207（分钟）
答：煎207张饼至少需要207分钟。

5.
解析:此题结合田忌赛马的故事进行解答，要使四（1）班获胜，则可以让四（1）班成绩最好的与四（2）班的第二名一组；让四（1）班的第二名与四（2）班的第三名一组；让四（1）班的第三名与四（2）班的第一名一组；这样就能保证四（1）班胜出两局，根据三局两胜的规则即可得出四（1）班胜。