两大部类最优投资分配的动态关系研究

两大部类最优投资分配的动态关系研究
作者：王全意樊信友
来源：《商业时代》2011年第28期
内容摘要：本文以最优控制论为工具将状态方程和社会福利最大化目标相结合建立了求解两大部类积累率关系的最优控制模型，进而得到了两大部类积累率的最优均衡关系。

该算法表明，两大部类投资比例是唯一可能的最优解，这意味着文章推导出的最优解具有普遍的理论意义，而且具有实践意义。

关键词：两大部类消费最大化最优控制论最大值原理
相关理论模型研究回顾
目前研究投资分配最优化问题的文献主要集中在微观投资分配方面，在国内从宏观角度对国民经济投资进行动态优化研究，特别是以马克思经济理论为基础的宏观投资最优化研究文献却很难见到。

从国外相关文献来看，该领域内宏观投资分配的研究主要集中于投资的区域分配问题方面。

Rahman首先提出此问题并做了分析，其分析工具是动态规划（Rahman，1963）；Intriligator用极大值原理来研究这一问题（Intriligator，1964）；Takayama对此问题首先进行了完整的分析（Takayama，1967）。

尽管上述相关研究对此问题做出了较大理论贡献，但却存在以下共同缺陷：其研究结论不能借鉴到部类投资分配中。

首先，上述研究把投资分配归结为bang-bang问题，而部类之间的均衡交换决定了部类之间的投资分配不可能是bang-bang问题；其次，上述文献没有给出部类投资比例的非线性方程组，而对于投资分配的最优化而言，两大部类投资比例的非线性方程组的建立具有决定性意义；最后，上述文献的理论基础是凯恩斯总量宏观经济学，总量分析缺少的是部类之间交换均衡关系，而无论对于区域投资分配还是对于部类投资分配而论，交换均衡关系都是不可或缺的理论基础。

马克思扩大再生产理论作为投资最优分配问题的理论基础是科学的。

即马克思模型下的部类最优投资分配，既保证了两大部类的总量均衡，又保证了部类之间的交换均衡。

由于两大部类间存在交换关系，因此一个部类的投资与另一个部类的投资会存在一定的关系，这一关系涉及到国民经济发展的速度和经济结构的重大问题。

最早将此关系归结为命题的是罗季荣教授，他在《马克思社会再生产理论》一书中明确而系统地提出了该命题（罗季荣，1982）。

罗季荣教授用图示法推导出第一部类投资率决定第二部类投资率的关系，用图示法推导的过程及其特殊结论具有重要的理论价值，他的分析过程为后人的探索开辟了一个条道路。

但罗季荣教授的图示分析方法只具有启发性而不具有一般性，因此所得之结论也存在局限性。

两大部类投资分配问题的导出
（一）状态方程的导出
关于状态方程的说明和假设：第一，两大部类内部及两大部类之间的交换满足实现条件；第二，设定消费是收入的线性函数，在线性函数下边际消费倾向及投资乘数都是常数；第三，由于考察期较短，不变资本存量的增长率近似为常数，进而投资增长率也是常数；第四，相对风险规避倾向较强，这时跨时期消费替代弹性较小，当期消费与未来消费的比例不会发生较大的变化；第五，假设经济存在两部类，分别为生产资料（资本品）的生产部门x1和消费资料（消费品）的生产部门x2，xi(t)（i=1，2）表示t时刻（时期）的产量，两部类的生产均依赖于资本品x1的投入，u(t)为时刻t资本品x1在两部类的分配比例，所以u(t)介于0和1之间；第六，各个变量都具有时间上的连续性和可微性，这一假设主要是为了分析的方便，同时又不失一般性。

依据上述假定，可知表示产品xi的增量，则和分别表示两产品产量的增长式，即为本模型的状态方程，其中α为生产效率或技术水平。

此外，进一步假定，x10，x20为生产资料部门和消费资料部门初期产量状态，且在模型中，不存在对终点状态的限制，设α，x10，x20均大于零。

（二）目标函数的建立
假设政府决策的目标是社会利益最大化，且决策者的个人目标与社会目标相一致，“经济人”的自利性所产生的外部性忽略不计，于是决策者的福利最大化就是社会福利最大化。

