高中数学同步学案 空间向量及其运算

第3章空间向量与立体几何
第1课时空间向量及其线性运算
春节期间,我国南方遭受了寒潮袭击,大风降温天气频发,已知某人某天骑车以a km/h的速度向东行驶,感到风是从正北方向吹来．
问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？
提示：是．
1．空间向量
(1)定义：在空间中,既有大小又有方向的量,叫做空间向量．
(2)表示方法：空间向量用有向线段表示,并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．
2．相等向量
凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.
问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．
提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．
问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？
提示：交换律、结合律、分配律．
1．空间向量的加减运算和数乘运算
OB＝OA＋AB＝a＋b,BA＝OA－OB＝a－b,
OC＝λa(λ∈R)．
2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).
空间中有向量a,b,c(均为非零向量)．
问题1：向量a与b共线的条件是什么？
提示：存在惟一实数λ,使a＝λb.
问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？
提示：一定；不一定．
1．共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行,记作a∥b.
规定,零向量与任何向量共线．
2．共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b＝λa.
1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．
2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种,结果仍是一个向量,方向取决于λ的正负,模为原向量模的|λ|倍．
3．两向量共线,两向量所在的直线不一定共线,可能平行．
[例1] 下列四个命题：
(1)所有的单位向量都相等；
(2)方向相反的两个向量是相反向量；
(3)若a、b满足|a|>|b|,且a、b同向,则a>b；
(4)零向量没有方向．
其中不正确的命题的序号为________．
[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断,得出结论．
[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量,而其方向不一定相同,它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的,故不正确；对于(4)：零向量有方向,只是没有确定的方向,故(4)错．[答案] (1)(2)(3)(4)
[一点通]
1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上,故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．
2．对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的特征入手,也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

1．下列命题中正确的个数是________．
(1)如果a,b是两个单位向量,则|a|＝|b|；
(2)两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同；
(3)同向且等长的有向线段表示同一向量；
(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
解析：(1)、(3)、(4)正确,(2)不正确．
答案：3
2．给出下列命题：
①若空间向量a、b满足|a|＝|b|,则a＝b；
A C；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中,必有AC＝
11
③若空间向量m、n、p满足m＝n,n＝p,则m＝p；
④空间向量的模是一个正实数．
其中假命题的个数是________．
解析：①假命题．根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但①中向量a与b的方向不一定相同；
A C的方向相同,模也相等,
②真命题．根据正方体的性质,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,向量AC与
11
A C；
应有AC＝
11
③真命题．向量的相等满足传递规律；
④假命题．零向量的模为0,不是正实数．
答案：2
[例2] 化简：(AB－CD)－(AC－BD)．
[思路点拨] 根据算式中的字母规律,可转化为加法运算,也可转化为减法运算．
[精解详析] 法一：将减法转化为加法进行化简．
∵AB－CD＝AB＋DC,
∴(AB－CD)－(AC－BD)＝AB＋DC－AC＋BD
＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA
＝AD＋DA＝0.
法二：利用AB－AC＝CB,DC－DB＝BC化简．
(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD
＝(AB－AC)＋(DC－DB)
＝CB＋BC＝0.
法三：∵AB＝OB－OA,CD＝OD－OC,
AC＝OC－OA,BD＝OD－OB,
∴(AB－CD)－(AC－BD)
＝(OB－OA－OD＋OC)－(OC－OA－OD＋OB)
＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.
[一点通]
1．计算两个空间向量的和或差时,与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．
2．计算三个或多个空间向量的和或差时,要注意以下几点：
(1)三角形法则和平行四边形法则； (2)正确使用运算律；
(3)有限个向量顺次首尾相连,则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即表示这有限个向量的和向量．
3．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算结果为1BD 的是________．
(1) 11A D －1A A －AB ； (2)BC ＋1BB －11D C ； (3)AD －AB －1DD ； (4) 11B D －1A A ＋1DD .
解析：(1)11A D －1A A －AB ＝1AD －AB ＝1BD ； (2)BC ＋1BB －11D C ＝1BC ＋11C D ＝1BD ； (3)AD －AB －1DD ＝BD －1DD ＝BD －1BB ＝1B D ≠1BD ；
(4)11B D －1A A ＋1DD ＝BD ＋1AA ＋1DD ＝1BD ＋1AA ≠1BD . 故(1)(2)正确． 答案：(1)(2)
4. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若11A B ＝
a,11
A D ＝b,1A A ＝c,则1
B M ＝________.(用a 、b 、c 表示) 解析：1B M ＝1B B ＋BM ＝1A A ＋1
2(BA ＋BC )
＝c ＋1
2
(－a ＋b)
＝－12a ＋1
2b ＋c.
答案：－12a ＋1
2b ＋c
[例3] 如图,设A 是△BCD 所在平面外的一点,G 是△BCD 的重心．
求证：AG ＝1
3
(AB ＋AC ＋AD )．
[思路点拨] 利用空间向量的线性运算和共线向量定理,用AB 、AC 、AD 表示AG ,即可得出要证的结果．
[精解详析]
连结BG,延长后交CD 于E,由G 为△BCD 的重心,知BG ＝2
3BE .
