概率与数理统计第六章

t
ｘ
ｙ
W {T t (n 1)}
2021/3/11
t
ｘ 16
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
例6.2 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅 中毒患者的脉搏数（次/分）如下：54，67，68，78，70，66， 67，70，65，69.已知人的脉搏次数服从正态分布．试问四乙基铅
在取6份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰，0.530‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定？ 0.05
练习2 一公司声称某种类型的电池的平均使用寿命至少为21.5小 时，有一实验室检验了该公司制造的6套电池，得到如下的寿命数 据（单位：小时）：19 18 22 20 16 25 设电池寿命服202从1/3/正11 态分布，试问这种类型的电池寿命是否低于该18 公
即提出假设： H0 : p 0.02 若 H0 正确，则取到次品为小概率事件.
2021/3/11
在一次试验中， 小概率事件是 几乎不可能发 生的．
小概率原理
2
6.1 假设检验的基本概念
2. 两类错误
犯了“弃真”错误 第一类错误
犯了“纳伪”错误 第二类错误
P(拒绝H0 | H0为真)
P(接受H0 | H0为假)
注意：我们总把含 有“等号”的情形 放在原假设．
在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
U
X 0
~
N (0,1)
n
2021/3/11
因为X
~
N
,
2
n
,
所以
X
~
N (0,1)
n
12
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域W
ｙ
① H0 : 0, H1 : 0
例 用某种动物作试验材料，要求动物的平均体重 100g,若 100g 需要再饲养；若 100g则应淘汰.又知动物体重服从正态分布，且由 以往经验知 1.5g ,现从一批待试验的动物中，随机抽取8只，称 得体重(g)为：99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8
司所声称的寿命？ 0.05
6.2.2 单个正态总体方差的假设检验
设总体 服从正态分布 X ~ N(, 2)
原假设和备择假设：
①
H0
:
2
2 0
,
H1
: 2
2 0
② H0 : 2 02, H1 : 2 02
③ H0 : 2 02,
H1
:
2
2 0
注意：我们总把含 有“等号”的情形 放在原假设．
93，97（单位:cm）.设小麦株高服从正态分布，试问提纯后的群体
是否比原来群体整齐?
0.05
解 设小麦株高 X ~ N(, 2)
（1）提出假设 H0 : 2 142, H1 : 2 142
（2）在原假设 H0为真的前提下，确定统计量
2
(n 1)S 2
2 0
~
2 (n 1)
（3）确定拒绝域 W {2 120.05(9)} {2 3.325}
小概率事件发生了，拒绝 H0 小概率事件没发生，接受 H0
当然这样作推断是要犯错误的.
（3）当犯第一类错误的概率为0.05时，我们认为否定原假设时， 是冒着5%的风险下结论的 ，也就是说有5%的风险H0把原来正确的结
论否定掉. 2021/3/11
4
6.1 假设检验的基本概念
4. 假设检验问题的一般提法
（4）由样本计算得
2
(n 1)S 2
2 0
218.1 142
1.113W
认为提纯2后021/的3/11株高高度更整齐.
21
6.2.2 单个正态总体方差的假设检验
练习1 电工器材厂生产一批保险丝,抽取10根试验,其熔化时间为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55
假设熔化时间服从正态分布,试问可否认为整批保险丝的熔化时间
问（1）这批动物能否供试验用?（2）这批动物是否需要再饲养? （3）这批动物是否应淘汰?
针对（1）提出 针对（2）提出 针对（3）提出
2021/3/11
H0 : 0 H0 : 0 H0 : 0
H1 : 0 H1 : 0 H1 : 0
(0 100g)
5
6.1 假设检验的基本概念
1.5 8
所以接受原假设，认为这批小动物可以供试验用． 2021/3/11
ｘ
11
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
设总体 服从正态分布 X ~ N(, 2)
1. 方差 2已知——U检验
① H0 : 0, ② H0 : 0, ③ H0 : 0,
H1 : 0 H1 : 0 H1 : 0
① H0 : 0, H1 : 0 ② H0 : 0, H1 : 0 ③ H0 : 0, H1 : 0
注意：我们总把含 有“等号”的情形 放在原假设．
在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
T
X S
~
t(n 1)
n
用S 2代替 2
2021/3/11
由于 2未知，U
所以接受原假设，认为这批小动物可以供试验用． 2021/3/11
ｘ
6
5、 假设检验的一般步骤 1） 提出假设： 提出原假设和备选假设
2） 在原假设成立的前提下，选择检验统计量，并确定其分布
常用的统计量的分布为：N(0,1), t分布, 2分布, F分布
3）确定拒绝域： 根据小概率原理确定拒绝原假设的区域.
广使用一种复合肥料，从25个试验地各取一亩，得平均亩产量为
450公斤．假设小麦亩产量服从正态分布，标准差仍是30公斤．试
以
的显0著.0水5 平检验这种复合肥料是否使小麦增产.
解 设小麦亩产量 X ~ N(,302)
（1）提出假设 H0 : 390, H1 : 390 （2）在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
针对问题（1），问这批动物能否供试验用? ( 0.05)
解： 提出假设
H0 : 0 100, H1 : 100
在原假设为真时选统计量
ｙ
U
X
0
~
N (0,1)
n
2
确定拒绝域
W
| U
|
u
| U
| 1.96
u
2
０
2
2
u
2
推断 x 100.25, | U | 100.25 100 0.527 1.96
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型， 尽量选择平头类的按键，以
防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计 间隙建议留0.05~0.1mm，
以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计 算累积公差，以防按键手感
当样本容量n固定时，犯两类错误的概率不能同时减小.
