高等数学 第四章

于是 得
dx
x2 a2
a sec2 tdt
a sect
sectdt ln | sec t tan t | C1 ．
因为 sec t
x2 a2 ， tan t x ，且 sect tan t 1 sin t 0 ，所以
a
a
cos t
dx
x2 a2 ln
x2 a2 x a a C1 ln(
第一节
不定积分概述
一、原函数与不定积分的概念
定义1 若存在函数F(x)，使对于区间I 上任意一点x都有 F,(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则 称函数F(x)是f(x)在区间上的一个原函数．
定义2 在区间上，函数的全体原函数（ 是任意常数）称为的不定积分，
例 1 求 x2dx ．
(1)
f
(x)dx
f (x) 或
d
f
( x)dx
f (x) dx
(2) F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
二、不定积分的几何意义
如图4-1所示，设F(x)是f(x)的一个原 函数，则称函数y=F(x)的图形为f(x)的一条 积分曲线．
图4-1
三、不定积分的基本积分公式
于是得
a2 x2 dx a cos t a cos tdt a2 cos2tdt a2 t a2 sin t cost C ． 22
因为 sin t x ， t arcsin x ， cos t a2 x2 ，所以
a
a
a
a2 x2 dx a2 arcsin x a2 x a2 x2 C
2
7
x2
5
2
3
x2
C
2
x3
x 10 x
x C ．
7
3
7
3
第二节
不定积分的积分方法
一、不定积分的换元积分法
（一）第一换元积分法
定理 1（第一换元积分法） 设函数 f (u) 具有原函数 F (u) ，且 u (x) 可导，则函数 F[(x)]
是函数 f [(x)](x) 的原函数，即有换元公式
f (x)dx
f
[
(t)]
(t)dt
t
1
(
x)
，
其中， t 1(x) 为 x (t) 的反函数．
1．简单根式换元积分法
例 10
求
dx 1
x
．
解 求这个积分的困难主要在于有根式 x ，所以设 x t ，则 x t 2 ，dx 2tdt ，于是
dx 1
x
2tdt 1 t
2
t
1 1 dt 1 t
xexdx xd(ex ) xex exdx xex ex C ．
选择u与v非常关键，一般要考虑以下两点: （1）v要容易求得． （2）∫vdu要比∫udv容易求出．
例 17 求 x2 ln xdx ．
解
令
u
ln
x
，
dv
x2dx
d
1 3
x3
，则
x2 ln xdx
ln
ex cos xdx exd(sin x) ex sin x sin xd(ex ) ex sin x ex sin xdx ，
xd
1 3
x3
1 3
x3
ln
x
1 x3d(ln x) 1 x3 ln x 1
3
3
3
x2dx 1 x3 ln x 1 x3 C ．
3
9
例 18 求 ln xdx ．
解 因为被积函数是单一函数，这时可直接把 ln x 选作 u ，而把dx 选作 dv ，则
ln xdx xln x xd(ln x) xln x dx xln x x C ．
f [(x)](x)dx F[(x)] C
f
(u)du
u ( x)
．
例 1 求 sin 5xdx ．
解 首先凑微分，因为 dx 1 d(5x) ，所以 5
sin 5xdx 1 sin 5xd(5 x) 令u5x 1 sin udu 1 cos u C 还原 1cos 5 x C ．
2
a 2a a
a2 arcsin x x a2 x2 C ．
2
a2
即
a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C ．
2
a2
例 13 求
dx (a 0) ． x2 a2
解 设 x atant ，| t | π ，则 2
dx a sec2 tdt ， x2 a2 a 1 tan2 t a | sect | asect ，
（8）
1 cos2
dx x
sec2
xdx
tan
xC
．
（9）
1 sin2
x
dx
cs
c2
xdx
cot
x
C
．
（10） sec x tan xdx sec x C ．
（11） csc xcot xdx csc x C ．
（12）
1 dx arcsin x C ． 1 x2
（13） 1 dx arctan x C ． 1 x2
2 1 x2
例 20 求 ex sin xdx
解 令 u ex ，dv sin xdx d( cos x) ，则
ex sin xdx ex d(cos x) ex cos x cos xd(ex ) ex cos x ex cos xdx ．
对 ex cos xdx 再进行一次分部积分，令 u ex ，dv cos xdx d(sin x) ，则
（3） 1 dx 2d x 2 d(a x b) ．
x
a
（5）
1 x2
dx
d
1 x
．
（7） cos xdx d(sin x) ．
（9） sec2 xdx d( tan x) ． （11） 1 dx d(arcsin x) ．
1 x2
（2） xdx 1 dx2 1 d(ax2 b) ．
（1） kdx kx C （k 是常数）．
（2） x dx x1 C ( 1 )．
1
（3） axdx 1 ax C ． ln a
（4） exdx ex C ．
（5）
1 x
dx
ln
|
x
|
C
．
（6） cos xdx sin x C ．
（7） sin xdx cos x C ．
例 8 求
dx a2 x2
(a 0) ．
解
dx
a2 x2
1 dx 1
a2
1
x a
2
a
dx a
1
x a
2
1 arctan x
a
a
C
，
即
dx a2 x2
1 arctan x C
a
a
．
例 9 求 dx (a 0) ． a2 x2
解
dx 1 dx
a2 x2
5
5