∵E 为CD 的中点, ∴BE ＝12BC ＋1
2
BD .
AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13
(BC ＋BD )
＝AB ＋1
3[(AC －AB )＋(AD －AB )]
＝1
3(AB ＋AC ＋AD )． [一点通]
1．在用已知向量表示未知向量的时候,要注意寻求两者之间的关系,通常可将未知向量进行一系列的转化,将其转化到与已知向量在同一四边形(更多的是平行四边形)或三角形中,从而可以建立已知向量与未知向量之间的关系式．
2．在平行六面体中,要注意相等向量之间的代换,把一个向量用其他向量来表示,其实质就是把一个向量进行分解．
5．在本例中,若E 为CD 的中点,且GE ＝m AB ＋n AC ＋p AD ,试求实数m,n,p 的值． 解：∵GE ＝13BE ＝13(BA ＋AE )＝13⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤BA ＋12 AD ＋AC ＝－13AB ＋16AC ＋1
6AD
＝m AB ＋n AC ＋p AD , ∴m ＝－13,n ＝16,p ＝16
.
6.如图所示,已知四边形ABCD 是空间四边形,E,H 分别是边AB,AD 的中点,F,G 分
别是边CB,CD 上的点,且CF ＝23CB ,CG ＝2
3
CD .
求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E,H 分别是AB,AD 的中点, ∴AE ＝12AB ,AH ＝1
2AD ,
则EH ＝AH －AE ＝12AD －1
2AB
＝12(AD －AB )＝12BD ＝1
2(CD －CB ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32 CG －32 CF →
＝34(CG －CF )＝3
4
FG , ∴EH ∥FG 且|EH |＝3
4|FG |≠|FG |.
又F 不在直线EH 上,∴四边形EFGH 是梯形．
在对向量进行加、减运算时,一定要运用其运算法则及运算律来化简,特别要注意的是将某些向量进行平移,将其转化到同一平面中去求解．
解题时应结合已知和所求,观察图形,作一些必要的辅助线,联想相关的运算法则和公式等,就近表示出所需要的向量,再对照目标,将不符合目标要求的向量做出新的调整,如此反复,直到所有的向量都符合要求为止．
课时达标训练（十七）
1．有下列命题：(1)单位向量一定相等；
(2)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (3)相等的非零向量,若起点不同,则终点一定不同； (4)方向相反的两个单位向量互为相反向量； (5)起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为________个．
解析：(1)不正确,因为忽略方向；(2)方向相同,模相等的向量是相等向量,与起点无关,故(2)正确．(3)、(4)正确；(5)不正确,轨迹是个球面．
答案：3
2．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,若CA ＝a,CB ＝b,1CC ＝c,则1A B ＝________. 解析：如图,
1A B ＝1B B －11B A
＝1B B －BA ＝－1CC －(CA －CB ) ＝－c －(a －b)＝－c －a ＋b. 答案：－c －a ＋b
3．在下列命题中,错误命题的序号是________． ①若a≠λb ,则a 与b 不共线(λ∈R)； ②若a ＝2b,则a 与b 共线；
③若m ＝a －2b ＋3c,n ＝－2a ＋4b －6c,则m ∥n ； ④若a ＋b ＋c ＝0,则a ＋b ＝－c.
解析：①错,当a≠0,b ＝0,λ≠0时,a 与b 共线,②③④均正确． 答案：①
4．设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ＝2e 1＋ke 2,CB ＝e 1＋3e 2,CD ＝2e 1－e 2,且A,B,D 三点
共线,则k ＝________.
解析：∵BD ＝BC ＋CD ＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2, 又∵A,B,D 三点共线,∴AB ＝λBD , 即2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2),
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.
答案：－8
5．如图,已知空间四边形ABCD 中,AB ＝a －2c,CD ＝5a ＋6b －8c,对角线AC,BD 的中点分别为E,F,则EF ＝________.(用向量a,b,c 表示)
解析：设G 为BC 的中点,连结EG,FG,则EF ＝EG ＋GF
＝12AB ＋1
2
CD ＝12(a －2c)＋1
2(5a ＋6b －8c) ＝3a ＋3b －5c 答案：3a ＋3b －5c
6．如图,在空间四边形ABCD 中,G 为△BCD 的重心,E,F 分别为边CD 和AD 的中点,试化简AG ＋13BE －
1
2
AC ,并在图中标出化简结果的向量．
解：∵G 是△BCD 的重心,BE 是CD 边上的中线,∴GE ＝1
3
BE .
又∵12AC ＝1
2
(DC －DA )
＝12DC －1
2DA ＝DE －DF ＝FE , ∴AG ＋13BE －1
2
AC
＝AG ＋GE －FE ＝AF (如图所示)．
7．已知正四棱锥P －ABCD,O 是正方形ABCD 的中心,Q 是CD 的中点,求下列各式中x,y,z 的值． (1)OQ ＝PQ ＋y PC ＋z PA ； (2)PA ＝x PO ＋y PQ ＋PD .
