2024年材料力学题库

第8章　压杆稳定
一、选择题
１、长方形截面细长压杆,b /h ＝1/2;假如将b 改为h 后仍为细长杆,临界力F cr 是本来的多少倍?有四种答案，正确答案是(Ｃ)。

cr
（A ）２倍;ﻩ(B)4倍；（C ）8倍；(Ｄ)16倍。

解答:因为
，
2、压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图，则压杆长度系数的范围有四种答案,正确答μ案是(Ｄ)。

()
2cr 2
E F I ul π=
31
12
I bh =
（A ）;（Ｂ）；（Ｃ)；（D)。

0.5μ<0.50.7μ<<0.72μ<<0.52μ<<3、图示中心受压杆（a)、(b)、（c ）、（d ）。

其材料、长度及抗弯刚度相同。

两两对比。

临界力相互关系有四种答案,正确答案是（C)。

(a)
(b)(c)
(d)
（A ）（F cr )a > (F ｃr ）b ，(F c ｒ）c <　(F ｃr )ｄ；（Ｂ)(Ｆcr )ａ < (F ｃｒ）ｂ,(F cr )c ＞ (F cr )ｄ；（Ｃ)(F ｃr )ａ　＞ （F cr )b ,(F cr )c > (F ｃr ）ｄ；（D)(F c ｒ)a < （Ｆcr )b ,(F cr )c ＜　(F cr )d 。

４、图示（a)、(b ）两细长压杆材料及尺寸均相同,压力F 由零以同样速度迟缓增加，则失稳先后有四种答案，正确答案是(Ｂ）。

(A ）（a ）杆先失稳; (B ）（b ）杆先失稳;
（C ）（a ）、(ｂ）杆同时失稳;(D)无法比较。

5、细长压杆，若其长度系数增加一倍，则压杆临界力Ｆcr 的变化有四种答案，正确答案是μ(C)。

（A)增加一倍;
　(B ）为本来的四倍;
(Ｃ)为本来的四分之一;（D)为本来的二分之一。

解答:
6、两端球铰的正方形截面压杆，当失稳时，截面将绕哪个轴转动，有四种答案,正确答案是（D)。

(Ａ)绕y 轴弯曲；（B ）绕ｚ1轴弯曲;
（C)绕z 轴弯曲；(Ｄ)可绕过形心C 的任何轴弯曲。

7、正方形截面杆,横截面边长a 和杆长l 成百分比增加,它的长细比有四种答案,正确答案是(B ）。

(A)成百分比增加；(B ）保持不变;(Ｃ）按变化;（D ）按变化。

2(/)l a 2(/)a l ８、若压杆在两个方向上的约束情况不一样，且。

那么该压杆的合理截面应满足的条件y Z μμ>有四种答案，正确答案是(D)。

(A ）；（B ）;(C);（D ）。

y Z I I =y Z I I <y Z I I >y Z λλ=()
2cr 2
E F I
ul π=
９、两根细长杆，直径、约束均相同，但材料不一样,且E 1＝2E ２,则两杆临界应力的关系有四种答案,正确答案是（B ）。

(Ａ)=； （B)=2 ;cr 1()σcr 2()σcr 1()σcr 2()σ（C ）=/　２；（Ｄ）＝3 。

cr 1()σcr 2()σcr 1()σcr 2()σ１0、两根中心受压杆的材料和支承情况相同,若两杆的所有尺寸均成百分比，即彼此几何相同，则两杆临界应力比较有四种答案，正确答案是(A ）。

(A)相等;
(B ）不等;
（C ）只有两杆均为细长杆时,才相等；(D ）只有两杆均非细长杆时,才相等;
１1、假如细长压杆有局部减弱，减弱部分对压杆的影响有四种答案，正确答案是(Ｄ）。

(A)对稳定性和强度都有影响； (Ｂ)对稳定性和强度都没有影响;（Ｃ)对稳定性有影响,对强度没影响；(D ）对稳定性没影响,对强度有影响。

1２、细长压杆两端在x-y 、ｘ-z 平面内的约束条件相同，为稳定承载能力，对横截面积相等的同一个材料，合理的截面形式有四种答案，正确答案是(C)。

(b)
z
z
z
(c)
(a)
z
（A）选（a)组;（Ｂ）选(b）组；
（C)选(ｃ）组；(Ｄ)（a）、(b）、（c）各组都同样；
二、填空题
理想压杆的条件是①压力作用线与杆轴重叠；②　材质均匀；③无初曲率。

