保险精算-生存函数

第二章 生存分布与生命表
本章主要研究生存分布与生命函数
第一节 生存分布
本节主要研究：三个随机变量X 、T 、K 的分布，其中以X 的分布作为最基本的分布。

一、X 的分布
X ：表示一个人从出生到死亡时间；个人寿命；连续型随机变量。

其分布函数记为()F x ，其密度函数记为()f x 。

于是 ()()F x P X x =≤ (0)x ≥
()f x ='()F x =0()()
lim
x F x x F x x
∆→+∆−∆；
其分子为在x 岁与x x +∆岁间死亡概率（不妨假设0x ∆>），当0x ∆→时，()f x 表示在x 岁这一瞬间的年死亡概率。

于是()F x =0()x
f u du ∫
12()P x X x <≤=21()()F x F x −=2
1
()x x f u du ∫ ①
记()s x =()P X x >=1()F x −为一个新生婴儿活过x 岁的概率。

在统计学中，常用分布函数()F x ；而在精算学中，则更多使用()s x 。

具有如下性质：
①(0)1s = ； ②()0s +∞=；③()s x 是递减函数； ④()s x 一般为连续函数。

12()P x X x <≤=21()()F x F x −=12()()s x s x −. ()E X =
()xf x dx +∞
∫
var()T =
20
(())()x E x f x dx +∞
−∫
=22()(())E x E x −。

二、T 的分布
()T T x = 表示()x 未来能够生存的时间，或称为未来寿命或剩余寿命，连续
型r.v 。

()T T x ==X x − 显然 (0)T X = T 的分布函数为 ()G t =(t)P T ≤
=(|)P X x t X x −≤> =
()()
()
s x s x t s x −+
它表示()x 在未来t 年内的死亡概率。

密度函数为 ()g t ='()G t 表示()x 在x t +岁时的年度死亡概率。

三、K =()K x =[()]T x 的分布
K 表示()x 活到死亡时，还能生存的最大整年数，取整余命，离散型r.v 。

()P K k ==(1)P k T k ≤<+
=()(1)
()
s x k s x k s x +−++。

第二节 生命函数
本节主要介绍：x l 、x d 、x p 、x q 、t x p 、t x q 、t x d 、|f x q 、|f r x q 、x µ、x L 、x T 、
x e 、x e °
一、x l
引入0
1()l x j j L I x =∑＝，其中()j I x =1,0,x 当第j个新生婴儿能活到岁
否则
(())E L x =0()l s x ，记x l =(())E L x ，那么0()x l l s x =。

二、x d
x d =1x x l l +−
三、x p
x p =
1
x x
l l + 四、x q
x q =
x
x
d l 1x x p q += 五、t x p
x t
t x x
l p l +=
m n
x m xn x m p p p ++=
六、t x d
t
x x x t d l l +=−=11x x t x x x t l l d d d ++++−+++…
11x x x l d d d ω+−=+++…
七、t x q
t
x
t x x
d q l =
1t x t x p q + = 八、|f x q
1
|x f x f f x x
l l q l +++−=
=f x f r x p p +− =1f x f x q q +− =f x x f p q +
九、|f r x q
|x f x f r
f r x x
l l q l +++−=
=f x f r x p p +− =f xr x f p q +=f r x f x q q +−
n
x q =1|2|1|x x x n x q q q q − + + ++ …
十、x µ
定义x µ=()()s x s x ′−
=x x l l ′−=()
1()
F x F x ′−。

注意：()()x s x s x µ′=−
x
x x l l µ′=− t x p =0t
x s ds
e
µ+−
∫=x t
y x
dy
e µ+−∫
()s x =0x p =0
x
s ds e µ−
∫ ()x F x =1()s x −=01x
s ds e µ−
∫−
()x f x =0x x p µ
()T F t =()G t =0
1t
x s ds e µ+−
∫−=1t x p −
()T f t =()g t =t x d
p dt
−
=t x x t p µ+ （0t ≥） 注意：n x q =0n
t x x t p dt µ+∫
n x p =t
x x t n
p dt µ+∞
+∫
|f r
x q =f r t
x x t f
p dt µ++∫
对比K 的分布 (())P K x k ==
()(1)
()s x k s x k s x +−++=k x x k p q +=|k x q
补例：证明：t x d
p dt
=()t x x x t p µµ+−
十一、x L
x L =1
0x t l dt +∫
=1
10
x t x t x tl dt l µ++++∫
在UDD 假设条件下：11
()2
x x x l l l +=+（这里x t x l l tdx +=−） 十二、x T
12x x x x T L L L ++=+++…
=0
x t l dt +∞+∫=0
x t x t tl dt µ+∞
++∫
在UDD 假设条件下：121
2
x x x x T l l l ++=+++…
十三、x e °
（完全平均余命）
(())x e E T x °==0x x t tp dt µ+∞+∫=0
t x p dt +∞
∫
=
x
x
T l 十四、x e
(())x e E K x ==1
t x t p +∞
=∑=12x x x l l l ++++…=0x k k x kd l +∞
+=∑=x x T
l ∗
其中，12x x x T l l ∗++=++…。