解：如图：(1)∵OQ ＝PQ －PO ＝PQ －1
2
(PA ＋PC )＝PQ －
12PC －12
PA ,
∴y ＝z ＝－1
2
.
(2)∵O 为AC 的中点,Q 为CD 的中点, ∴PA ＋PC ＝2PO ,PC ＋PD ＝2PQ , ∴PA ＝2PO －PC ,PC ＝2PQ －PD , ∴PA ＝2PO －2PQ ＋PD , ∴x ＝2,y ＝－2.
8．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．
(1)化简121AA ＋BC ＋2
3
AB ,并在图上以A 1A 的中点为起点标出计算结果；
(2)设M 是BD 的中点,N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点,且BN ∶NC 1＝3∶1,试用向量AB ,AD ,1AA 来表示向量MN .
解：(1)先在图中标出121AA ,为此可取AA 1的中点E,则1
2
1AA ＝1EA .
∵AB ＝11D C ,在D 1C 1上取点F,使D 1F ＝23D 1C 1,因此23AB ＝2311D C ＝1D F ,又BC ＝11A D ,从而
1
2
1AA ＋BC ＋2
3
AB ＝1EA ＋11A D ＋1D F ＝EF .计算结果如图所示．
(2) MN ＝MB ＋BN ＝12DB ＋341BC ＝12(DA ＋AB )＋3
4(BC ＋1CC )
＝12(－AD ＋AB )＋34(AD ＋1AA )＝12AB ＋14AD ＋3
4
1AA .
第2课时 共面向量定理
如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,观察下列几组向量,回答问题． 问题1：AB 、AD 、11A C 可以移到一个平面内吗？ 提示：可以,因为AC ＝11A C ,三个向量可移到平面ABCD 内． 问题2：1AA ,AC ,1AC 三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内．
问题3：1BB 、1CC 、1DD 三个向量是什么关系？ 提示：相等．
1．共面向量
一般地,能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理
如果两个向量a,b 不共线,那么向量p 与向量a,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p ＝xa ＋yb.
1．空间中任意两个向量都是共面的,空间中任意三个向量可能共面,也可能不共面． 2．向量共面不具有传递性．
3．共面向量定理给出了平面向量的表示式,说明两个不共线的向量能确定一个平面,它是判定三个向
量是否共面的依据．
[例1] 给出以下命题：
①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数组(x,y)使得OP ＝x OA ＋y OB ,则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a,b,c 三向量两两共面,则a,b,c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________．
[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件,再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为OP 、OA 、OB 共面, ∴O 、P 、A 、B 四点共面； ④错：没有强调零向量；
⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③
[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内,但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．
1．下列说法正确的是________(填序号)．
①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；
②设平行六面体的三条棱是AB 、1AA 、AD ,则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB ＋
1AA ＋AD ；
③若OP ＝1
2
(PA ＋PB )成立,则P 点一定是线段AB 的中点；
④在空间中,若向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共面．
⑤若a,b,c 三向量共面,则由a,b 所在直线所确定的平面与由b,c 所在直线确定的平面是同一个平面． 解析：①②③⑤不正确,④正确． 答案：④
2．已知三个向量a,b,c 不共面,并且p ＝a ＋b －c,q ＝2a －3b －5c,r ＝－7a ＋18b ＋22c,试问向量p 、q 、r 是否共面？
解：设r ＝xp ＋yq,
则－7a ＋18b ＋22c ＝x(a ＋b －c)＋y(2a －3b －5c) ＝(x ＋2y)a ＋(x －3y)b ＋(－x －5y)c, ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝－5，
∴r ＝3p －5q. ∴p 、q 、r 共面.
[例2] 如图所示,平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上,且
BE
＝13BB 1,DF ＝2
3
DD 1.证明：1AC 与AE 、AF 共面． [思路点拨] 由共面向量定理,只要用AE 、AF 线性表示出1AC 即可． [精解详析] ∵1AC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋AD ＋131AA ＋2
31AA
＝(AB ＋131AA )＋(AD ＋2
31AA )
＝AB ＋BE ＋AD ＋DF ＝AE ＋AF ,
∴1AC 与AE 、AF 共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题,关键是熟练的进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系,解答本题,实质上是证明存在惟一一对实数x,y 使向量1AC ＝x AE ＋y AF 成立,也就是用空间向量的加、减法则及运算律,结合图形,用
AE 、AF 表示1AC .
3．如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量
1A B ,1B C ,EF 是共面向量．
证明：法一：EF ＝EB ＋1BA ＋1A F ＝121B B －1A B ＋1
211A D ＝1
2(1B B ＋BC －1A B ＝1
2
1B C －1A B . 由向量共面的充要条件知,1A B ,1B C ,EF 是共面向量． 法二：连接A 1D,BD,取A 1D 中点G,连结FG,BG,则有FG 綊1
2DD 1,
BE 綊1
2DD 1,
∴FG 綊BE.
∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG.
BG ⊆平面A 1BD,EF 平面A 1BD ∴EF ∥平面A 1BD.
同理,B 1C ∥A 1D,∴B 1C ∥平面A 1BD, ∴1A B ,1B C ,EF 都与平面A 1BD 平行． ∴1A B ,1B C ,EF 是共面向量．
4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1,点M,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM ＝k 1AC ,BN ＝k BC (0≤k≤1)．求证：MN 与向量AB ,1AA 共面．
证明： 如图,在封闭四边形MABN 中,MN ＝MA ＋AB ＋BN .① 在封闭四边形MC 1CN 中,MN ＝1MC ＋1C C ＋CN ② ∵AM ＝k 1AC ,
∴AM ＝k(AM ＋1MC )
∴(1－k)AM ＝k 1MC ,即(1－k)MA ＋k 1MC ＝0, 同理(1－k)BN ＋k CN ＝0.
①×(1－k)＋②×k 得MN ＝(1－k)AB ＋k 1C C ,
∵1C C ＝－1AA ,∴MN ＝(1－k)AB －k 1AA , 故向量MN 与向量AB ,1AA 共面.
[例3] 如图所示,已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
(1)用向量法证明E,F,G,H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH.
[思路点拨] (1)要证E,F,G,H 四点共面,根据共面向量定理的推论,只要能找到实数x,y,使EG ＝x EF ＋y EH 即可．
(2)要证BD ∥平面EFGH,只需证向量BD 与向量FH 、EG 共面即可． [精解详析] (1)如图所示,连接BG,EG,则：
EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12
(BC ＋BD )
＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH . 由共面向量定理知E,F,G,H 四点共面． (2)设AB ＝a,AC ＝b,AD ＝c, 则BD ＝AD －AB ＝c －a.
EG ＝EA ＋AG ＝－a 2＋12(c ＋b)＝－12a ＋12b ＋12
c,
HF ＝HA ＋AF ＝－12c ＋12(a ＋b)＝12a ＋12b －12
c.
假设存在x,y,使BD ＝x EG ＋y HF .
即c －a ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b －12c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－x 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2b ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－y 2c. ∵a,b,c 不共线．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 2－x
2
＝－1，x 2＋y
2＝0，
x 2－y 2＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝－1.
∴BD ＝EG －HF .
∴BD 、EG 、HF 是共面向量, ∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH. [一点通]
1．空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y,使MP ＝x MA ＋y MB .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之,平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式,这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任意一点O,有OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC ,且x ＋y ＋z ＝1成立,则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
2．用共面向量定理证明线面平行的关键是： (1)在直线上取一向量；
(2)在平面内找出两个不共线的向量,并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内,三个条件缺一不可．
5．如图所示,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点．
求证：B 1C ∥平面ODC 1.
证明：设11C B ＝a,11C D ＝b,1C C ＝c,则1B C ＝c －a,又O 是B 1D 1的中点,所以1OD ＝1211B D ＝1
2(b
－a)．
因为D 1D 綊C 1C,
所以1D D ＝c,OD ＝1OD ＋1D D ＝1
2
(b －a)＋c.
1OC ＝－12
(a ＋b),假设存在实数x,y,
使1B C ＝x OD ＋y 1OC ,
所以c －a ＝x ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤12b －a ＋c －y·12(a ＋b)
＝－12(x ＋y)a ＋xc ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y 2b,且a,b,c 不共线,
所以x ＝1,12(x ＋y)＝1,且x －y 2
＝0,即x ＝1,y ＝1.
所以1B C ＝OD ＋1OC ,所以1B C ,OD ,1OC 是共面向量,
又因为1B C 不在OD ,1OC 所确定的平面ODC 1内,所以B 1C ∥平面ODC 1.
6．如图,已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点,连结PA 、PB 、PC 、PD,点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．
证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R. ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心,
∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点,顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形,且有PE ＝2
3PM ,PF
＝2
3
PN , PG ＝2
3PQ ,PH ＝23
PR .
∵MNQR 为平行四边形,
∴EG ＝PG －PE ＝23PQ －23PM ＝2
3MQ
＝2
3
(MN ＋MR ) ＝23(PN －PM )＋2
3
(PR －PM ) ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫32 PF －32 PF ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32 PH －32 PF
＝EF ＋EH .
∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面．
向量e 1,e 2,e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ,μ,γ,使得λe 1＋μe 2＋γe 3＝0.
若e 1,e 2,e 3是不共面的三个向量,且λe 1＋μe 2＋γe 3＝0(其中λ,μ,γ∈R),则λ＝μ＝γ＝0. 空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x,y,使MP ＝x MA ＋y MB .
