数学人教版九年级上册21.1一元二次方程(第一课时)

一元二次方程教学设计
【教材分析】
本节内容是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书第二十一章第一节一元二次方程，以生活中的实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，让学生掌握一元二次方程的特点，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念。

本节内容是在前面所学方程、一元一次方程、整式的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础，起到了承上启下的作用。

此外，二元一次方程在中考中占有一定的比重，而本节这些概念是全章后继内容的基础。

在生活中解决实际问题时一元二次方程也有着广泛的应用，充分体现着数学来源于生活，又服务于生活的基本思想。

【学情分析】
从心里特征来看，我所教学的学生是我校初三学生，经过两年的学习，大部分学生知识经验丰富了许多，他们的智力发展已得到了大幅度提升，具备了较强的验算和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

从认知情况来看，在本节课之前学生已经学习了方程、一元一次方程、一元二次方程、分式方程、整式，在八年级下学期勾股定理一节中接触过一元二次方程，这都为一元二次方程概念和一般式的教学提供了基础；同时学生已有了从实际问题中找等量关系的基本能力，因此在教学中以实际问题引出，通过学生自主探究、合作交流等形式主动建构知识，体验学习数学的成就感。

【设计思想】
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。

根据课标要求，本课时要让学生体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解方程，并通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识。

因此，本课时我主要通过丰富的实例，如“年龄问题”、“如何制作方盒”、“怎样组织排球赛”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，从中体会方程的模型思想。

1．教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法
引导学生首先从三个现实问题（年龄问题、制作方盒问题、体育比赛中的组合问题）概括出所列方程的共同特点并概括出一元二次方程的概念；接着就一元二次方程概念进行深入解读，让学生掌握一元二次方程的特点，归纳出一元二次方程的一般形式，感受一元二次方程这一概念的内涵，并通过提出问题，要求学生观察思考方程中未知数的个数和次数，引导学生联想并类比一元一次方程，以便更好地理解一元二次方程的有关概念。

这样编排，既有利于学生理解并接受新知识，又充分地反映出一元二次方程及其有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

【教学目标】
根据教材的地位作用以及学生的认知情况和心理特征，结合教学大纲对本节的要求，我确定了如下三维目标：
知识与技能目标：
1.理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是一元二次方程。

2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。

过程与方法目标：
1.引导学生分析实际问题中的数量关系，组织学生讨论，让学生类比、抽象出一元二次方程的概念，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

2.培养独立思考，合作交流，分析问题，解决问题的能力。

感态度与价值观目标：
1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

2.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。

3.让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的基本思想，从而意识到数学在生活中的作用。

【教学重难点】
重点：一元二次方程的概念及它的一般形式
难点： 1.由实际问题向数学问题的转化过程。

2.正确识别一般式中的“项”及“系数”。

3.一元二次方程的特点，如何判断一个方程是一元二次方程。

【教学流程安排】
活动流程图活动内容和目的
活动1 创设情境引入新课活动2 问题启发合作探究活动3 运用新知体验成功活动4 归纳小结拓展提高活动5 布置作业分层落实
复习一元一次方程有关概念；通过实际问题引入新知。

通过类比一元一次方程的概念和一般形式，让学生获得一元二次方程的有关概念及一般式。

巩固训练，加深对一元二次方程有关概念的理解。

回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。

分层次布置作业，提高学生学习数学的兴趣。

【教学过程】
问题与情景师生行为设计意图
一、创设情境引入新课
1.情境创设
（课件出示周瑜图片）
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物；
而立之年督东吴，
早逝英年两位数；
十位恰小个位三，
个位平方与寿符；
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
2.复习回顾
（1）什么叫一元一次方程？
（2）什么叫二元一次方程？
（3）什么叫分式方程？
3.解决问题，引出课题
学生一起品读后思
考解决问题的方法（列
方程）
从而将学生带入下
一环节——复习相关方
程概念。

教师提问，学生思
考后回答。

通过前面的思路—
首先出示古代周瑜
的图片及一段美文，吸引
学生的注意力；接着经过
品读找到文学中的数学
问题，激发学生的学习兴
趣，同时也体现了数学与
历史、语文的联系；再通
过学生思考出解决的办
法——列方程，引出本节
的内容——方程，为下一
环节做好准备。

复习方程及一元一
次方程，二元一次方程及
分式方程的定义，将学生
带入方程世界，着重指出
整式、未知数与次数，为
下面一元二次方程定义
的教学做好充分准备。

通过创设情境，古代问
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？—列方程，引导学生找
到关键句，从而由学生
独立思考,列出满足条件
的方程
30
11
2=
+
-x
x。