1
2
x x e e °
=+
补充：1.证明：1(1)x x x e p e +=+ 2.证明：1x x x d e e dx
µ°°
=−。

第三节 正分数年龄生命函数
一般的生命表给出的是整数年龄的生命表函数，而对于分数年龄的生命函数，则可由其在一定假设条件下去近似的估计。

通常有三种假设：死亡均匀分布假设、死力常数假设、Balducci 假设，但最常用的是死亡均匀分布假设。

一、死亡均匀分布假设
（UDD=Uniform Distribution of Deaths ，线性插值法linear interpolation ）
()(1)()(1)s x t t s x ts x +=−++
或
1(1)x x x l t l tl +=−+
结论：x t x x l l td +=−(注意 t x x d td =) t x x q tq = 1t x x p tq =−
1x
y x t x
yq q tq +=
− （01t ≤≤，01t y ≤+≤，01y ≤≤） 1x
x t x
q tq µ+=
−
t
x x t x p q µ+=（在各年龄段上密度函数为常数）
由S T K =−，且1()2E S =
，1var()12
S = ⇒ 1
2
x x e e °
=+
1var()var()12
T K =+。

二、死力常数假设
（CFM=constant force of mortality ，几何插值法Exponential interpolation ）
1()(())((1))t t s x t s x s x −+=+ 或11()()t t x t x x l l l −++=
亦可表示为：ln ()(1)ln ()ln (1)s x t t s x t s x +=−++。

亦可表示为：x t x µµ+= （01t ≤<）
()()x t s x t s x e µ−+= （01t ≤≤）这里 ln x x p µ=−
则x t t x p e µ−==()t x p
1x t t x q e µ−=− x t t x x t x p e µµµ−+=（这实际上表示T 服从指数分布）
1()y y
x t x p p +=−=1x y e µ−−。

三、鲍德希鲍德希（（Balducci ）假设 （Harmonic interpolation ）
调和插值法：11()()(1)
t t
s x t s x s x −=+++
或
1
11x t
x x t t
l l l ++−=
+ 结论：1(1)x t x x tq q t q =
−− 1(1)x
t x x
p p t q =−−
1(1)x
y x t x
yq q t y q +=
−−−⇒令1y t =−
1(1)t
x t x q t q −+=−
1(1)x x t x q t q µ+=
−− 2
[1(1)]x x
t x x t x p q p t q µ+=−−
讨论：试比较三种假设的适用性
例：已知700.06q =，710.08q =，试分别在三种假设下计算70岁的人在1
702
岁
与1
712之间死亡的概率？（1） UDD （2）CFM （3）Balducci 。

解：（1）在各年龄段UDD 假设下：
1/270q |=1/21/27011/270q q | |+=1/2701/21701/271702
..p q
p q +=1/2
70
1/270701/2711/270
(1)
(1)1q q q q q −+−−
=1/2701/27170(1)q q q +−=11
0.060.08(10.06)22
×+××−=0.03+0.0376=0.067
（2）在CFM 下：
1/270q |
=1/21/27011/270q q | |+=1/2701/21701/27170
2
..p q
p q +=111222
70707071()(1())(1())p p p p −+−
=1112
2
2
(10.06)[1(10.06)](10.06)[1(10.08)]−−−+−−− =0.029*******.038383673+ =0.0679
（3）在Balducci 假设下：
1/270q |=1/2701/2701/21701/271702
..q p q p q |+
=717071
7070707171
11(1)22.(1).1(11/2)11/21(11/2)q q q p q q q q −+−−−−−− =70707170707111(1)
2211/211/2p q q q q q −+−−=0.029*******.03833333+=0.0674。

其它生命函数介绍： 中心死亡率 定义x m =x x d L =1
01
0x t x t x t
l dt l dt
µ+++∫∫
=1
x x x
l l L +− 在UDD 假设下，11()2x x x L l l +=
+=1()2x x x l l d +−=12
x x l d − x m =12
x x x d l d −=22x x q q −， 22x
x x m q m =+。