课时达标训练（十八）
1．下列结论中,正确的是________(填序号)． ①若a 、b 、c 共面,则存在实数x,y,使a ＝xb ＋yc ； ②若a 、b 、c 不共面,则不存在实数x,y,使a ＝xb ＋yc ；
③若a 、b 、c 共面,b 、c 不共线,则存在实数x 、y,使a ＝xb ＋yc.
解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量,否则即使三个向量a 、b 、c 共面,也不一定具有线性关系,故①不正确,③正确．
答案：②③
2．已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若由向量OP ＝15OA ＋2
3OB ＋λOC 确定的点P 与
A,B,C 共面,那么λ＝________.
解析：∵P 与A,B,C 共面, ∴AP ＝αAB ＋βAC ,
∴AP ＝α(OB －OA )＋β(OC －OA ), 即OP ＝OA ＋αOB －αOA ＋βOC －βOA ＝(1－α－β)OA ＋αOB ＋βOC , ∴1－α－β＋α＋β＝1. 因此15＋2
3＋λ＝1.
解得λ＝2
15.
答案：2
15
3．如图,平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上,且BE ＝13BB 1,DF ＝2
3DD 1,若EF ＝x AB
＋y AD ＋zAA 1,则x ＋y ＋z ＝________.
解析：EF ＝AF －AE
＝AD ＋DF －(AB ＋BE )＝AD ＋231DD －AB －1
31BB
＝AD －AB ＋1
31AA
∴x ＝－1,y ＝1,z ＝1
3.
∴x ＋y ＋z ＝1
3.
答案：13
4．i,j,k 是三个不共面的向量,AB ＝i －2j ＋2k,BC ＝2i ＋j －3k,CD ＝λi＋3j －5k,且A 、B 、C 、D 四点共面,则λ的值为________．
解析：若A 、B 、C 、D 四点共面,则向量AB 、BC 、CD 共面,故存在不全为零的实数a,b,c, 使得a AB ＋b BC ＋c CD ＝0.
即a(i －2j ＋2k)＋b(2i ＋j －3k)＋c(λi＋3j －5k)＝0. ∴(a ＋2b ＋λc)i＋(－2a ＋b ＋3c)j ＋(2a －3b －5c)k ＝0. ∵i,j,k 不共面, ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋2
b ＋λc＝0，－2a ＋b ＋3
c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝c ，
b ＝－
c ，λ＝1.
答案：1
5．命题：若A 、B 、C 三点不共线,O 是平面ABC 外一点,OM ＝13OA ＋13OB ＋1
3OC ,则点M 一定在平
面ABC 上,且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”)．
解析：AM ＝OM －OA ＝－23OA ＋13OB ＋1
3OC
＝13(OB －OA )＋13(OC －OA )＝1
3
(AB ＋AC )． 令BC 中点为D,则AM ＝2
3AD ,∴点M 一定在平面ABC 上,且在△ABC 内部,故命题为真命题．
答案：真
6．已知A,B,C 三点不共线,平面ABC 外的一点O 满足OM ＝13OA ＋13OB ＋1
3
OC .判断
MA ,MB ,MC 三个向量是否共面．
解：(1)由已知得OA ＋OB ＋OC ＝3OM , ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC ), 即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC , ∴MA ,MB ,MC 共面．
7．若e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3,b ＝－e 1＋e 2＋3e 3,c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面,并说明理由．
解：法一：令x(3e 1＋2e 2＋e 3)＋y(－e 1＋e 2＋3e 3)＋z(2e 1－e 2－4e 3)＝0, 亦即(3x －y ＋2z)e 1＋(2x ＋y －z)e 2＋(x ＋3y －4z)e 3＝0, 因为e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量, 所以⎩⎪⎨⎪
⎧ 3x －y ＋2z ＝0，2x ＋y －z ＝0，
x ＋3y －4z ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝7，
z ＝5，
从而a ＝7b ＋5c,a,b,c 三个向量共面． 法二：令存在λ,μ,使a ＝λb＋μ c 成立,
即3e 1＋2e 2＋e 3＝λ(－e 1＋e 2＋3e 3)＋μ(2e 1－e 2－4e 3), 因为e 1,e 2,e 3是三个不共面向量, 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
3＝－λ＋2μ，2＝λ－μ，
1＝3λ－4μ.
解这个方程组得λ＝7,μ＝5, 从而a ＝7b ＋5c,即a,b,c 三向量共面．
8．如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,EF ∥AB,AB ＝2EF,H 为BC 的中点． 求证：FH ∥平面EDB.
证明：因为H 为BC 的中点,所以FH ＝12(FB ＋FC )＝12(FE ＋EB ＋FE ＋ED ＋DC )＝12(2FE
＋EB ＋ED ＋DC )．
因为EF ∥AB,CD 綊AB,且AB ＝2EF,
所以2FE ＋DC ＝0,
所以FH ＝12(EB ＋ED )＝12EB ＋1
2
ED .
又EB 与ED 不共线,根据向量共面的充要条件可知FH ,EB ,ED 共面．由于FH 不在平面EDB 内, 所以FH ∥平面EDB.
