第四章傅里叶变换和系统的频域分析
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第四章 傅里叶变换与系统的频域分析
Chapter4
本章要点
F 信号表示为正交函数集 F 周期信号的傅里叶级数 F 周期信号的频谱 F 非周期信号的傅里叶变换 F 傅立叶变换的性质 F 能量谱与功率谱 F 周期信号的傅里叶变换 F 连续时间系统的频域分析 F 取样定理
引言
时域分析： 1）以冲激函数为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。 3）yzs(t) = h(t)*f(t)。 频域分析： 1）正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或 虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，则
A0 1 1 j n jn t An e e An e j n e jn t 2 2 n1 2 n1 1 f (t ) An e j n e jnt 2 n
T f ( t ) f ( t )，半周重叠（偶谐函数 ） 无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
F F
f (t ) f (t
T 谐波分量 )， 半 周 镜 像 （ 奇 谐 函 数 ） 无偶次谐波，只有奇次 2
例、有一偶谐函数，其 波形如图所示，
f (t )
E
求其傅立叶展开式
解:
An
E
E 2
3T 2 T bn ( 4 E sin n1tdt T 4 E sin n1tdt) T 0 2
E 3
61
0
21
41
E n 3n (cos 1 cos cos n ) n 2 2 0 n为奇数 E (1 cos n ) n 2E n为偶数 n
4.1 二、信号正交与正交函数集 1. 定义：
信号分解为正交函数
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t2 t1
1 (t ) 2 (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
*
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，当 这些函数在区间(t1，t2)内满足 t2 i j 0, * t1 i (t ) j (t ) d t K i 0, i j 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
t 1 T
t1
f (t ) cos n1tdt cos2 n1tdt
t 1 T
t1
f (t ) cos n1tdt
t1
t 1 T
bn
t1
f (t ) sin n1tdt sin 2 n1tdt
t 1 T
t 1 T
t1
f (t ) sin n1tdt
t1
an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
将上式同频率项合并，可写为
a0 f (t ) 2 a0 2
n 1 n 1
An an bn
2
2
an cos n1t bn sin n1t
An cos(n1t n )
n
bn
an
bn an
n tg 1
T 4 T 2
0
T
t
3T 2 T an ( 4 E cos n1tdt T 4 E cos n1tdt) T 0 2
2E 1 T 1 3T ( sin n1 sin n1 T n1 4 n1 4 T sin n1 ) n1 2 1
E n 3n (sin sin )0 n 2 2
t2 t1
f (t ) d t C 2 jKj
2 j 1
帕斯瓦尔(Parseval)公式，表明： 在区间(t1 ,t2 )上 f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中 分解的各正交分量能量的总和。
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。
f (t ) C j j (t )
A0 f (t ) An cos(nt n ) 或 2 n1
f (t )
n
jnt F e n
周期信号的频谱： 周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。 单边谱：
An与n1的关系图（线图） — —幅度频谱
n与n1的关系图（线图） — —相位频谱
1 2n f (t ) sin t n2 j n T 2E
j 1、 2、
三、傅里叶级数的指数形式 由于 cosx=(ejx + e–jx)/2 A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n1
A0 1 1 j n jnt An e e An e j n e jnt 2 2 n1 2 n1
4.1
信号分解为正交函数
信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。
一、矢量的分量和矢量的分解 A Ax Ay
y
Ay
A
Uy
Ux
Ax
Ux Ux Uy Uy 1 Ux Uy 0
x
Ux 和 Uy 是一组模为1的正交矢量
双边谱：|Fn|~ω和n~ω的关系。 若Fn为实数，可直接画Fn 。
例：周期信号 f(t) = 试求基波周期T，基波角频率Ω，画出单边频谱图。
解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
1 2 1 f (t ) 1 cos t cos t 2 3 6 2 4 4 3
An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 a0/2为直流分量； A1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，频率与原周期信号相同； A2cos(2 1 t+2)称为二次谐波，频率是基波的2倍； Ancos(n 1t+n)称为n次谐波。
1 Ki
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
代入，得最小均方误差
n t2 1 2 [ f (t ) d t C 2 jKj] 0 t t 2 t1 1 j 1 2
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大， 则均方误差越小。 当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。
j 1
4.2
傅里叶级数
一、周期信号f(t)表示为付里叶级数 由数学分析知，当周期信号f(t)满足狄氏条件时， 可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。
狄氏条件：
（1）在一周期内，间断点的数目有限； （2）在一周期内，极大、极小值的数目有限； （3）在一周期内，
t 1T
t1
f ( t ) dt
平面矢量分解图
空间中的矢量分解图
y
Ay
Uy Uz
A
Ux
Az
x
Ax
z
Ux Ux Uy Uy Uz Uz 1 Ux Uy Uy Uz Uz Ux 0
A Ax Ay Az
t
t1T
1
cos n1tdt
2
t
t1T
1
mn
T sin n1tdt 2
2
mn0
jn 1t e 例:复指数函数集
(n 0,1,2,)
三、信号的正交分解 设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)构成 一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组 合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 如何选择各系数Cj。使f(t)与近似函数之间误差在区间 (t1，t2)内为最小？ 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为
