高中高考数学所有二级结论《完整版》

高中数学二级结论
1、任意的简单n 面体内切球半径为表
S V
3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)
2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C
3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。

①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )
4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|
5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|
6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|
7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的
4
2
倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点
9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 1
1-≤≤-<
-x x x
x x
、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 的面积S 为πab S =
11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导
推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为
200))(())((r b y b y a x a x =--+--
②过椭圆)0,0(122
22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为
12
20=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为
12
20=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①
圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为
02
20000=+++++
+F E y
y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y
y a x x
③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b
y
y a x x
④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤
二次曲线的切点弦
方
程
为
02
22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B
x Ax 13、①椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 与直线)0·
(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是
22222C b B a A =+
②双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是
||22222A a -B b =C
14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）
15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。

│PF 1│=|a +e x | ，│PF 2│=|a -e x |（对任意x 而言，左加右减）
16、任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为
r y by x ax n n =+--1111
17、平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 18、在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
19、y=kx+m 与椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为
2
222
2b
k a mb + 20、圆锥曲线的第二定义：
椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，a
c e =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)
双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为
常数的点的轨迹称为双曲线
21、到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则2
11
21tan k k k k θ=
⋅+-
22、过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，
与渐近线围成的四边形面积为
2
ab
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点
构成的直线斜率乘积为定值)
0(22
>>-b a b a
23、抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦
24、双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘
积为定值)0(22
>>-b a b
a
25、面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S
26、角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线
27、数列不动点：
定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点
利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法
定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系
)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.
定理2：设)0,0()(≠-≠++=
bc ad c d
cx b
ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠
(1) 若)(x f 有两个相异的不动点q p ,， (2)
则
q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qc
a pc
a k --=） (2)若)(x f 只有唯一不动点p ，则
k p a p a n n +-=--111 （这里d
a c
k +=2）28、三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)
29、在Rt △ABC 中，C 为直角， 内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， 则△ABC 的内切圆半径为
2c b a -+
30、立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=-立方和公式：
))((2233b ab a b a b a +-+=+
31、向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
(1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心 (2)⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心 (3)O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心
==⇔O 为ABC ∆的外心
32、正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-
33、对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点
34、点(x ,y )关于直线
Ax +B y+C =0的对称点坐标为
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x
35、{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}
n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n 项和n S 为2
1
21)1(-+-=+q c c q c S n n n （错位相减法）
36、若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为
()()()()12120x x x x y y y y --+--=
37、过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值
38、二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC 39、三角形五心：
(1)三角形的重心：中线的交点（1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3。

3、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

）
(2)三角形的垂心：高线的交点
(3)三角形的外心：中垂线的交点(外接圆圆心，正弦定理求外接圆半径） (5)三角形的内心：角平分线交点（内切圆圆心，面积法求内切圆半径）
40、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2
222c b a AC AB -+=⋅
41、洛必达法则：若函数 和 满足： ， ；
则
42、圆锥曲线弦长公式
d = =
=
=
d =
43、抛物线焦点弦长公式：
=2p x ，过焦点直线交抛物线于A(x 1,y1）和B(x 2,y2）两点，则AB
弦长：d=p+x 1+x 2
44、三垂线定理：平面内搭一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直。

由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线（如图，PA ⊥a ，PB ⊥a ，AB ⊥a ），故称为三垂线定理。

45、向量法解立体几何公式总结
一、 基本知识点
直线m l ,的方向向量分别为,，平面βα,的法向量分别为21,n n （若只涉及一个平面α，则用表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。

3、夹角问题
2
0π
θ≤
<）
1）异面直线CD AB ,所成的角θ（范围：
c o s c o s ,.A B C D
A B C D A B C D
θ∙=
<>=
2）线面角θ（范围：2
0π
θ≤
≤），n a =
><=,cos sin θ
A
B
3）二面角θ（范围：πθ
≤≤0）
4、距离问题
1）点A 到点B 222)()()(
B
A B A B A z z y y x x -+-+-=
2）点A 到线l 的距离d
在直线l 上任取点B
=
><=,cos cos θ
θθ2cos 1sin -=，∴θsin =d
3）点A 到面α的距离d
在平面α上任取点B
=
><=,cos cos θ
d =
=⋅=θcos >
<-=
n a ,2
π
θ2
,π
θ-
>=<>
<-=21,n n πθ>
=<21,n n θ1212
cos n n n n θ∙=-
⋅1212
cos n n n n θ∙=
⋅。