第3课时 空间向量基本定理
某次反恐演习中,一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m,再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m),行动小组迅速赶到目的地,完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m”、“东600 m”、“5楼”这三个量确定,设e 1是向南的单位向量,e 2是向东的单位向量,e 3是向上的单位向量．
问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来． 提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.
1．空间向量基本定理
如果三个向量e 1,e 2,e 3不共面,那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组(x,y,z),使p ＝xe 1＋ye 2
＋ze 3.
2．推论
设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在惟一的有序实数组(x,y,z),使得OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC
.
空间任何一个向量,都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？
提示：不一定,由空间向量基本定理知,只有三个向量e 1,e 2,e 3不共面时,空间任何一向量才可以用e 1,e 2,e 3惟一表示,否则不可能表示．
1．基底和基向量
如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示,我们把{e 1,e 2,e 3}称为空间的一个基底,e 1,e 2,e 3叫做基向量．
2．正交基底和单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底．
特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示．
1．空间向量基本定理表明,用空间三个不共面向量组{a,b,c}可以线性表示出空间的任意一个向量,而且表示的结果是惟一的．
2．空间中的基底是不惟一的,空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．
[例1] 若{a,b,c}是空间的一个基底．试判断{a ＋b,b ＋c,c ＋a}能否作为该空间的一个基底． [思路点拨] 判断a ＋b,b ＋c,c ＋a 是否共面,若不共面,则可作为一个基底,否则,不能作为一个基底． [精解详析] 假设a ＋b,b ＋c,c ＋a 共面,则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b＋c)＋μ(c＋a), ∴a ＋b ＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a,b,c}为基底,∴a,b,c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.
此方程组无解,∴a ＋b,b ＋c,c ＋a 不共面．
∴{a ＋b,b ＋c,c ＋a}可以作为空间的一个基底．
[一点通] 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定,某一向量对这一基底的线性表示只有一种,即在基底{a,b,c}下,存在惟一
的有序实数组(x,y,z),使得p ＝xa ＋yb ＋zc.
证明三个向量能否构成空间的一个基底,就是证明三个向量是否不共面,证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．
1．设x ＝a ＋b,y ＝b ＋c,z ＝c ＋a,且{a,b,c}是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a ＋b ＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图所设a ＝AB ,b ＝1AA ,c ＝AD ,则x ＝1AB ,y ＝1AD ,z ＝AC ,a ＋b ＋c ＝1AC .由A,B 1,D,C 四点不共面可知向量x,y,z 也不共面．同理可知b,c,z
和
x,y,a ＋b ＋c 也不共面,可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b,故a,b,x 共面,故不能
作为基底．
答案：3
2．已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA ＝e 1＋2e 2－e 3,OB ＝－3e 1＋e 2＋2e 3,OC ＝e 1＋e 2－e 3,试判断{OA ,OB ,OC }能否作为空间的一个基底？若能,试以此基底表示向量OD ＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能,请说明理由．
解：假设OA 、OB 、OC 共面,由向量共面的充要条件知,存在实数x 、 y 使OA ＝x OB ＋y OC 成立．
∴e 1＋2e 2－e 3＝x(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y(e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y)e 1＋(x ＋y)e 2＋(2x －y)e 3.
∵{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,∴e 1,e 2,e 3不共面, ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，
此方程组无解,
即不存在实数x 、y 使OA ＝x OB ＋y OC , ∴OA ,OB ,OC 不共面．
故{OA ,OB ,OC }能作为空间的一个基底, 设OD ＝p OA ＋q OB ＋z OC ,则有2e 1－e 2＋3e 3 ＝p(e 1＋2e 2－e 3)＋q(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z(e 1＋e 2－e 3) ＝(p －3q ＋z)e 1＋(2p ＋q ＋z)e 2＋(－p ＋2q －z)e 3. ∵{e 1,e 2,e 3}为空间的一个基底,
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
p ＝17，q ＝－5，
z ＝－30.
∴OD ＝17OA －5OB －30OC .
[例2] 如图所示,空间四边形OABC 中,G 、H 分别是△ABC 、△OBC
的重心,设
OA ＝a,OB ＝b,OC ＝c,试用向量a 、b 、c 表示向量GH .
[思路点拨] GH ＝OH －OG →用OD 表示OH →用OB 、
OC
表示
OD ,用OA 、AG 表示OG →用AD 表示AG →用OD 、OA 表示AD →用
OB 、OC 表示OD
[精解详析] GH ＝OH －OG ,∵OH ＝2
3OD ,
∴OH ＝23×12(OB ＋OC )＝1
3
(b ＋c),
OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋23
AD
＝OA ＋23(OD －OA )＝13OA ＋23×1
2(OB ＋OC )
＝13a ＋1
3
(b ＋c), ∴GH ＝13(b ＋c)－13a －13(b ＋c)＝－1
3a,
即GH ＝－1
3a.