第四节 生命表的分类
一、生命表及其编制 1．生命表概念
2．生命表编制方法
二、生命表的分类
1．按编制对象的不同
生命表 国民生命表
经验生命表
2．按性别划分
生命表
男子生命表女子生命表男女混合表
3．按年龄间距大小划分
生命表 完全生命表
简略生命表
4．按一批人的成长是受单个因素还是受多个因素影响
生命表
单减因生命表
多减因生命表
就经验生命表而言，可进一步划分为：
（1）按适用业务种类划分
寿险生命表年金生命表
（2）按性别划分
男子生命表
女子生命表
（3）按签约时间长短可以划分为
选择终极表综合表
三、我国生命表的历史
我国人寿保险业自1981年恢复人身保险业务以来的十多年时间里，由于处于起步期，缺少寿险业务数据，一直借用日本全今社生命表；但与中国实际相差很大。

到1991年，人寿保险长期业务承保人数又超过800万，为编制自己的经验表提供了可能。

中国人民保险公司于1992年下半年开始着手研究制作经验生命表的可行性，1993年正式开始筹划制作经验生命表的总体方案，才实施 该方案于1993年底获得批准，1994年开始正式实施。

1995年7月中国第一张人寿保险业经验生命表制作完成。

收集范围1985.1.1-1993.12.31期间所承包的所有长期人寿保险业务；1990.1.1-1993.12.31为本次死亡调查的观察期。

（共用8000742张保单）
1996.6经当时的中国人民银行公布，在中国境内从寿险业务的保险公司统一使用“中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”
2005.12.19保监会下发规定自2006.1.1起使用《中国人寿保险业经验生命表
（2000-2003）
》。

四、选择-终极表
由于()x 参加人寿保险，要经过体验，因而死亡率较低，经过一段时间后，验体效力基本上消失，这时又恢复到正常情形。

在选择期内，死亡率[]x j q +，(0,1,2,)j =…由两个变量决定，一个是选择年龄（即参保年龄），二是已经过的年
数为j 年，反映其在接下来的一年内的死亡率，（即报的是在x j +岁与1x j ++岁间的死亡）。

由于验体效力的作用，[][1]1[2]2[3]3x x x x q q q q −+−+−+<<<<…，但经过一段时间后，无论曾经在哪一年龄选择，活到相同岁数的生存者，其死亡概率将基本上相同。

精确的说，对于某个正数ε如存在一个最小的整数r ，则使得对所有选择年龄[]x 及所有0j >，均有：[][]x r x j r j q q ε+−++−<，即[][]x j r j x r q q −+++≈（0j >）这里[]x r q +可以写成x r q +（其中r 为选择期）。

这种依据承保期超过选择期的死亡率而编制的生命表称为终极生命表；而依据选择期内各年度死亡概率（即考虑投保年龄及已经过年数而获得的死亡概率）而编制的生命表，称为选择生命表；不考虑投保年龄，经过年数而获得的死亡概率而编制的生命表，称为
对于选择-终极表的建立，一般先建立终极表，然而再建立选择表。

终极表由00(1)x x l l q =− 来产生一组数值[]x r x r l l ++=，其中r 为选择长度；对于选择表部分，则依据[][]1[]1
x r k x r k x r k l l p +++−−+−−=
（0,1,2,k r = (1)
第三章 人寿保险的趸缴纯保费
人寿保险就是以人的生命为保险标的，以人的自然生死为保险金给付责任的人身保险。

具体而言，依据保险责任的不同，又可以分为：
人寿保险
纯生存保险生存保险生存年金保险定期死亡保险即期死亡保险终身死亡保险
死亡保险定期死亡保险延期死亡保险终身死亡保险生死两全保险（又称为养老保险）
生存保险主要解决长寿保险，死亡保险主要解决早死风险，而两全保险的作
用兼而有之。

将死亡保险、生死两全保险统称为（狭义的）人寿保险，本章主要讨论这种狭义上的人寿保险。

本章主要知识结构体分为：（以保险金支付及时程度来划分）
1.1
2.m m
死亡所在年末支付保险金的人寿保险
离散型人寿保险死亡所在年(>1)末支付保险金的人寿保险 }3.死亡所在时刻支付保险金的人寿保险连续型人寿保险
同时，也可依据其保险金支付的余额是否随死亡时间的推移而发生变化，而
将其分为：
等额寿险
变额寿险（非等额寿险、非均衡给付保险）
即期/延期；定期/终身。

第一节 死亡所在年末支付保险金的人寿保险
一、等额寿险 （一）终身寿险
1．x A 表示x 岁加入、死亡年末支付保险金1的终身寿险的趸缴纯保费，亦称为人寿保险的精算现值。

依生命表，及收支平衡原则有：
2312x x x x x l A vd v d v d ++ =+++⋯
∴23
12x x x x
A vq v q v q =+++⋯。

