人教版数学八上第13讲等腰三角形性质及判定(基础)知识讲解

等腰三角形性质及判定（基础）
【学习目标】
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180
2
A
︒-∠
.
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】
类型一、等腰三角形中有关度数的计算题
1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
【答案与解析】
解：∵AB＝AC
∴∠B ＝∠C
∵AB＝BD
∴∠2＝∠3
∵∠2＝∠1＋∠C
∴∠2＝∠1＋∠B
∵∠2＋∠3＋∠B＝180°
∴∠B＝180°－2∠2
∴∠2＝∠1＋180°－2∠2
∴3∠2＝∠1＋180°
∵∠1＝30°
∴∠2＝70°
【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.
举一反三：
【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．
【答案】
解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，
则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x
在△ABC中，根据三角形内角和得，
x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①
又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②
由①，②解得x＝36°
∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.
类型二、等腰三角形中的分类讨论
2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.
【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，
又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数
1
14070
2
=⨯︒=︒；
(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，
则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．
∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.
3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案与解析】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长
1
105 2
=⨯=．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．
举一反三：
【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )． A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
【答案】A；
解：∵ |AC－BC|＝2cm，∴ AC－BC＝±2．
又BC＝8cm．∴ AC＝10cm或6cm．∴ AB＝10cm或6cm．
类型三、等腰三角形性质和判定综合应用
E
A C F
4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E
，∠BAD ＝∠FCD ． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD ≌△CFD ，要证BE ⊥AC ，只需
证∠BEC ＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD ＝45°，由已知∠ACD ＝45°，可知∠BEC ＝90°. 【答案与解析】
证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.
∵ 45ACB ∠=︒，
∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒ ∴ AD＝CD
∵ BAD FCD ∠=∠，
∴ △ABD≌△CFD
(2)∵△ABD≌△CFD
∴ BD＝FD.
∵ ∠FDB＝90°，
∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.
∵ 45ACB ∠=︒， ∴ 90BEC ∠=︒. ∴ BE⊥AC．
【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD ，求出∠FBD=∠BFD=45°． 举一反三：
【变式】如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ．
(1)求证：BE ＝AD ；
(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；
(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由．
【答案】
(1)证明： ∵ AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴ ∠BAD ＝∠ABC ＝90°． 又∵ EC ⊥BD ，
∴ ∠BEC ＋∠DBE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°． ∴ ∠DBE ＝∠BCE ．
在△DAB 与△EBC 中，,,,BAD EBC AB BC ABD BCE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ △DAB ≌△EBC(ASA)． ∴ AD ＝BE ．
(2)证明：连接AC ，ED ．
∵ E 为AB 的中点，∴ BE ＝AE ．
又∵ AD ＝BE(已证)，
∴ AE ＝AD 且∠A ＝90°．△AED 为等腰三角形． ∴ ∠AED ＝∠ADE(等边对等角)， 即∠AED ＝∠ADE ＝45°．
又∵ AB ＝BC ，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°． ∴ ∠BAC ＝∠BCA(等边对等角)．
∴ ∠BAC ＝∠BCA ＝1
(18090)452
︒-︒⨯
=︒． ∴ 45CAD BAC ∠=∠=︒．
由等腰三角形性质．可知AC 垂直平分ED ，即AC 是线段ED 的垂直平分线．
(3)解：△DBC 是等腰三角形．
理由如下：由(2)得CD ＝CE ．
由(1)可得CE ＝BD ， ∴ CD ＝BD ．
∴ △DBC 是等腰三角形． 【巩固练习】
一.选择题
1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )
A ．16
B ．17
C ．16或17
D ．10或12
2. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一
条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC
于E，那么下列结论正确的有( )
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；
③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF.
A．1个B．2个C．3个D．4个
∆沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC
B
∠=︒，则BDF
50
∠度数是（）
A．60° B．70° C．80° D．不确定
6. 如图，ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形
有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
二.填空题
7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．
8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．
9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若
△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．
10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .
11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则Δ
OMN的周长＝______cm．
12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．
三.解答题
13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
14. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.
求证：EF平分∠AEB．
15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ
分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】注意分类讨论.
2. 【答案】D；
【解析】三个外角度数分别为360°×＝90°，360°×＝135°，135°，所以三角
形为等腰直角三角形.
3. 【答案】B；
4. 【答案】C ；
【解析】①②③正确.
5. 【答案】C；
【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，BDF
∠＝180°－50°－50°＝80°.
6. 【答案】C；
【解析】△ABD，△ADE，△ACE，△ABE，△ACD，△ABC为等腰三角形.
二.填空题
7. 【答案】20；
【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.
8. 【答案】80°；
【解析】设顶角为x，则底角为x－30°，所以x＋x－30°＋x－30°＝180°，x＝80°.
9. 【答案】8；
【解析】DE＝DC，AC＝BC＝BE，△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝AC＋AE＝AB＝8.
10.【答案】70°或40o；
【解析】这个角可能是底角，也可能是顶角.
11.【答案】10；
【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC.
12.【答案】1.8cm；
【解析】连接BD，∠ABD＝∠ADB，因为∠B＝∠D，所以∠CBD＝∠CDB，所以CD＝BD.
三.解答题
13.【解析】
证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，
∵AB＝AC，AE＝AD．
∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，
∴∠ADE＝1802
90
2
x
x ︒-
=︒-
即∠BDH＝90°－x
∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，
∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.
14.【解析】
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD 又∵∠B ＝∠EAC ，
∴∠B ＋∠BAD ＝∠EAC ＋∠CAD ，即∠ADE ＝∠DAE ∵EF ⊥AD ， ∴∠AFE ＝∠DFE
在Rt △AEF 和Rt △DEF 中
ADE DAE AFE DFE EF =EF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪⎩
∴Rt △AEF ≌Rt △DEF （AAS ）
∴∠AEF ＝∠DEF ，即EF 平分∠AEB ． 15.【解析】
证明：延长AB 至E ，使BE ＝BP ，连接EP
∵在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°， ∴∠ABC ＝80°
∴∠E ＝∠BPE ＝
802
︒
＝40° ∵AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线， ∴∠QBC ＝40°，∠BAP ＝∠CAP ∴BQ ＝QC （等角对等边） 在△AEP 与△ACP 中，
EAP CAP E C AP AP ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEP ≌△ACP （AAS ） ∴AE ＝AC
∴AB ＋BE ＝AQ ＋QC ，即AB ＋BP ＝AQ ＋BQ.。