[一点通]
用基底表示向量的方法及注意的问题：
(1)结合已知条件与所求结论,观察图形,就近表示所需向量．
(2)对照目标,将不符合目标要求的向量作为新的所需向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止．
(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．
3. 如图,已知正方体ABCD －A′B′C′D′,点E 是上底面A′B′C′D′
的中心,求下列各式中x 、y 、z 的值．
(1)BD '＝x AD ＋y AB ＋z AA '；
(2)AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA '. 解：(1)∵BD '＝BD ＋DD ' ＝BA ＋BC ＋DD ' ＝－AB ＋AD ＋AA ', 又BD '＝x AD ＋y AB ＋z AA ', ∴x ＝1,y ＝－1,z ＝1.
(2)∵AE ＝AA '＋A E '＝AA '＋1
2A C ''
＝AA '＋1
2(A B ''＋A D '')
＝AA '＋12A B ''＋1
2A D ''
＝12AD ＋1
2AB ＋AA ' 又AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA ' ∴x ＝12,y ＝1
2
,z ＝1.
4．如图,四棱锥P －OABC 的底面为一矩形,PO ⊥平面OABC,设OA ＝a,OC
＝
b,OP ＝c,E,F 分别是PC 和PB 的中点,试用a,b,c 表示：
BF ,BE ,AE ,EF .
解：连接BO,则BF ＝12BP ＝12(BO ＋OP )＝12(c －b －a)＝－12a －12b ＋12
c.
BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋12CP ＝－a ＋12(CO ＋OP )＝－a －12b ＋12
c.
AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋12
(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋12
(－c ＋b)＝－a ＋12
b ＋12
c. EF ＝1
2
CB ＝12
OA ＝12
a
.
[例3] 证明：平行六面体的对角线交于一点,并且在交点互相平分．
[思路点拨] 利用空间向量基本定理,只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．
[精解详析] 如图所示,平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1,设点O 是AC 1的中点,
则AO ＝1
2
1AC
＝1
2(AB ＋BC ＋1CC ) ＝1
2
(AB ＋AD ＋1AA ), 设P,M,N 分别是BD 1,CA 1,DB 1的中点, 则AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋1
21BD
＝AB ＋1
2
(BA ＋AD ＋1DD )
＝AB ＋12(－AB ＋AD ＋1AA )＝1
2
(AB ＋AD ＋AA 1),
同理可证：AM ＝12(AB ＋AD ＋1AA ),AN ＝1
2
(AB ＋AD ＋1AA )．
由此可知,O,P,M,N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点,且在交点处互相平分． [一点通]
用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤： (1)作出空间几何体的图形；
(2)将立体几何问题转化为空间向量问题,选取一组不共面的向量作基底； (3)用基向量将其它向量表示出来；
(4)利用向量的性质得到向量的关系,进而得到几何结论．
5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AC ＋1AB ＋1AD ＝21AC . 证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形,所以AC ＝AB ＋AD ,
1AB ＝AB ＋1AA ,1AD ＝AD ＋1AA ,
∴AC ＋1AB ＋1AD
＝(AB ＋AD )＋(AB ＋1AA )＋(1AD ＋1AA ) ＝2(AB ＋AD ＋1AA ), 又1AA ＝1CC ,AD ＝BC ,
∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC ＋1CC ＝1AC , ∴AC ＋1AB ＋1AD ＝21AC .
6．如图,M 、N 分别是四面体O­ABC 的边OA 、BC 的中点,P 、Q 是MN 的三等分点,用向量OA 、OB 、OC 表示OP 和OQ .
解：OP＝OM＋MP＝1
2
OA＋2
3
MN
＝1
2
OA＋2
3
(ON－OM)＝
1
2
OA＋2
3
(ON－
1
2
OA)
＝1
6
OA＋2
3
×
1
2
(OB＋OC)＝
1
6
OA＋1
3
OB＋1
3
OC.
OQ＝OM＋MQ＝1
2OA＋1
3
MN
＝1
2
OA＋1
3
(ON－OM)＝
1
2
OA＋1
3
(ON－
1
2
OA)
＝1
3
OA＋1
3
×
1
2
(OB＋OC)＝
1
3
OA＋1
6
OB＋1
6
OC.
1．空间向量基本定理表明,用空间三个不共面的已知向量组{a,b,c}可以线性表示出空间任意一个向量,而且表示的结果是惟一的．
2．空间任意三个不共面的向量a、b、c皆可构成空间向量的一个基底,因此,基底有无数个,所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．
3．由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个基向量中,就隐含着它们都不是0.
课时达标训练（十九）
1．空间中的四个向量a,b,c,d最多能构成基底的个数是________．
解析：当四个向量任何三个向量都不共面时,每三个就可构成一个基底,共有4组．
答案：4
AE＝1
2
2.如图所示,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若
OD＋x OB＋y OA,则x＝________,y＝________.
解析：∵AE ＝OE －OA ＝1
2
OC －OA ＝1
2(OD ＋DC )－OA ＝12OD ＋1
2AB －OA ＝12OD ＋1
2(OB －OA )－OA ＝12OD ＋12OB －3
2OA , ∴x ＝12,y ＝－32.