5
5
例 2 求 (1 2x)3dx ．
解 首先凑微分，因为 dx 1 d(2x) 1 d(1 2x) ，所以
2
2
(1
2x)3dx
1(1 2
2x)3
d(1
2x)
1 2
(1
2x)3 d(1
2x)
1 令u12x u3du 1 u4 C还原 1 (1 2x)4 C ．
2
8
8
（1） dx 1 d(ax b) ． a
dx sin x
dx 2sin x cos
x
d
x 2
tan x cos2
x
d
tan
x 2
tan x
ln
tan
x 2
C
．
22
22
2
因为 tan
x
sin x 2
2 sin 2
x 2
1 cos x
csc x cot x
，所 以
2 cos x sin x
sin x
2
csc xdx ln|csc x cot x| C ．
2
2a
（4） axdx 1 d(ax ) ． ln a
（6） 1 dx d(ln x) ． x
（8）sin xdx d( cos x) ．
（10）sec x tan xdx d(sec x) ．
（12）
1 1 x2
dx
d(arctan
x)
．
例 7 求 csc xdx ．
解
csc xdx
a
1
x a
2
d
x a
arcsin x C ，
1
x a
2
a
即
dx arcsin x C ．
a2 x2
a
（二）第二换元积分法
定理 2（第二换元积分法） 设 x (t) 是单调、可导的函数，且 (t) 0 ．又设 f [ (t)] (t)
具有 原函数 ，则有 换元公 式
解
由于
x3 3
x2 ，所以 x3 3
是 x 2 的一个原函数，因此
例 2 求 sin xdx ．
x2dx x3 C ． 3
解 由于 ( cos x) sin x ，所以 cos x 是sin x 的一个原函数，因此
sin xdx cos x C ．
不定积分与导数（或微分）之间有如下运算关系．
x2 a2
（9）
dx ln | x x2 a2 | C ． x2 a2
（10） a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C ．
2
a2
二、不定积分的分部积分法
设函数 u u(x) ，v v(x) 具有连续导数，
这两个函数乘积的导数为 (uv) uv uv ，即
2
1
1 1
t
dt
2(t ln |1 t |) C 2( x ln |1 x |) C
2[ x ln(1 x)] C ．
例
11
求2
1 dx x 1
．
解 设 t x 1 ，则 x 1 t2 ， dx 2tdt ，于是
2
1 dx x 1
2t 2t
dt
2
t
2 2 dt 2t
2
dx
．
解
x2
sin
x
1 1 x2
dx
x2dx
sin
xdx
1
1 x2
dx
1 3
x3
C1
cos
x
C2
arctanx
C3
1 x3 cos x arctanx C ． 3
例 4 求 x(x2 5)dx ．
5
1
5
1
解
x(x2 5)dx (x2 5x2 )dx x2dx 5 x2dx
dt
4
1 2
t
dt
2t
4
ln
|
2
t
|
C
2 x 1 4ln | 2 x 1 | C
2 x 1 4ln(2 x 1) C ．
2．三角换元积分法
例 12 求 a2 x2 dx (a 0)
解 设 x a sin t ， | t | π ，则 dx a cos tdt ， a2 x2 a2 a2 sin2 t a cost ， 2
（3）当 被积函 数中含 有
x2 a2
时，设 x asect | t |
π 2
．
利用换元积分法求得的一些积分结果，可以作为公式直接使用．
（1） tan xdx ln | cos x | C ．
（2） cot xdx ln | sin x | C ．
（3） sec xdx ln | sec x tan x | C ．
x2 a2 x) C ．
即
dx ln( x2 a2 x) C ．
x2 a2
一般地，被积函数中含有 a2 x2 ， x2 a2 ， x2 a2 因子时，宜采用三角换元积分法．
（1）当被积函数中含有 a2 x2 时，设 x a sin t ．
（2）当被积函数中含有 x2 a2 时，设 x a tant ．
例 19 求 arcsin xdx ．
解 令 u arcsin x ，dv dx ，则
x
arcsin xdx x arcsin x xd(arcsin x) xarcsin x
dx 1 x2
x arcsin x 1
d(1 x2 ) x arcsin x
1 x2 C ．
uv (uv) uv ．
上式 两边同 时求不 定积分 ，得
uvdx (uv)dx uvdx ，
即
udv uv vdu ，
该公 式称为 不定积 分的分部 积分公 式．
例 14 求 x exdx ．
解 设 u x ，dv exdx d(ex ) ，则 du dx ，v ex ，代入分部积分公式，得
（4） csc xdx ln | csc x cot x | C ．
（5） dx arcsin x C ．
a2 x2
a
（6）
dx a2 x2
1 arctan x C
a
a
．
（7）
dx x2 a2
1 ln 2an(x x2 a2 ) C ．
第四章
不定积分
导学
微积分包含两部分内容：微分学和积分学．早期的数学家逐步得到了 求面积和体积（积分学）、求极值和切线斜率（微分学）的一系列重要结 论，但这些结论都是孤立的，不成体系，直到17世纪中期，牛顿和莱布尼 茨发现了微分与积分的互逆关系，创建了微积分．前面介绍了微分学的相 关内容，本章先介绍积分学中的不定积分相关内容．
四、不定积分的性质
性质1 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx
性质2 两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即
[ f1(x) f2 (x)] dx f1(x)dx f2(x) dx
例 3
求
x2
sin
x
1 1 x2