２、非细长杆假如误用了欧拉公式计算临界力,其成果比实际大（危险）;横截面上的正应力有也许超出百分比极限。

3、将圆截面压杆改成面积相等的圆环截面压杆，其他条件不变,其柔度将减少，临界应力将　增大。

4
,l2=２l1，若两杆的临界压力相等，则d1 ／　d2= 。

5、三种不一样截面形状的细长压杆如图所示。

试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主轴转动。

(a）绕过形心的任意轴；(b）ｙ轴;(c）　y轴。

(a)
正方形
(b)
等边角钢
(c)
6、当压杆有局部减弱时,因局部减弱对杆件整体变形的影响 很小 ;因此在计算临界应力时都采取 减弱前 的横截面面积Ａ和惯性矩I 。

7、提升压杆稳定性的措施有① 减小压杆长度;② 强化约束或增加约束数；③ 选择合理载荷;④ 选用合理材料 。

三、计算题
1、桁架ABC 由两根具备相同截面形状和尺寸以及同样材料的细长杆组成。

确定使载荷F 为最大时的角(设)。

θ0πθ<<
解答:１）由节点B 的平衡有:
，cos NAB F F θ=sin NBC F F θ=∴.tan NBC NAB F F θ
=２）设,则，AC l =cos AB l β=sin BC l β
= 经分析，只有当ＡB 杆和B Ｃ杆的内力都达成临界力时，F 才有最大值,即:
,ﻩ
又
()
2NABcr
2cos NAB EI F l F πβ==()
2NBCcr
2sin NBC EI F l F πβ==
.tan NBC NAB F F θ=∴.tan NBCcr NABcr F F θ
=3）综合两式可得,
即：2
tan t c ag θβ
=可解得45
θ=
2、角钢长3m,两端固定,受轴向压力。

已知，,
443.9310mm x I =⨯441.1810mm y I =⨯,E ＝20０G Ｐａ,求该细长压杆的临界载荷F cr （图中C 为截面形心)。

441.2310mm xy I =⨯
x
解答:ﻩ
ﻩ
３、图示结构，各杆均为细长圆杆，且E 、ｄ均相同，求F 的临界值。

()()
2222
tan sin cos EI EI
l l ππθββ
=min 2
x y
I I I +=
-
43.93 1.1820.7110mm +=
=⨯()
()
2298
min
cr 2
2
200100.71106.23EI ul ul k F N
ππ-⨯⨯⨯⨯∴=
=
=
F
解答:各杆内力:
(压),
NBD F ∴=分析AB 、BC 、CD 、D Ａ杆受压存在稳定性问题,BD 杆受拉，不存在稳定;当A
Ｂ、B Ｃ、CD 、ＤA 四杆失稳时，Ｆ达成峰值，故有：ﻩ
故Ｆ的峰值：
4、图中的1、2杆材料相同，均为圆截面压杆,若使两杆的临界应力相等。

试求两杆的直径之比d １　／ ｄ2,以及临界力之比(Ｆc ｒ
)1 /　(F c
ｒ）2。

并指出哪根杆的稳定性好。

cr )2
解答：由临界应力总图可知,相同,则值相同,cr σλ12
λλ=对1杆,ﻩ
NAB NBC NCD NDA F F F F ∴====2NAB NBC NCD NDA 2
F F F F EI
a π∴====
=
4
cr F ===11
11
1111
1
44
d i d μμμμμμλ=
=
=
=
对2杆，故:ﻩ
，即2杆稳定性好些。

12cr cr F F ∴>5、图中ＡB 为刚体,圆截面细长杆１、2两端约束、材料、长度均相同，若在载荷F c ｒ作用下，两杆都恰好处在临界状态,求两杆直径之比d ２　／ d 1。

cr
解答：1)画变形图,受力图如图: 2）两杆都恰好处在临界状态，有变形协调条件：21
2l l = ﻩ
，得
两杆都处在临界状态时,
ﻩ
22
22
2222
2
44
d i d μμμμμμλ=
=
=
=
1112220.720.72d l l d l l
μμ⨯===⨯2
11111222222
0.49cr cr cr cr F A A d F A A d σσ==== 22442
44
F l F l d d E E ππ∴=
2
22211
2F d F d =2
2
22
42
22421
1
1
264
64cr cr d E
F l
d d F d E l
ππππ==
两杆都恰好处在临界状态条件：
ﻩ即,6、图示压杆,A Ｃ、CB 两杆均为细长压杆,问x 为多大时，承载能力最大?并求此时承载能力与Ｃ处不加支撑时承载能力的比值。

解答:1）承载能力最大的条件是AC 杆和BC 杆同时达成临界力，且相同
即:
即： ()0.7x l x =-ﻩ0.412x l
= 2）对所承载的力与Ｃ处不加支撑是承载的力的比值7、图示1、2两杆为一串联受压结构，1杆为圆截面,直径为ｄ;2杆为矩形截面,b ＝３d ／2,h =d /2。