答案：12 －32
3．已知空间四边形OABC,其对角线为AC 、OB,M 、N 分别是OA 、BC 的中点,点G 是MN 的中点,取{OA ,OB ,OC }为基底,则OG ＝________.
解析： 如图,OG ＝1
2(OM ＋ON )
＝12OM ＋12×1
2(OB ＋OC ) ＝14OA ＋14OB ＋1
4OC ＝1
4(OA ＋OB ＋OC )． 答案：1
4
(OA ＋OB ＋OC )
4．平行六面体ABCD －A′B′C′D′中,若AC '＝x AB ＋2y BC －3z CC ',则x ＋y ＋z ＝________. 解析：∵AC '＝AB ＋BC ＋CC '＝x AB ＋2y BC －3z CC ', ∴x ＝1,2y ＝1,－3z ＝1, 即x ＝1,y ＝12,z ＝－1
3.
∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝7
6.
答案：76
5．设a 、b 、c 是三个不共面向量,现从①a ＋b,②a －b,③a ＋c,④b ＋c,⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量为______(填写序号)．
解析：根据基底的定义,∵a,b,c 不共面, ∴a ＋c,b ＋c,a ＋b －c 都能与a,b 构成基底． 答案：③④⑤
6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3,b ＝e 1＋e 2－e 3,c ＝e 1－e 2＋e 3,d ＝e 1＋2e 2＋3e 3,d ＝αa＋β b＋γc ,求α、β、γ的值．
解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量,所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α,β,γ},使d ＝αa＋β b＋γc ,
∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3. 又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3, ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
α＝52
，
β＝－1，
γ＝－12.
7.如图所示,平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M,N 分别是AC 和A 1D 的一个三等
分点,且AM MC ＝12,A 1N
ND
＝2,设AB ＝a,AD ＝b,1AA ＝c,试用a,b,c 表示
MN .
解：如图所示,连接AN, 则MN ＝MA ＋AN 由ABCD 是平行四边形, 可知AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b,
MA ＝－13
AC ＝－13
(a ＋b)． ND ＝13
1A D ＝13
(b －c),
AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝b －1
3(b －c)＝13
(c ＋2b),
所以MN ＝MA ＋AN ＝－13(a ＋b)＋1
3
(c ＋2b)
＝1
3
(－a ＋b ＋c)． 8．如图所示,平行六面体OABC －O′A′B′C′,且OA ＝a,OC ＝b,OO '＝c,用a,b,c 表示如下向量：
(1) OB '、O B '、AC '；
(2)GH (G 、H 分别是B′C 和O′B′的中点)．
解：(1)OB ′＝OB ＋BB '＝OA ＋OC ＋OO '＝a ＋b ＋c,
O B '＝O O '＋OB ＝O O '＋OA ＋OC ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c,AC '＝AC ＋CC ′＝AB ＋AO
＋AA '
＝OC ＋AA '－OA ＝b ＋c －a. (2)GH ＝GO ＋OH ＝－OG ＋OH ＝－12(OB ′＋OC )＋1
2(OB '＋OO ')
＝－12(a ＋b ＋c ＋b)＋1
2(a ＋b ＋c ＋c)
＝1
2
(c －b)． 第4课时 空间向量的坐标表示
在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,建立空间直角坐标系(如图),在
x
轴,y 轴,z 轴上分别取三个单位向量i,j,k.
问题1：用i,j,k 表示AC ,1AD .
AD＝j＋k.
提示：AC＝i＋j,
1
AC＝xi＋yj＋zk,则x,y,z为多少？与点C1的坐标有什么关系？
问题2：若
1
AC＝i＋j＋k,
提示：∵
1
∴x＝1,y＝1,z＝1,(x,y,z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．
在空间直角坐标系O－xyz中,分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在惟一的有序实数组(x,y,z),使a＝xi＋yj＋zk,有序实数组(x,y,z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标,记作a＝(x,y,z).
一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石,这三个力为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|＝3 000 N,|F2|＝2 000 N,|F3|＝2 000 3 N.
问题1：若以F1,F2,F3的方向分别为x轴,y轴,z轴正半轴建立空间直角坐标系,巨石受合力的坐标是什么？
提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．
问题2：巨石受到的合力有多大？
提示：|F|＝5 000 N.
1．设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a＋b＝(a1＋b1,a2＋b2,a3＋b3),a－b＝(a1－b1,a2－b2,a3－b3),λa ＝(λa1,λa2,λa3),λ∈R.
2．空间向量平行的坐标表示为
a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1,b2＝λa2,b3＝λa3(λ∈R)．
3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
1．确定空间向量的坐标的方法：
(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,可先求其两端点的坐标．
(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．
2．空间向量的坐标运算：
(1)向量的加减等于对应坐标的加减,其结果仍是向量．
(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘,其结果仍是向量．。