在实际应用中，通常控制犯第一类错误的概率，即给定 ， 然后通过增大样本容量减小
2021/3/11
3
6.1 假设检验的基本概念
3. 假设检验的基本思想 （1）根据问题的需要提出假设H0 ，并暂且认为假设 H0 是正确的.
（2）依据小概率原理进行推断.
第六章 假设检验
6.1 假设检验的基本概念 6.2 正态总体均值的假设检验 6.3 正态总体方差的假设检验
1
6.1 假设检验的基本概念
1. 小概率事件原理
优质核桃！ 每100个最多
2个次品。
引例：摊主声称次品率小于等于0.02. 任取一个检验发现为次品.
此时我们是否相信这种声明呢？ 分析：我们暂且相信摊主的声称，
W {| U | u }
2
2
ｙ
u
2
2
u
2
ｘ
② H0 : 0, H1 : 0 W {U u }
③ H0 : 0, H1 : 0
W {U u }
2021/3/11
ｘ ｙ
ｘ
13
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
例 设某地区小麦平均亩产量为390公斤，标准差为30公斤．现在推
U
X
X 390 30
~
N (0,1)
n
25
（3）确定拒绝域 W {U u0.05} {U 1.645}
（4）推断
U
450 390 30
10 W
2021/3/11
25
14
认为这种复合肥料能显著使小麦增产．
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
2. 方差 2未知——t检验
原假设和备择假设：
问（1）这批动物能否供试验用?（2）这批动物是否需要再饲养? （3）这批动物是否应淘汰?
针对（1）提出 针对（2）提出 针对（3）提出
2021/3/11
H0 : 0 H0 : 0 H0 : 0
H1 : 0 H1 : 0 H1 : 0
(0 100g)
10
6.1 假设检验的基本概念
即确定满足 P(拒绝H0 | H0为真) 拒绝域W. 4）作出统计推断：计算检验统计量的观测值.
若检验统计量的值落入拒绝域，则拒绝原假设
若检验统计量的值未落入拒绝域，则接受原假设
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7
小结
1. 假设检验的一般步骤
ｙ
2 . 在总体方差已知时，对均值进
行检验，选择的统计量为
U
X
0
~
N (0,1)
9
6.1 假设检验的基本概念
例 用某种动物作试验材料，要求动物的平均体重 100g,若 100g 需要再饲养；若 100g则应淘汰.又知动物体重服从正态分布，且由 以往经验知 1.5g ,现从一批待试验的动物中，随机抽取8只，称 得体重(g)为：99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8
针对问题（1），问这批动物能否供试验用? ( 0.05)
解： 提出假设
H0 : 0 100, H1 : 100
在原假设为真时选统计量
ｙ
U
X
0
~
N (0,1)
n
2
确定拒绝域
W
| U
|
u
| U
| 1.96
u
2
０
2
2
u
2
推断 x 100.25, | U | 100.25 100 0.4714 1.96
的方差为80? 0.05
练习2 某台机器加工某种零件，规定零件长度为100cm，标准差
不得超过2cm.每天定时检查机器的运行情况，某日抽取10个零件，
测得平均长度 101cm，样本标准差为2cm.设加工的零件长度服从
正态分布，问改日机器工作状态是否正常 ？ 2021/3/11
0.05
22
1.什么是传统机械按键设计？
,
H1
: 2
2 0
W { 2 2 (n 1)}
③ H0 : 2 02,
H1
:
2
2 0
W { 2 12 (n 1)} 2021/3/11
2
2 1 2
2
2
x
2
2
x
y
2 1
20 x
6.2.2 单个正态总体方差的假设检验
例6.3 一个混杂的小麦品种，株高标准差为14(cm)，经提纯后随
机抽取10株，株高为：90，105，101，95，100，100，101，105，
15
n
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
2. 方差 2未知——t检验
ｙ
对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域W
① H0 : 0, H1 : 0
2
ｙ t 2
W {| T | t (n 1)}
2
2
t
ｘ
2
② H0 : 0, H1 : 0 W {T t (n 1)}
③ H0 : 0, H1 : 0
（4）推断
2
x 67.4, s 5.929,
|T |
67.4 72 5.929 10
2.453W
认为四20乙21/3基/11 铅中毒患者脉搏与正常人有显著差异 ．
17
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
练习1 环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超
过0.5‰，假定有害物质含量X服从正态分布 X ~ N(,0.0172) .现
在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
2
(n
1)S 2
2 0
~
2 (n
1)
2021/3/11
19
6.2.2 单个正态总体方差的假设检验
对于给定的显著性水平 ，确定拒绝域W y
①
H0
:
2
2 0
,
H1 : 2 02
W { 2 122 (n 1)}
{ 2 2 (n 1)}
2
y
②
H0
:
2
2 0
中毒患者和正常人的脉搏有无显著差异? 0.05
解 设中毒者的脉搏次数 X ~ N(, 2) 2未知
（1）提出假设： H0 : 72, H1 : 72
（2）在原假设 H0为真的前提下，选择统计量
T
X S
~
t(n 1)
（3）确定拒绝域
n W {| T | t0.05 (9)} {| T | 2.2622}
n
2
u
０
2
2
u
2
在对问题（1）检验时，确定的拒绝域为
W
| U
|
u
|U
| 1.96
2
2021/3/11
双侧U检验
ｘ
8
6.2 单个正态总体参数的假设检验
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
1. 方差 2已知——U检验 2. 方差 2未知——t检验
6.2.2 单个正态总体方差的假设检验
2021/3/11