2．令x Z =“保险人支付保险金的现值”，显然Z 为离散型随机变量，其分布律为：
()x x P Z v q == 21()x x P Z v q == ……
1()k x x k P Z v q + == （即1K Z v +=，且()x k P K k q == ） ……
∴2
1
1()k x x x
x k E Z vq v q v
q +
=++…++…=1
k x k k v q +∞
+ = ∑=x A 2
2
4
2(1)
1()k x
x x
x
k E Z v q v q v
q + =++…++…=2(1)0
k x k k v q +∞
+ = ∑2x A ≜
这里2x A 表示x 岁参加的在利息力翻倍的条件下，死亡年末支付保险金1的终身寿险的趸缴纯保费。

2(1)2(1))k k v e δ+−+=(∵21()k e δ−+=1()k v
+=ɶ，这里2v e δ−=ɶ，而v e δ−= ∴2()(())x x x Var Z E Z E Z =−22()(())x x E Z E Z =−22()x x A A = − 3．计算： 1
k x x
k k A v
q +∞
+ ==∑10x k x x
k x v d v l +++∞
==∑0x k k x
C D +∞+==∑x
x M D =。

其中，替换函数为：
x x x D v l = 1x x x C v d +=
12x x x x N D D D ++=+++… 12x x x x M C C C ++=+++… 12x x x x S N N N ++=+++… 12x x x x R M M M ++=+++…。

通过对于常用生命表，常用预定利率作出替换函数表，从而简化计算。

（二）定期寿险
1:x n
A 表示n 年定期寿险的趸缴纯保费，
11:,0,1,,10,,1,K x n
v K n Z
K n n + =…−= =+…
1:()x n
A
E Z =1
1
n k x
k k v
q −+ ==∑1
0n x k k x C D −+==∑x x n
x
M M D +−= 特例：称1:1
x x c A =x
x
C D =x vq =为自然保费。

2
11::()x n
x n
A
E Z
=1
2(1)0
n k x k k v q −+ ==∑
∴1211
2:::var()()x n x n x n
Z A A = −。

（三）两全保险
所谓生死两全保险指的是被保险人在保险期内死亡，或者期满生存时均给付保险金的人寿保险。

实际上，它是由生存保险与死亡保险合并而成，故又称生死合险。

:()x n A E Z = 1
10n k n x n x k k v q v p −+ ==+∑11
::x n x n
A A =+x x n x n
x
M M D D ++−+=
1
2
2(1)20
()n k n x n x k k E Z v q v p −+ ==+∑2:x n A = （显然，22121
:x n x n x n
A A A = + ：：） ∴22::var()()x n x n Z A A = −
若记11,0,1,2,10,K v K n Z K n + =…,− = ≥
20,0,1,2,1
,n K n Z v K n
=…,− = ≥
则12Z Z Z =+，显然12()()()E Z E Z E Z =+
∴ 11
:x n x n x n
A A A =+：：
（四）延期寿险
1．()x r A E Z =10k r x k r k v q +∞
+++ ==∑
10,01
,K K r Z v K r + ≤≤− = ≥ 当时
11k x x k x r
k r
A A
v q +∞
+ =−=∑：
22
var()()x x r r Z A A
=− 2．1
:()r x n
A
E Z =11
r n k x
k k r
v
q +−+ ==
∑x r x r n x
M M D +++−=
1
r r x x r n
v p A +=⋅： 10,01,10,K K r Z v r K r n K r n + ≤≤−
=≤≤+− ≥+
111
:r r x x r n x r x r n A A v p A ++−=⋅：： 2112
::var()()r r x n x n
Z A A =− 3．:()r x n A E Z =1
1r n k r n x r n x k k r
v q v p +−+++ ==
+∑
x r x r n x r n
x
M M D D +++++−+=
10,01,1,K r n
K r Z v r K r n v K r n
++ ≤≤−
=≤≤+− ≥+
1::r
r x x r n x r
x r n A A v p A ++−=⋅： 22::var()()()r r x n x n Z A A =−
二、非等额寿险 （一）递增寿险： 1．终身寿险
()()x IA E Z =10(1)k x k k k v q +∞
+ ==+∑
(1)x k k x C
k D +∞
+==+∑10
(1)()
x k
x k k x
k M
M D +∞
+++=+−=
∑
1x x x M M D +++…=
x
x
R D =
思考：方差()Var Z 应如何计算，是否有22var()()(())x x Z IA IA = −（否） 能否用Excel 计算？
2．定期寿险 1
11:0
()
(1)n k x k x n
k IA k v q −+ ==+∑x x n x n
x
R R nM D ++−−=
3．两全保险
11
:::()()x n x n x n
IA IA n A =+⋅x x n x n x n x x R R nM nD D D +++−−=+1
x x n x n x
R R nM D +++−−=()E Z =
1
(1),0,1,,1
,K n K v K n Z nv K n
+ +=…− = ≥
4．递增水平终身寿险 1:()()x x n n x n
I A IA n A =+⋅x x n x n
x
R R nM D ++−−=
x x n
x
R R D +−=
()E Z = 1
1(1),0,1,,1
,K K K v K n Z nv K n
++ +=…− = ≥
（二）递减寿险
1．定期寿险 1
11:0
()
()n k x k x n
k DA n k v q −+ ==−∑()E Z =()E Z =11()
x x x n x
nM R R D +++−−=
；
其中1(),0,1,,1
0,K n K v K n Z K n + −=…−= ≥。