教师问：这是一元
一次方程吗？是二元一
次方程吗？
学生回答后教师引
出----这就是我们今天要
学习的一元二次方程
（板书课题）
题用现代知识来解，提高
学生的学习兴趣，营造良
好的课堂气氛，从而激发
学生积极思考，主动探
究，让学生体会方程是刻
画现实世界中数量关系
的一个有效数学模型。

问题与情景师生行为设计意图二、问题启发合作探究
1.问题探究
问题（1）：有一块矩形铁皮，长100㎝，宽50㎝，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题（2）：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
2.观察上面三个方程与一元一次方程有什么区别？它们有什么共同点？
3.一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，
教师提问，学生自
主回顾思考后举手回
答。

通过多媒体播放引
入问题，通过教师引导，
学生列出方程，解决问
题。

56
350
75
2
2
=
-
=
+
-
x
x
x
x
活动中教师应重点
关注:
学生对题目的理
解，可举例，由特殊到
一般，帮助学生理解题
意，从而引导学生列出
满足条件的方程。

教师提出问题，引
导学生思考。

由学生观察归纳这
3个方程的特征，给出名
称并类比一元一次方程
的定义，得出一元二次
方程的定义。

让学生通过数形结
合的方法，转化实际问
题，从而得到方程，为引
入一元二次方程的概念
做好准备。

通过解决实际问题
引入一元二次方程的概
念，进一步体会方程是刻
画现实世界中数量关系
的一个有效数学模型，同
时可提高学生利用方程
思想解决实际问题的能
力。

让学生充分感受所
列方程的特点，再通过类
比的方法得到概念，从而
达到真正理解概念的目
的。

叫做一元二次方程。

4.例1
请判断下列各式是否为一元二次方程：（多媒体出示） (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5.讲解一元二次方程的一般式：
为什么要限制a ≠0，b,c 可以为零吗？ 活动中教师应重点
关注:
(1) 引导学生观察所列出的3个方程的特点；
(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；
(3)强调定义中体现的3个特征：
①整式；②一元；③2次。

由学生独立思考后，教师抽部分学生回答。

(1)(2)(3)题较为简单，学生可非常容易给出答案；而(4)(5)题学生很容易出错，要重点强调。

此活动中，教师应注意对学生给出的答案
作出点评和归纳。

引导学生类比一元
一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数
的概念。

教师提问为什么要
限制a ≠0，b,c 可以为零吗？设疑后留出“空白”，让学生去思考、交流探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心
新课标指出“在素质教育的大前提下，及时适量的巩固与练习仍然是帮助学生掌握新知提升能力的必要途径”。

因此，针对一元二次方程的概念我设计了5个小题，这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解，5个题全面涉及3个特征加深学生对一元二次方程概念的理解。

数学教学论指出，数学概念要明确其内涵和外延，通过对一元二次方程的几个重要方面进行阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解又一次突破思维的难点。

通过独立思考，合作交流，分析问题，类比一元一次方程一般形式，得出一元二次方程一般形
21120x
x +-=0
52
3=+-x x ）（）（13122
+=+y x 2
222+=-x x x 0
2=++c bx ax
各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

活动中教师应重点关注:
(1) 引导学生从a=0;a≠0,b=0;a≠0,c=0;a ≠0,b=0,c=0四个方面去思考；
(2) 强调要找到一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。

式和项、系数的概念，从而达到对新知真正理解并掌握的目的。

此环节让学生通过小组交流讨论，培养学生合作交流意识。

同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

问题与情境师生行为设计意图三、运用新知体验成功
1.例2
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它
们的系数：
2.练习：填表：（多媒体出示）
先由教师在大屏幕
上显示问题,由学生自主
经过思考,给出符合条件
的答案,全体学生进行判
断是否正确。

此活动中，教师应
注意对学生给出的答案
作出点评和归纳并规范
做题格式。

活动中教师应重点
强调:
（1）一元二次方程
地一般形式不是唯一
地，但习惯上都把二次
项地系数化为正整数；
（2）一元二次方程
地二次项、二次项系数、
一次项、一次项系数、
常数项等都是针对一般
形式而言的；
（3）指出一元二次
方程各项系数时，不要
漏掉前面的符号
根据学生的学习
情况，采取抢答与教师
此题设置的目的在
于加深学生对一般形式
的理解，培养学生积极思
考，主动学习的能力。

此环节采取抢答与
教师抽取个别学生回答
)2
(5
)1
(
3+
=
-x
x
x
3.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
4.[例３]
2
)4
22=
+
-
-a
bx
x
a
（, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？抽取个别学生回答的形
式。

