山东省济南市历城区济钢高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析
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【详解】∵复数 满足 ，∴ ，
∴复数 的共轭复数等于 ,故选B.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
5.在正方体 中, 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为
A。 B. C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方体 中， ，将问题转化为求共面直线 与 所成角的正切值，在 中进行计算即可。
【详解】在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ，
设正方体边长为 ,则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ,
6.设 中 边上的中线为 ，点 满足 ，则 （ ）
A. B。
C。 D.
【，利用 、 表示 ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出 可得出结果.
【详解】如下图所示:
为 的中点，则 ,
， ，
，
故选：A。
【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力,属于中等题.
8.已知两直线m､n,两平面α､β,且m⊥α，n β。下面有命题中正确的个数是( ）
①若α//β,则有m⊥n； ②若m⊥n，则有α//β；
③若m//n，则有α⊥β； ④若α⊥β，则有m//n。
A。 0B.1C。 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
①由条件可知 ,再判断结论；②由条件判断 是否成立；
3。已知平面向量 , 是非零向量，｜ ｜=2, ⊥（ +2 ），则向量 在向量 方向上的投影为()
A. 1B.—1C. 2D.—2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据向量垂直得到 ( +2 ），=0，化简得到 =﹣2，再根据投影的定义即可求出．
【详解】∵平面向量 ， 是非零向量，| ｜=2, ⊥（ +2 ）,
故选：AD
【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型。
10。（多选题）已知集合 ，其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是( ）
A。 B。 C。 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
【详解】根据题意, 中，
时, ;
时，
； 时， ；
时， ,
.
选项A中， ；
济钢高中2019级高一第二学期期中考试
数学试卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。设i为虚数单位，复数z满足 ,则复数z的共轭复数等于( )
A.1—iB。-1—iC。1+iD.—1+i
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则解得 ,结合共轭复数的概念即可得结果.
A。 7，5，8B。 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7
【答案】B
【解析】
【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.
【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为 ，故各年龄段抽取的人数依次为 ， ， .故选B
【点睛】本题考查分层抽样方法，关键要理解分层抽样的原则，属于基础题.
选项B中, ;
选项C中， ;
选项D中, 。
故选:BC。
【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解。
11.已知锐角 ，内角 、 、 的对边分别为 , ， ，若 ， ，则边 的可能取值为( ）
A. 2B。3C。 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】
由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得 的范围，讨论 ，结合条件可得所求结论.
③由条件可知 ,再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断。
【详解】①若 ， ，则 , ，则 ,所以①正确；
②若 ， ，不能推出 ， 所以不能推出 ，所以②不正确;
③若 ， ，则 ，又有 ，所以 ，所以③正确；
④若 , ，则 或 ，当 ，不能推出 ，所以④不正确.
故选：C
【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力,属于基础题型.
7.已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A。 B. C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，根据题意列出关于 、 方程组,求出这两个未知数的值，即可得出向量 的坐标.
【详解】设 ，其中 ，则 。
由题意得 ，解得 ，即 。
故选：B.
【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键,考查方程思想的应用以及运算求解能力,属于基础题.
【详解】在 中， ， ，
由 可得 ，
由于 可得 ，即有
若 ，则 ，即 ， 为等边三角形成立；
若 可得 ，且 ，即
即为 ，即有 成立。
则 故选C。
【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造)所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角,所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
A. B. C。 D.
【答案】C
【解析】
由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．
点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求。
9。下列各式中结果为零向量的是（ ）
A。 B.
C。 D。
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.
【详解】A。 ，所有A正确；
B. ，不正确；
C。 ，不是零向量;
D. ，所有D正确.
∴ ( +2 ),=0，
即
即 =﹣2
∴向量 在向量 方向上的投影为 =﹣1，
故选B．
【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
4。如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点（不同于A、B）且PA＝AC,则二面角P－BC－A的大小为( )
∴复数 的共轭复数等于 ,故选B.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
5.在正方体 中, 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为
A。 B. C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方体 中， ，将问题转化为求共面直线 与 所成角的正切值，在 中进行计算即可。
【详解】在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ，
设正方体边长为 ,则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ,
6.设 中 边上的中线为 ，点 满足 ，则 （ ）
A. B。
C。 D.
【，利用 、 表示 ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出 可得出结果.
【详解】如下图所示:
为 的中点，则 ,
， ，
，
故选：A。
【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力,属于中等题.
8.已知两直线m､n,两平面α､β,且m⊥α，n β。下面有命题中正确的个数是( ）
①若α//β,则有m⊥n； ②若m⊥n，则有α//β；
③若m//n，则有α⊥β； ④若α⊥β，则有m//n。
A。 0B.1C。 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
①由条件可知 ,再判断结论；②由条件判断 是否成立；
3。已知平面向量 , 是非零向量，｜ ｜=2, ⊥（ +2 ），则向量 在向量 方向上的投影为()
A. 1B.—1C. 2D.—2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据向量垂直得到 ( +2 ），=0，化简得到 =﹣2，再根据投影的定义即可求出．
【详解】∵平面向量 ， 是非零向量，| ｜=2, ⊥（ +2 ）,
故选：AD
【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型。
10。（多选题）已知集合 ，其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是( ）
A。 B。 C。 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
【详解】根据题意, 中，
时, ;
时，
； 时， ；
时， ,
.
选项A中， ；
济钢高中2019级高一第二学期期中考试
数学试卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。设i为虚数单位，复数z满足 ,则复数z的共轭复数等于( )
A.1—iB。-1—iC。1+iD.—1+i
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则解得 ,结合共轭复数的概念即可得结果.
A。 7，5，8B。 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7
【答案】B
【解析】
【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.
【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为 ，故各年龄段抽取的人数依次为 ， ， .故选B
【点睛】本题考查分层抽样方法，关键要理解分层抽样的原则，属于基础题.
选项B中, ;
选项C中， ;
选项D中, 。
故选:BC。
【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解。
11.已知锐角 ，内角 、 、 的对边分别为 , ， ，若 ， ，则边 的可能取值为( ）
A. 2B。3C。 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】
由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得 的范围，讨论 ，结合条件可得所求结论.
③由条件可知 ,再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断。
【详解】①若 ， ，则 , ，则 ,所以①正确；
②若 ， ，不能推出 ， 所以不能推出 ，所以②不正确;
③若 ， ，则 ，又有 ，所以 ，所以③正确；
④若 , ，则 或 ，当 ，不能推出 ，所以④不正确.
故选：C
【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力,属于基础题型.
7.已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A。 B. C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，根据题意列出关于 、 方程组,求出这两个未知数的值，即可得出向量 的坐标.
【详解】设 ，其中 ，则 。
由题意得 ，解得 ，即 。
故选：B.
【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键,考查方程思想的应用以及运算求解能力,属于基础题.
【详解】在 中， ， ，
由 可得 ，
由于 可得 ，即有
若 ，则 ，即 ， 为等边三角形成立；
若 可得 ，且 ，即
即为 ，即有 成立。
则 故选C。
【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造)所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角,所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
A. B. C。 D.
【答案】C
【解析】
由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．
点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求。
9。下列各式中结果为零向量的是（ ）
A。 B.
C。 D。
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.
【详解】A。 ，所有A正确；
B. ，不正确；
C。 ，不是零向量;
D. ，所有D正确.
∴ ( +2 ),=0，
即
即 =﹣2
∴向量 在向量 方向上的投影为 =﹣1，
故选B．
【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
4。如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点（不同于A、B）且PA＝AC,则二面角P－BC－A的大小为( )