2．递减水平终身寿险
1:()()x x n n x n D A DA A =+ ()E Z =1()
x x x n x
nM R R D ++−−=
其中1(),0,1,,1
,,1,K K n K v K n Z V K n n + −=…− = =+ …。

思考：如果保险金额的给付随着时间的推移不是按等差数列变化；而是按等比数列变化，如何解决其计算问题？
例 某35岁的被保险人投保了终身寿险，该保单规定如果被保险人在第n 年
死亡，则于死亡年末支付保险金(1.02)n (1,2,)n =…。

已知预定利率为3%，求35岁的人的趸缴纯保费。

（假设保险金支付的是(1.05)n (1,2,)n =…，则结果如何？）
以CL1（2000-2003）为例，用Excel 演算出计算结果？ 例 已知100x l x =−，0100x ≤≤，0.05i =计算40()IA 解：∵50
1
4040
0()(1)k k k IA k v
q
+ ==+∑59
1(1)60
k k ==+⋅
∑ 601()60Ia =6060601600.05
a
v −=⋅
ɺɺ 5.554541=。

第二节 死亡所在1
m
年末支付保险金的寿险
首先对任何一个保险年度，作m 等分的划分，其次在死亡所在的1
m
年末支付保险金1。

一、等额寿险 （一）终身寿险
设()
m x A 表示x 岁加入于死亡所在
1
m
年末支付保险金1的终身寿险的趸缴纯保费。

显然 123()11223()()()m m
m
m
x x
x x x x x x m
m
m
m
m
l A
l l
v l
l
v l
l
v +
+
+
+
+
=−+−+−+…
∴11223123()x x x x x x m m
m
m
m
m
m
m
m
x x
x
x
l l l
l l
l A v v
v
l l l +
+
+
+
+
−−−=+++…
12311121m
m
m
x x x m
m m
m m
v
q v
q v
q =+++…
110
l m
l x l m m
v
q ++∞
==∑11
100
j m k m
j x k k j m m
v
q ++∞−+
+ ===∑∑
在UDD 假设下，
11j x k x j x k j k x k m m
m
m
m
q p p q
++ ++
= ⋅1(1)1x k
k x j x k m x k q m p q j q m
+++= − ⋅−
1k x x k p q m +=
1
x k q m
= 。

∴1
1
()00
1j m k m m
x
x k k j A UDD v
q m ++∞−+ == 1111
01j m k m x k k j v q v m ++∞−−+ ===⋅∑∑ 11
10
1(1)j m m x j A i m +−−==⋅+∑()1m x A s =
()
x m i A i
=
∴()()
m x x m i A UDD
A i。