此环节中，教师应
注意关注每一个学生的
参与情况，适当把简单
的空留给接受较慢的学
生。

引导学生分析比较
一元一次方程和一元二
次方程概念的3个特征
和一般形式，总结归纳
一元一次方程和一元二
次方程的相同点和不同
点。

让学生独立思考后
举手回答。

此环节中，教师应
注意板书学生给出的方
程并且及时引导学生注
意类似的情况。

的形式，让大部分学生都
参与到活动中，提高学生
对数学学习的兴趣、参与
课堂活动的积极性。

分析比较一元一次
方程和一元二次方程的
相同点和不同点，易于学
生更好地掌握一元二次
方程的概念。

一元一次方程和一
元二次方程的在一个式
子中同时讨论，便于区分
比较，加深学生对一元一
次方程和一元二次方程
的相同点和不同点的印
象。

同时，让学生独立思
考后鼓励他们积极发言，
提高学生学习的兴趣，让
他们有学习数学的成就
感。

问题与情境师生行为设计意图四、归纳小结拓展提高
1．通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2.通过本节课的学习，你学到了哪些学习数学的方法？
3.通过本节课的学习，你最大的体验是什么？
2．思维拓展：若方程
3
)2
(=
+
+
-x
x
m m是关于x的一元二次方程，求m
学生各抒己见，教
师对学生的回答予以评
价。

小结时，教师应重
点关注：
（1）学生是否能抓
住本节课的重点；
（2）学生是否掌握
一些基本方法。

此题让学生进行思
考，讨论，让学生进行
讲解，教师作适当归纳，
可留疑，让学生课下思
小结反思中，不同学
生有不同的体会，尊重学
生的个体差异，激发学生
主动参与意识，为每个学
生都创造了数学活动中
获得活动经验的机会。

此题为学有余力的
学生准备，需进行分类讨
论，开拓学生思维，体现
数学的严谨性。

的值。

考。

五、布置作业 分层落实
必做题：教科书第4页练习1、2题
选做题：请根据所给方程：
（16-2x ）(10-2x)=112， 联系实际，编写一道应用题
（ 要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）。

必做题目为巩固型作业，选做题目为思维拓展型作业，即为学有余力的学生设置。

分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。

体现因材施教的原则。

必做题体现本节课重难点，同时第2题属于列一元二次方程解决实际问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的基本思想。

选做题属于开放性题目，鼓励学生大胆思考，善于观察，留心生活，从生活实际中去发现，让学生意识到数学在生活中的作用。

板书设计
§22.1一元二次方程(1)
1、一元二次方程的概念 ：
等号两边都是整式, 只含有一个未知数 项及(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程叫做一元二次方程
2、一元二次方程的一般式：
【教学反思】
本节课是一元二次方程的第一课时，一元二次方程是学生学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程之后所接触的第四类方程，本节课要求学生理解并掌握一元二次方程的定义、一般形式，并学会利用方程解决实际问题。

在教学过程中，我注重重难点的体现。

通过这节课的教学我有如下几点感想：
一、从周瑜图片——美文——年龄，引入新颖，吸引学生的注意力，从而引发学生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望，接着以两个学生身边的实际问题出发，让学生的学习热情不断，始终保持高度的注意力，感受数学学习的兴趣。

同时，三个问题中多种数学方法的渗透，让学生自主得出结论更易，增加学生学习的成就感。

二、引导学生观察、类比、联想已学的一元一次方程、二元一次方程，归纳、总结出一元二次方程，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态之中，使新概念的得出觉得意外，让学生跳一跳就可以摘到桃
56
03507522=-=+-x x x x 0
30112=+-x x
子。

三、训练及时全面，练习题少而精，没让学生感觉繁琐，学生越学越爱学，越做越爱做。

四、合理选材，优化教学，在教学中，忠实于教材，要研究的基础上使用教材。

教学方法合理化，多样化，不拘于形式，通过一系列的活动来展开教学，发展了学生的思维能力，增强了学生思考的习惯，增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。

五、整节课的设计以落实双基为起点，培养学生独立思考的能力，重视知识和产生过程，关注人的发展。

教学环节环环相扣，层层深入，无论是教学环节设计，还是作业的布置上，我注意分层次教学，让每一个学生都得到不同的发展。

六、为了真正做到“教师为主导，学生为主体”，我在教学中以问题为衔接，在提出问题后，让学生通过动手实践，自主探究，合作交流等形式来主动建构知识，在活动中，学生积极主动，学习激情特别高。

不足之处：板书还有待加强，应给学生做出示范；给学生思考的时间还不够；时间的分配不够合理。