1 t 2 t1
2
t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t
j 1
n
为使上式最小
Ci
2 Ci Ci
t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t 0
j 1
n
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为
令复数
1 An e j n Fn e j n Fn 傅里叶系数 2 1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 T 2 2 T
1 T
2 T 2 T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t j
1 T
2 T 2
f (t ) sin(nt ) d t
1 T
f (t ) e jnt d t
f (t )
n
jnt F e n
任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。
4.3
周期信号的频谱
频谱图：信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重。 一、信号频谱的概念 周期信号f(t)可用付里叶级数来表示:
Ux Uy Uz 是一组模为1的正交矢量。
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交：
VxVy vxiv yi 0
T i 1
3
其内积为0
例：矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 是否为正交矢量集？ 例：三维空间的矢量A =(2，5，8)，表示为一个三维正交矢量 集{ vx，vy，vz}分量的线性组合。 A= 2vx+ 5 vy+ 8vz 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外，不 存在函数φ(t)(≠0）满足
t2 t1
(t ) i (t ) d t 0
( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。 这有两层意思： 1.如果φ(t)在区间内与 i(t) 正交，则φ(t)必属于这个正交集。 2.若φ(t)与 i(t)正交，但 i(t) 中不包含φ(t) ，则此集不完备。
电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f(t)满足 狄氏条件时， an , bn 才存在。
设f(t)是周期为T,角频率1=2/T的函数
a0 f (t ) 2 n1
an cosn1t bn si nn1t
2 T 2 T
t 1 T
在均方误差最小的条件下
an
二、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。
f (t )的对称条件
展开式中系数特点
4 t0 T f (t ) f (t )，纵轴对称（偶函数 ） bn 0，an 2 f (t ) cos n1tdt T t0
f (t ) f (t )，原点对称（奇函数）
4 t0 T an 0，bn 2 f (t ) sin n1tdt T t0
例: 三角函数集
1, cos 1t , cos2 1t ,cosn 1t ,, si n 1t , si n2 1t ,si nn 1t ,
t 1T cosm1t sinn1tdt 0 m, n 为任意整数 t1 t1T t1T cos m1t cosn1tdt sinm1t sinn1tdt 0 t1 t1
t1
t2 t1
[2Ci f (t ) i (t ) Ci2 i2 (t )]d t 0
t2 t1
即 所以系数
2
Ci
t2
f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1
i2 (t ) d t
Chapter4
本章要点
F 信号表示为正交函数集 F 周期信号的傅里叶级数 F 周期信号的频谱 F 非周期信号的傅里叶变换 F 傅立叶变换的性质 F 能量谱与功率谱 F 周期信号的傅里叶变换 F 连续时间系统的频域分析 F 取样定理
引言
时域分析： 1）以冲激函数为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。 3）yzs(t) = h(t)*f(t)。 频域分析： 1）正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或 虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，则
A0 1 1 j n jn t An e e An e j n e jn t 2 2 n1 2 n1 1 f (t ) An e j n e jnt 2 n
T f ( t ) f ( t )，半周重叠（偶谐函数 ） 无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
F F
f (t ) f (t
T 谐波分量 )， 半 周 镜 像 （ 奇 谐 函 数 ） 无偶次谐波，只有奇次 2
例、有一偶谐函数，其 波形如图所示，
f (t )
E
求其傅立叶展开式
解:
An
E
E 2
3T 2 T bn ( 4 E sin n1tdt T 4 E sin n1tdt) T 0 2
E 3
61
0
21
41
E n 3n (cos 1 cos cos n ) n 2 2 0 n为奇数 E (1 cos n ) n 2E n为偶数 n
4.1 二、信号正交与正交函数集 1. 定义：
信号分解为正交函数
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t2 t1
1 (t ) 2 (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
*
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，当 这些函数在区间(t1，t2)内满足 t2 i j 0, * t1 i (t ) j (t ) d t K i 0, i j 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
t 1 T
t1
f (t ) cos n1tdt cos2 n1tdt
t 1 T
t1
f (t ) cos n1tdt
t1
t 1 T
bn
t1
f (t ) sin n1tdt sin 2 n1tdt
t 1 T
t 1 T
t1
f (t ) sin n1tdt
t1
an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
将上式同频率项合并，可写为
a0 f (t ) 2 a0 2
n 1 n 1
An an bn
2
2
an cos n1t bn sin n1t
An cos(n1t n )
n
bn
an
bn an
n tg 1
T 4 T 2
0
T
t
3T 2 T an ( 4 E cos n1tdt T 4 E cos n1tdt) T 0 2
2E 1 T 1 3T ( sin n1 sin n1 T n1 4 n1 4 T sin n1 ) n1 2 1
E n 3n (sin sin )0 n 2 2
t2 t1
f (t ) d t C 2 jKj
2 j 1
帕斯瓦尔(Parseval)公式，表明： 在区间(t1 ,t2 )上 f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中 分解的各正交分量能量的总和。
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。