下面思考：()
m x
A 是否可以看成保险人支付保险金的现值的期望值？ 即若()()()m m x A E Z =，那么()?m Z =。

由于在第1K +保险年度中的第1J +长度为1
m
的分年度内死亡时，在分年度末支付保险金1的现值为： 1()
J K m m
Z
v
++
= 且1(,)j x k m m
P K k J j q + ===
(0,1,2,0,1,2,1k j m =…, =…−)其中
（二）n 年定期寿险 1():m x n
A
=111
100
j n m k m
j x k k j m m
v
q +−−+
+ ==∑∑
UDD
1()
:m x n
i A i
=()()m E Z
其中1
()0,1,2,,10,1,2,,10,1,2,1J K m m v K n J m Z K n J m ++ =− =− = ≥ =−
⋯⋯⋯当时0当时 (三)n 年两全保险
():m x n
A
=111
100
j n m k n m
j x n x k k j m m
v
q v p +−−+
+ == +∑∑=1()::m x n x n
A A 1+=()()
m E Z UDD 1()
::m x n x n
i A A i 1
+ ()
:m x n i A i ≠
其中1()0,1,2,,10,1,2,,10,1,2,J K m m n v K n J m Z v K n J ++ =− =− = ≥ =
⋯⋯⋯当时当时
（四）延期寿险
()m x
r A
=11
10
j m k m
j x k k r j m m
v
q ++∞−+
+ ==∑∑=()()m E Z
=()
r m r x x r v p A +⋅
UDD ()
x m r i A i
证明：()m x
r A
=1
1
10
j m k m
j x k k r j m m v
q ++∞−++ ==∑∑
11
100j m l r m
j x l r l j m m
l k r v
q ++∞−++
++
===− ∑∑令
=11
100
j m l r m
r
x j x r l l j m m
v
p v
q ++∞−+
++ ==⋅∑∑
=()
r m r x x r v p A +⋅
其中，()
1
0,1,2,,10,1,2,,1,1,0,1,2,1m J K m K r J m Z
v
K r r J m ++0, =− =−
= , =+ =− ⋯⋯⋯⋯当时当时 1():m r x n
A
=
11110
j r n m k m
j x k k r
j m m
v
q ++−−++ ==∑∑
=1()
:r m r x x n
v p A ⋅=()()m E Z UDD
1
()
:m x n
i
A i
其中，随机变量
1
(),1,,10,1,2,,1J K m m v K r r r n J m Z ++ =++− =− = 0
⋯⋯当时其余 ()()
::m r m r x r x n x n
A v p A
=⋅ （随机变量表达式略） 例 1.已知100,(0100)x l x x =−≤≤，10%i =，计算1
40:10(0.10241)A ，140:10(0.32129)A ，40:10(0.42370)A ，1(4)40:10(0.10617)A ，(4)40:10
(0.42746)A 。

例 2.50岁的男子买了保额10万元的20年期定期寿险，于死亡年末支付保险金，以CL1（2000-2003）男表为基础，计算其定缴保费。

（UDD 假设）
解：1(12)
30:20100000NSP A =
UDD 1(12)
30:20100000i A i
⋅
=1
123%
105192.995212.46
100000405656.5121.031−⋅
⋅
−
=100000 1.0136778940.02460318××
2493.97≈
参照1
30:201000002460.32A =，相差33.65元。

若是保险金在死亡年末支付，则
趸缴保费是2460.32元。

引申：若是死亡所在季末支付，则
NSP ′=1(4)
30:20100000A
UDD 1
4
3%1000000.024*******.031⋅
×
−
=100000 1.0111807230.02460318×× 2487.83≈
与年末情形相差27.51元。

二、非等额寿险 （一）递增寿险
()m
x IA 表示x 岁的参加的，第一年死亡支付保险金1，第二年死亡支付保险金2，⋯，第n 年死亡支付保险金n ，⋯，且保险金于死亡所在
1
m
年末支付的终身寿险的趸缴纯保费。

()m
x IA =()()m E Z
其中 ()m Z =1(1)0,1,2,0,1,2,,1J K m K v
K J m ++ + = =−
⋯⋯当时0其余 =1
1
100
(1)j m k m
j x k k j m m k v
q ++∞−+
+ == +∑∑
UDD
11
00
1
(1)j m k m
x k k j k v
q m ++∞−+
==+∑∑ =()1
11
10
1
(1)1j m m
k x k k j k v q i m +−
+∞
−+ ==+⋅
+∑∑
=
()()
m x i IA i
同理可得：()1:m x n
IA ()
=111
100
(1)j n m k m
j x k k j m m
k v
q +−−+
+ == +∑∑
UDD (
)1
():m x n i
IA i
（二）递减寿险 ()1:m x n
DA ()
表示第1年死亡支付保险金n, 第2年死亡支付保险金n-1, 第n 年死
亡支付保险金1,并于死亡所在1
m
年末支付保险金的n 年递减寿险的趸缴纯保费。

()1:m x n
DA ()
=111
100
()j n m k m
j x
k k j m m
n k v
q +−−+
+ ==−∑∑=()()
m E Z 。

其中 1
()()0,1,2,0,1,2,,1J K m m n K v
K n J m Z ++ − = −1 =− =
⋯⋯当时0其余 UDD
1
11
00
1
()j n m k m
x k k j n k v
q m +−−+
==−⋅ ∑∑ =()1
11
1
10
1
()1j n m m
k x k k j n k v q i m +−
−−+ ==−⋅
+∑
UDD (
)1
():m x n i
DA i
()
1)
()
:m m x n
D
A (表示每年递减m 次，每次递减
1m ，第1个1
m
年死亡支付n ，并于死亡所在1
m
年末支付保险金的n 年递减定期寿险的趸缴纯保费。

