《新步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)第四篇三角函数、解三角形、平面向量高考

3．三角函数、解三角形、平面向量
1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．
任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y
x (x ≠0)，三角函数值只与角
的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．
[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin α
cos α
.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
角 －α π－α π＋α 2π－α π2－α 正弦 －sin α sin α －sin α －sin α cos α 余弦
cos α
－cos α
－cos α
cos α
sin α
[问题2] cos 9π
4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin21π的值为_______________________________． 3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；
(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π
2
，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；
对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π
2，0，k ∈Z . (3)单调区间：
y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π
2＋2k π (k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )，
减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；
y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π
2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：
y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．
易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；
(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π
2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π
3的递减区间是________________． 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝β
sin2α＝2sin αcos α.
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，tan2α＝2tan α
1－tan 2α.
在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝1
2
[(α＋β)＋(α－β)]．
α＋π
4
＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－3
5，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 5．解三角形 (1)正弦定理：
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝
a 2R ，sin B ＝
b 2R ，sin C ＝c
2R
；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .
(2)余弦定理：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
等，常选用余弦定理判定三角形的形状．
[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 6．向量的平行与垂直
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．
[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，
a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
，
a 在
b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2
x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．
易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．
[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．
[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．
9．几个向量常用结论
(1)P A →＋PB →＋PC →
＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； (3)向量λ(AB →|AB →|＋AC
→
|AC →|
) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；
(4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →
|⇔P 为△ABC 的外心．
易错点1 忽视角的范围
例1 已知sin α＝
55，sin β＝1010
，且α，β为锐角，则α＋β＝________. 错因分析 只考虑α，β为锐角． 没有注意到sin α＝
55，sin β＝1010
本身对角的范围的限制，造成错解． 解析 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝25
5，
cos β＝1－sin 2β＝310
10
.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝
255×31010－55×1010＝2
2
. 又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝π4.
答案 π4
易错点2 图象平移把握不准
例2 已知函数f (x )＝sin(2x ＋π
4)，为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )
A ．向左平移π
8个单位长度
B ．向右平移π
8个单位长度
C ．向左平移π
4个单位长度
D ．向右平移π
4
个单位长度
错因分析 ①没有将f (x )，g (x )化为同名函数；②平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．
解析 g (x )＝sin(2x ＋π2)＝sin[2(x ＋π8)＋π
4
]，
∴y ＝f (x )的图象向左平移π
8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．
答案 A
易错点3 三角函数单调性判断错误
例3 求函数y ＝12sin(π4－2x
3
)的单调区间．
错因分析 由于受思维定势的影响，本题容易出现仍然按照函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x 满足2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π
2(k ∈Z )时函数单调递增，就会
求错函数的单调区间．
解 原函数变形为y ＝－12sin(2x 3－π4)，令u ＝2x 3－π
4，则只需求y ＝sin u 的单调区间即可，所以
y ＝sin u 在2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π
8(k ∈Z )上单调递增；y ＝sin u
在2k π＋π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋21
8π(k ∈Z )上单调递减．
故y ＝12sin(π4－2x 3)＝－sin u 的单调递减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π
8](k ∈Z )，单调递增区间为[3k π
＋9π8，3k π＋21π
8
](k ∈Z )． 易错点4 解三角形忽视检验
例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π
3，则角A ＝________；
(2)若角A ＝π
6
，则b ＝________.
错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π
6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，
由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π
2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．
解析 (1)由正弦定理a sin A ＝c
sin C ，
得sin A ＝a sin C c ＝1
2
，
又a ＜c ，所以A ＜C .所以A ＝π
6.
(2)由
a sin A ＝c sin C
， 得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π
3，
当C ＝π3时，B ＝π
2
，可得b ＝2；
当C ＝2π3时，B ＝π
6，此时得b ＝1.
答案 (1)π
6
(2)2或1
易错点5 忽视向量共线致误
例5 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 错因分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0即两向量同向的情况． 解析 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b
|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，
∴0<2λ＋1
5·λ2
＋1
<1， ∴⎩⎨⎧
2λ＋1>0，
2λ＋1<5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ>－12，
λ≠2.
∴λ的取值范围是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.
答案 ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
λ|λ>－12且λ≠2
1．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45B.35C ．－35D ．－45
2．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a
D ．c >a >b
3．(2015·东北三校联考)已知sin αcos α＝13，则cos 2(α＋π4)的值为( )
A.12
B.13
C.16
D.2
3
4．函数y ＝2sin(π
6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A ．[－π，－5π
6
]
B ．[－π
3
，0]
C ．[－2π3，－π6]
D ．[－π3，－π
6
]
5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－1
2
B ．－1
C ．－
32
D ．－ 3
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.
32B.22C.12D ．－12
7．(2015·陕西省五校第一次联考)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )
A ．－
32B.3
2
C ．－1
D ．1
8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．
9．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →
的值为________．
10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在闭区间[－π4，π
4
]上的最大值和最小值．
学生用书答案精析
3．三角函数、解三角形、平面向量
要点回扣 [问题1] －1
5
[问题2]
22－33
[问题3] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5
12π(k ∈Z ) [问题4] －56
65
[问题5] 45° [问题6] ④ [问题7]
12
5
[问题8] ④ 查缺补漏
1．D [因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－4
5
.]
2．C [∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°， c ＝tan35°＝sin35°
cos35°，
又0<cos35°<1， ∴c >b >a .]
3．C [∵sin αcos α＝13，
∴sin2α＝2sin αcos α＝2
3
，
∴cos 2(α＋π
4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－
2
32＝16.]
4．C [因为y ＝2sin(π6－2x )＝－2sin(2x －π
6
)，
所以函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间就是函数y ＝sin(2x －π
6
)的单调递减区间．
由π2＋2k π≤2x －π6≤3π
2＋2k π(k ∈Z )， 解得π3＋k π≤x ≤5π
6＋k π(k ∈Z )，
即函数y ＝2sin(π
6－2x )的单调递增区间为
[π3＋k π，5π
6＋k π](k ∈Z ) 又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，
故函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间为[－2π3，－π6]．]
5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫
π3，2， 则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π
3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z ，
得φ＝－π
6
＋2k π，k ∈Z .
f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π
6＋2k π＝－1.] 6．C [∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 2
2ab ，
又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为1
2.]
7．D [DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →
，
又DB →＝DA →＋AB →，
所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝DA →2
＋13AB →2＋43DA →·AB →＝1＋43－43
AD →·AB → ＝73－43|AD →|·|AB →|cos60°＝73－43×1×2×12＝1.] 8．27
解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A ，
∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC
＝2sin C ＋4sin(120°－C )
＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )
＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝
3
2
，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°， 且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27. 9.1
9
π2－1 解析 由题意可知A (π6，1)，B (2π3，－1)，OA →·OB →＝π6×2π
3＋1×(－1)＝19π2－1.
10．解 (1)由已知，
有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋3
4
＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋3
4 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π.
(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π
4]上是增函数，
f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－1
2，
f (π4)＝14
， 所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－1
2
.。