f (t ) C j j (t )
A0 f (t ) An cos(nt n ) 或 2 n1
f (t )
n
jnt F e n
周期信号的频谱： 周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。 单边谱：
An与n1的关系图（线图） — —幅度频谱
n与n1的关系图（线图） — —相位频谱
1 2n f (t ) sin t n2 j n T 2E
j 1、 2、
三、傅里叶级数的指数形式 由于 cosx=(ejx + e–jx)/2 A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n1
A0 1 1 j n jnt An e e An e j n e jnt 2 2 n1 2 n1
4.1
信号分解为正交函数
信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。
一、矢量的分量和矢量的分解 A Ax Ay
y
Ay
A
Uy
Ux
Ax
Ux Ux Uy Uy 1 Ux Uy 0
x
Ux 和 Uy 是一组模为1的正交矢量
双边谱：|Fn|~ω和n~ω的关系。 若Fn为实数，可直接画Fn 。
例：周期信号 f(t) = 试求基波周期T，基波角频率Ω，画出单边频谱图。
解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
1 2 1 f (t ) 1 cos t cos t 2 3 6 2 4 4 3
An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 a0/2为直流分量； A1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，频率与原周期信号相同； A2cos(2 1 t+2)称为二次谐波，频率是基波的2倍； Ancos(n 1t+n)称为n次谐波。
1 Ki
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
代入，得最小均方误差
n t2 1 2 [ f (t ) d t C 2 jKj] 0 t t 2 t1 1 j 1 2
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大， 则均方误差越小。 当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。
j 1
4.2
傅里叶级数
一、周期信号f(t)表示为付里叶级数 由数学分析知，当周期信号f(t)满足狄氏条件时， 可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。
狄氏条件：
（1）在一周期内，间断点的数目有限； （2）在一周期内，极大、极小值的数目有限； （3）在一周期内，
t 1T
t1
f ( t ) dt
平面矢量分解图
空间中的矢量分解图
y
Ay
Uy Uz
A
Ux
Az
x
Ax
z
Ux Ux Uy Uy Uz Uz 1 Ux Uy Uy Uz Uz Ux 0
A Ax Ay Az
t
t1T
1
cos n1tdt
2
t
t1T
1
mn
T sin n1tdt 2
2
mn0
jn 1t e 例:复指数函数集
(n 0,1,2,)
三、信号的正交分解 设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)构成 一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组 合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 如何选择各系数Cj。使f(t)与近似函数之间误差在区间 (t1，t2)内为最小？ 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为
1 t 2 t1
2
t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t
j 1
n
为使上式最小
Ci
2 Ci Ci
t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t 0
j 1
n
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为
令复数
1 An e j n Fn e j n Fn 傅里叶系数 2 1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 T 2 2 T
1 T
2 T 2 T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t j
1 T
2 T 2
f (t ) sin(nt ) d t
1 T
f (t ) e jnt d t
f (t )
n
jnt F e n
任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。
4.3
周期信号的频谱
频谱图：信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重。 一、信号频谱的概念 周期信号f(t)可用付里叶级数来表示:
Ux Uy Uz 是一组模为1的正交矢量。
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交：
VxVy vxiv yi 0
T i 1
3
其内积为0
例：矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 是否为正交矢量集？ 例：三维空间的矢量A =(2，5，8)，表示为一个三维正交矢量 集{ vx，vy，vz}分量的线性组合。 A= 2vx+ 5 vy+ 8vz 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外，不 存在函数φ(t)(≠0）满足
t2 t1
(t ) i (t ) d t 0
( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。 这有两层意思： 1.如果φ(t)在区间内与 i(t) 正交，则φ(t)必属于这个正交集。 2.若φ(t)与 i(t)正交，但 i(t) 中不包含φ(t) ，则此集不完备。
电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f(t)满足 狄氏条件时， an , bn 才存在。
设f(t)是周期为T,角频率1=2/T的函数
a0 f (t ) 2 n1
an cosn1t bn si nn1t
2 T 2 T
t 1 T
在均方误差最小的条件下
an
二、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。
f (t )的对称条件
展开式中系数特点
4 t0 T f (t ) f (t )，纵轴对称（偶函数 ） bn 0，an 2 f (t ) cos n1tdt T t0
f (t ) f (t )，原点对称（奇函数）
4 t0 T an 0，bn 2 f (t ) sin n1tdt T t0
例: 三角函数集
1, cos 1t , cos2 1t ,cosn 1t ,, si n 1t , si n2 1t ,si nn 1t ,
t 1T cosm1t sinn1tdt 0 m, n 为任意整数 t1 t1T t1T cos m1t cosn1tdt sinm1t sinn1tdt 0 t1 t1
t1
t2 t1
[2Ci f (t ) i (t ) Ci2 i2 (t )]d t 0
t2 t1
即 所以系数
2
Ci
t2
f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1
i2 (t ) d t