拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用
林天军 5140309331 F1403014
摘要：在含有两个独立动态元件的电路中, 单网络变量的电路方程是二阶微分方 程, 这样的电路称二阶电路。

用时域分析直接求解二阶微分方程时、费时、费力、 难度较大, 须建立电路方程, 求特解、通解以及用初始条件确定积分常数等[1]普拉斯变换, 将时域函数转化为复频域函数（s 数）, 待确定响应后再用拉氏反变换得到时域响应即最后的解。

这种分析方法不用求特解, 通解及确定积分常数, 求解较为简单。

关键词：拉普拉斯变换，二阶电路，逆变换。

一、前言
拉普拉斯变换法是研究线性非时变动态电路的基本工具。

他能将时域中的微分运算以及积分运算分别变换为复频域（s 域）中的乘法及除法，从而将时域中的积分，微分方程变换为复频域中的代数方程，而且在方程中自动计入电路的分析计算变的简单有效。

1.拉氏变换
设时域函数()f t 在区间[0，∞）内的定积分为()0st f t e dt ∞
--⎰而式中，其复 频率为s j σω=+。

若该积分在s 某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为0()()st F s f t e dt ∞
--=⎰则复频域函数()F s 定义为时域函数()f t 的拉普拉斯变换—（简称拉氏变换），简记为()[()]F s f t ζ=，在拉普拉斯变换式中取积分下限为0-，可以计及t=0时的()f t 中包含的冲激函数，从而给计算含冲激电压或冲激电流的电路带来方便[2]。

2.拉普拉斯变换的基本性质
（1）线性性质
若11[()]()f t F s ξ=，22[()]()f t F s ξ=，则对任意常数1a 及2a （实数或虚数）有112211221122[()()][()][()]()()a f t a f t a f t a f t a F s a F s ξξξ+=+=+
（2）微分性质
若[()]()f t F s ξ=，则[
()]()(0)d f t sF s f dt
ξ-=- （3）积分性质
若[()]()f t F s ξ=，则01[()]()t f d F s s ξττ-=⎰ （4）时移性质
若[()]()f t F s ξ=，则[()]()st f t e F s ξτ--=
（5）频移性质
若[()]()f t F s ξ=，则[()]()t e f t F s a αξ=-
3.拉普拉斯逆变换
复频域的象函数()F s ,与因子st e 相乘,构成一个s 的新函数()st F s e ,再从()j σ-∞到()j σ+∞对s 求定积分, 将积分值除以2j π,即得原函数()f t 。

这定积分称为拉普拉斯反变换, 简称拉普拉斯逆变换，即()11[()]()2st
j j f t F s F s e ds j σσξπ+∞--∞==⎰由该式可以将s 域电路的象函数()F s 再转化为时域函数()f t 。

4.电路的基本定理的复频域形式
将电路的时域形式转变为复频域形式后, 其电路元件模型和电路特性方程有如下形式。

（1）电阻元件
在复频域中，电阻电压的象函数与电阻电流的象函数之间也服从欧姆定律，即()()R R U s RI s =，模型如下图1所示。

图1.电阻元件复邻域形式
（2）电容元件
在复频域中，电容元件电压-电流关系的复频域形式为()()(0)c c c I s sCU s Cu -=-或(0)1()()s c c u U s I s s sC
-=+，其复频域的戴维宁模型、诺顿模型如图2所示。

图2. 复频域戴维宁模型复频域诺顿模型
（3）电感元件
()C
U s (0)C u s -1
sC C
在复频域中，电感元件电压-电流关系的复频域形式为()()(0)L L L U s sLI s Li -=-或(0)1()()L L L i I s U s s sL -=+其复频域的戴维宁模型、诺顿模型如图3所示。

图3. 复频域戴维宁模型复频域诺顿模型
5.应用举例
例：已知(0)0c U -=，输入信号为()t ε和()t δ，求：()C U t ？
该题目用一般来求解十分复杂，若用拉普拉斯变换出发，则就显得十分简单。

解：运算电路中将电压源转换成电流源。

如图所示
∵(0)0c U -=
∴电流源(0)0c CU -=，为开路。

根据KCL ，节点分析法：
111310110()1()105101010C C s s Cs U s U s s s ++⎛⎫⎛⎫++=+⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112
1101033()33(310)1010C s s U s s s s s s s +
+===++⎛⎫++ ⎪⎝⎭
L (0)Li
()
L U s 10
(t ε
[]31012()()()33t C C u t U s e t ξε-⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭-1
6.总结
拉普拉斯变换的根源来自拉普拉斯，从19世纪末英国工程师赫委赛德（Heaviside ）所发明的算子发展而来，今天广泛的应用在电路分析、信号处理等领域。

简化了许多繁琐的运算，提高了工作效率，促进了科学的发展[3]。

7.参考文献
[1]姚仲兴, 电路分析导论, 浙江大学出版社
[2]陈洪亮、张峰、田社平.电路基础.高等教育出版社.（2007：249-250）
[3]邱关源主编.电路.(第四版).北京:高等教育出版社1999。