第三节 死亡所在时刻支付保险金的寿险
死亡所在时刻支付保险金的寿险，又称为连续型人寿保险。

死亡所在时刻支付保险金，就是在()x T x T x +=+岁时支付保险金。

假设在时刻T 时支付金额为T b ,其折现因子为T v ，于是保险金支付在x 岁时的现值为T Ζ，那么 T T T b v Ζ = 因而趸缴保费为
()()T T T E E b v Ζ=
本节所讨论的寿险依死亡时保险金额是否相等，可以分为等额寿险和非等额寿险。

一、等额寿险
（一）终身寿险
x A （趸缴保费）
1.依据收支平衡原则
t x x x t x t l A v l dt µ+∞
++=
∫
t x t
x x t A v
p dt µ+∞
+ ∴=
∫=()t E v （即t T v x Ζ =,0<Τ<ω−）
2. x A 可视为()m x A 的极限
x A =()lim m x
m A
→+∞
=110
lim
l m
l x m l m m
v
q ++∞
→+∞
=∑
=1
1101lim l m
l x l m x l m m
v p m µ++∞++→+∞+
=∑=0
t t x x t v
p dt µ+∞
+∫
3.在UDD 假设下 ()()m x x m i
A UDD A i
两边对m →+∞取极限可得：x x i
A UDD A δ
()()11T K S K S =+=−+−∵
假设K 与S 独立且S 服从均匀分布，于是：
()t x A E v −=()()()
111S
K E v E i −+⋅+=x i A δ
其中，()
(
)
11S
E i −+ =()11
01u
i du −+∫=()1
1u
i du +∫=1s =i
δ
为了计算x A ，现在引入替换函数x C ，其含义为：
1
0x t x x t x t C v l dt µ+++=∫
x M =12x x x C C C +++++⋯
=1
1
1
12112200
x t x t
x t x t x t x t x t x t x t v l dt v
l dt v l dt µµµ++++++++++++++++++∫∫∫⋯
=1
23
1
2
x t x t
x t x t x t x t x t x t x t v l dt v l dt v l dt µµµ++++++++++++∫∫∫⋯
x R =12x x x M M M +++++⋯
=1223x x x C C C +++++⋯=()01x k k k C +∞
+=+∑
在UDD 假设下，x t l +=x l tdx − x t x t
x t l l +++′∴µ=−=x dx
l tdx
− x t x t l dx µ++ ∴ =
于是x C =1
0x t
v dxdt +∫UDD ()
11
1
1t
x v dx i dt −+⋅+∫=()1101t x i C − +− δ =x i C δ
或者由 1
10
(1)t
i dt − +∫=112
(1)
1i −+⋅12
(1)i +
另外，i δ=1e δ−δ=211
126+δ+δ+⋯
12
(1)i +=2
e δ=211
128
+δ+δ+⋯
1
2(1)i
i ∴≈+δ
还可以从意义上去理解：12
(1)x x C i C = +，从而也可理解：12
(1)x X A i A = +
附录2 附 表
附表1 中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）
年龄年龄 非养老金业务表非养老金业务表 养老金业务表养老金业务表
男(CL1)(CL1) 女(CL2)(CL2) 男(CL3)(CL3)
女(CL4)(CL4) 0 0.000722 0.000661 0.000627 0.000575 1 0.000603 0.000536 0.000525 0.000466 2 0.000499 0.000424 0.000434 0.000369 3 0.000416 0.000333 0.000362 0.000290 4 0.000358 0.000267 0.000311 0.000232 5 0.000323 0.000224 0.000281 0.000195 6 0.000309 0.000201 0.000269 0.000175 7 0.000308 0.000189 0.000268 0.000164 8 0.000311 0.000181 0.000270 0.000158 9 0.000312 0.000175 0.000271 0.000152 10 0.000312 0.000169 0.000272 0.000147 11 0.000312 0.000165 0.000271 0.000143 12 0.000313 0.000165 0.000272 0.000143 13 0.00032 0.000169 0.000278 0.000147 14 0.000336 0.000179 0.000292 0.000156 15 0.000364 0.000192 0.000316 0.000167 16 0.000404 0.000208 0.000351 0.000181 17 0.000455 0.000226 0.000396 0.000196 18 0.000513 0.000245 0.000446 0.000213 19 0.000572 0.000264 0.000497 0.00023 20 0.000621 0.000283 0.000540 0.000246 21 0.000661 0.000300 0.000575 0.000261 22 0.000692 0.000315 0.000601 0.000274 23 0.000716 0.000328 0.000623 0.000285 24 0.000738 0.000338 0.000643 0.000293 25 0.000759 0.000347 0.00066 0.000301 26 0.000779 0.000355 0.000676 0.000308 27 0.000795 0.000362 0.000693 0.000316 28 0.000815 0.000372 0.000712 0.000325 29 0.000842 0.000386 0.000734 0.000337 30 0.000881 0.000406 0.000759 0.000351 31 0.000932 0.000432 0.000788 0.000366 32 0.000994 0.000465 0.00082 0.000384 33 0.001055
0.000496
0.000855
0.000402
续附表1 中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）
年龄年龄 非养老金业务表非养老金业务表 养老金业务表养老金业务表