社会福利体现在物质生活水平的状态与精神生活的状态两个方面。

社会主义的生产目的就是最大限度地满足整个社会的物质文化生活需要，而福利水平的提高主要体现在消费水平的提高上。

于是以计划期内的消费最大化作为目标符合社会主义生产目的和决策者意愿。

即经济的目标为计划期间[0，T]的总消费量最大，具体可以取：
上式隐含了：
所以，时无法由上式确定u*(t)，但后面的分析表明的点至多只有两点，其一为t=T。

就控制变量而言，孤立的点取值并不重要。

（9）式表明。

另一方面注意到，（即（4）式）对所有的t成立。

所以对任意的t＜t*，p1(t)的下降速度快于p2(t)。

同时，p1(t*)=p2(t*)。

因此，对任意的t＜t*，必须满足p1(t)大于p2(t)。

所以，
u*(t)=1， t∈[0，t* ] （10）
（7）式和（10）式即表示在T＞情况下的满足最大值原理的可行控制。

以下探讨与其相对应的状态变量和协态变量。

把（10）式代入（3）式，，注意到p1(t)是连续的，端点条件为p1(t*)=p2(t*)=T-t*=，可求得：
（11）
（8）式、（11）式和（5）式，即为 T＞情况下满足最优性必要条件的协态变量。

进一步地，把（10）式代入状态方程（1）式和（2）式，可知在区间[0，T- ]，
1*(t)=αx1*(t) ，2*(t)=0 。

利用各自在t=0的初期条件，容易求得：
x1*(t)=x10eαt，x2*(t)=x20，t∈[0，T-] （12）
把（7）式代入（1）式，由x1* (t)的连续性，可得在区间[T- ，T]，1*(t)=0，注意此时初期条件为，所以：
（13）
把（13）式和（7）式代入（2）式，可得在区间[T-,T]，，此时初期条件为，所以：
（14）
（12）式、（13）式和（14）式，即为 T＞时满足最优性必要条件的状态变量。

综上所述，由最大值原理导出了T＞时唯一可能的最优控制过程（x1*，x2*，u*）和相应的协态变量（p1(t)，p2(t)）。

另一方面，上述分析也隐含了T≤时，在[0，T]上p1(t)≤p2(t)，此时t*=0，可能的最优控制为u*(t)=0， t∈[0，T]。

据此容易导出相应的状态和协态函数。

研究结论及现实意义
本文最大值原理给出了唯一的可能的最优解，利用关于最优解的充分条件的定理容易确定该可能的解是最优的。

以上分析还表明，T与α的关系对最优解存在重要影响，我们可以把T ＞(或≤)称为问题的分解条件，但是，该分解条件的经济涵义却非常明确，由于在模型中，T表示计划期的长度，α为生产效率或技术水平。

上述分析表明，T≤ 时，经济不进行资本品的生产，因此，资本品的生产与计划期长度以及生产效率或技术水平成正比。

因此，得到以下结论及现实意义：
首先，在稳态情况下，两大部类最优均衡投资率之间是非线性动态关系。

因此两大部类投资率的关系不是谁决定谁的关系，而是对应关系。

即不是先确定了第一部类投资率之后再确定第二部类投资率，而是同时确定两大部类的投资率。

其次，上述的研究结果表明，在计划期内如果各参数是常数（如T和α），则两大部类投资比例也是常数。

这说明，只要经济结构、技术进步和制度安排不发生突破性变化，则相应参数也就基本保持稳定，从而两大部类投资比例也是稳定的。

最后，说明投资问题不仅是个总量问题，更涉及结构优化问题。

在市场经济发达的西方国家，市场机制在很大程度上会自动调节资源分配，因此投资结构问题不甚突出。

我国的市场经济刚建立不久，市场机制对资源配置的作用还比较弱，因此投资结构问题比较突出。

为了弥补市场调节的不足，政府有必要介入对资源的配置，但是政府如何高效地分配投资的问题在我国一直没有得到很好解决。

长期以来，我国产业结构一直不太合理，重复建设较为严重，其直接原因就是投资结构不合理，而投资结构不合理的原因是投资分配不合理。

本文虽然给出的只是两部类投资分配模型，但是在此基础上不难扩充到多部类投资方面，因此，该模型的应用对于目前政府提出的“调结构”目标具有重要指导意义，可以为投资决策部门提供参考性依据，进而为减少投资的随意性提供宏观战略性保证。

参考文献：
1.Rahman M A. Regional Allocation of Investment [J].Quarterly Journal of Economics, LXXV, February 1963
2.Intriligator M S. Regional Allocation of Investment: Comment [J]. Quarterly Journal of Economics, LXXIII, November 1964
3.Takayama A. Regional Allocation of Investment: A Further Analysis [J]. Quarterly Journal of Economics, LXXXI, May 1967
4.Suresh P. Sethi &. Gerald L. Thompson. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics[M]. Second Edition, 2000
5.罗季荣.马克思社会再生产理论[M].人民出版社，1982
6.朱殊洋.两大部类最优均衡积累率的确定[J].探求，2008（5）
7.徐跃华.以社会主义生产目的为目标的两大部类最优投资分配—以马克思扩大再生产理论为基础[J].广州大学学报（社会科学版），2009（7）。