男(CL1) 女(CL2) 男(CL3) 女(CL4) 36 0.001275 0.000601 0.000985 0.000464 37 0.001367 0.000646 0.001043 0.000493 38 0.001472 0.000699 0.001111 0.000528 39 0.001589 0.000761 0.001189 0.000569 40 0.001715 0.000828 0.001275 0.000615 41 0.001845 0.000897 0.001366 0.000664 42 0.001978 0.000966 0.001461 0.000714 43 0.002113 0.001033 0.001560 0.000763 44 0.002255 0.001103 0.001665 0.000815 45 0.002413 0.001181 0.001783 0.000873 46 0.002595 0.001274 0.001918 0.000942 47 0.002805 0.001389 0.002055 0.001014 48 0.003042 0.001527 0.002238 0.001123 49 0.003299 0.001690 0.002446 0.001251 50 0.003570 0.001873 0.002666 0.001393 51 0.003847 0.002074 0.002880 0.001548 52 0.004132 0.002295 0.003085 0.001714 53 0.004434 0.002546 0.003300 0.001893 54 0.004778 0.002836 0.003545 0.002093 55 0.005203 0.003178 0.003838 0.002318 56 0.005744 0.003577 0.004207 0.002607 57 0.006427 0.004036 0.004676 0.002979 58 0.007260 0.004556 0.005275 0.003410 59 0.008229 0.005133 0.006039 0.003816 60 0.009313 0.005768 0.006989 0.004272 61 0.010490 0.006465 0.007867 0.004781 62 0.011747 0.007235 0.008725 0.005351 63 0.013091 0.008094 0.009677 0.005988 64 0.014542 0.009059 0.010731 0.006701 65 0.016134 0.010148 0.011900 0.007499 66 0.017905 0.011376 0.013229 0.008408 67 0.019886 0.012760 0.014705 0.009438 68 0.022103 0.014316 0.016344 0.010592 69 0.024571 0.016066 0.018164 0.011886 70 0.027309
0.018033
0.020184
0.013337
续附表1 中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）
年龄年龄 非养老金业务表非养老金业务表 养老金业务表养老金业务表
男(CL1) 女(CL2) 男(CL3) 女(CL4) 71 0.030340 0.020241 0.022425 0.014964 72 0.033684 0.022715 0.024911 0.016787 73 0.037371 0.025479 0.027668 0.018829 74 0.041430 0.028561 0.030647 0.021117 75 0.045902 0.031989 0.033939 0.023702 76 0.050829 0.035796 0.037577 0.026491 77 0.056262 0.040026 0.041594 0.029602 78 0.062257 0.044726 0.046028 0.033070 79 0.068871 0.049954 0.050920 0.036935 80 0.076187 0.055774 0.056312 0.041241 81 0.084224 0.062253 0.062253 0.046033 82 0.093071 0.069494 0.068791 0.051365 83 0.102800 0.077511 0.075983 0.057291 84 0.113489 0.086415 0.083883 0.063872 85 0.125221 0.096294 0.092554 0.071174 86 0.138080 0.107243 0.102059 0.079267 87 0.152157 0.119364 0.112464 0.088225 88 0.167543 0.132763 0.123836 0.098129 89 0.184333 0.147553 0.136246 0.109061 90 0.202621 0.163850 0.149763 0.121107 91 0.222500 0.181775 0.164456 0.134355 92 0.244059 0.201447 0.180392 0.148896 93 0.267383 0.222987 0.197631 0.164816 94 0.292544 0.246507 0.216228 0.182201 95 0.319604 0.272115 0.236229 0.201129 96 0.348606 0.299903 0.257666 0.221667 97 0.379572 0.329942 0.280553 0.243870 98 0.412495 0.362281 0.304887 0.267773 99 0.447334 0.396933 0.330638 0.293385 100 0.484010 0.433869 0.357746 0.320685 101 0.522397 0.473008 0.386119 0.349615 102 0.562317 0.514211 0.415626 0.380069 103 0.603539 0.557269 0.446094 0.411894 104 0.645770
0.601896
0.477308
0.444879
105 1
1
1
1
非养老金业务（男表）（CL1）
x
x q x p x l
x d
x L
x T x e
x e
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