1、2两杆材料相同，弹性模量为E ,设两杆均为细长杆。

试求此结构在xy 平面内失稳
22
11
cr cr F F F F =42222
42111
2 1.414d d d d d d ====()22cr crBC 2
2
0.7AC EI
EI
x l x F F ππ=
==
-⎡⎤⎣⎦
()()
22
2
2
2
2
0.4120.7 2.890.412
0.7crAC crAB EI
l F EI F l ππ===
能承受最大压力时杆长的比值。

解答:分析两杆在x-ｙ平面内失稳，而能承受最大压力的条件是:两杆同时达成临界力且相等，即12cr cr F F =其中,
代入,可得:
可解得，
8、图示矩形截面细长压杆,下端固定
,上端有一销孔，通过销轴转动。

绘出xy 和xz 平面内压杆的两个计算简图，并求ｈ和ｂ的合理比值。

()
()
224
cr12
2
1164
0.70.7EI
E
d l l F πππ=
=
2223
4
cr22
2
22
2212
64
EI
E E bh d l l l
F πππ==
=
()
224
4
2
2
2
164
64
0.7E
E d d l l πππ=
12
l l =
x
解答:由图可取:0.5b xy μμ==
在xy 平面内：
在xz 平面内，0.5b xy μμ==
则,h 和b 的合理比值是使:a b
λλ=
9、图示圆截面压杆d =40
ｍｍ,。

求能够用经验公式(MPa)计算临界235MPa s σ=cr 304 1.12σλ=-应力时的最小杆长。

0.7a xz μμ==0.7
a xz μμ==a a xy
z xy l i μλλλ=====b b
xz y xz l i μλλλ======0.7 1.40.5
h b ==
解答：因为使用经验公式的最小柔度是
cr 304 1.12σλ=- ﻩ又
１0、截面为矩形b ×h 的压杆两端用柱形铰连接(在xy 平面内弯曲时,可视为两端铰支;在xz 平面内弯曲时，可视为两端固定）。

E ＝200G Ｐａ,求：P 200MPa σ=(1)当b =30m ｍ,h ＝50mm 时,压杆的临界载荷;
（２）若使压杆在两个平面(xy 和xz 平面)内失稳的也许性相同时,b 和
ｈ的比值。

1－1
z
解答:
11、试确定图示结构中压杆BD 失稳时的临界载荷F 值。

已知:E ＝2×10５ＭP ａ,。

200MPa p σ=()6
06
30423510
61.61.1210s s
a b σλλ-⨯-====⨯0.74
s l
l d i
μλλ=
=
≥min 0.04
61.640.880.7
0.7
s l m
π
λπ
⨯
∴=
==
解答:取研究对象，画受力图如图,其中BD 杆受拉
c
M
=∑sin 4523
crBD cr F F ⨯=⨯ 对于BD 杆，
代入得:
１2、图示结构,E ＝20０G Ｐa,,求AB 杆的临界应力,并依照A Ｂ杆的临界载荷的1/5P 200MPa σ=确定起吊重量P 的许可值。

D
B
解答：1)求A
Ｂ杆的临界应力
cr crBD
F ∴=188.699.3
BD p l
i μλλ===>===2112
220.062104157188.6
crBD crBD BD EI F A A kN πππσλ⨯⨯⨯⨯∴==== 15774cr F kN =
= 1.5
1cos30173.20.044
4
AB p
l
l
d i
μμλλ
⨯
=
=
=
=>
2)由
D
M
=∑ 可知:20.2sin 30 1.50
crAB P F -⨯=
１３、图示结构,CD 为刚性杆,杆AB 的E ＝２0０G Ｐａ，,,经验公式
P 200MPa σ=240MPa s σ=（MPa),求使结构失稳的最小载荷F 。

cr 304 1.12σλ=-
解答：
对于A Ｂ杆,
故AB 杆为中柔度杆。

99.3p λ===229
22
2001065.866173.2crAB
AB E MPa MPa ππσλ⨯⨯∴===≈
26
30.150.150.150.0465.81022240.1582.710 6.22
crAB crAB P F A kN πσ⨯∴===⨯⨯⨯
=⨯⨯= 99.3
p λ==66
6
304102401057.1
1.1210s s a b σλ-⨯-⨯===⨯10.8
800.044
l
i μλ⨯=
=
=s p
λλλ∴<<
故使结构失稳的最小载荷是
14、校核两端固定矩形截面压杆的稳定性。

已知l =３m ，F ＝１00k Ｎ,ｂ＝4０ｍm ，ｈ＝60ｍｍ。

材料的弹性模量E ＝２00GP ａ，，稳定安全因数n st ＝3。

P 196MPa σ=解答：故压杆不符合稳定条件。

１5、图示结构中，二杆直径相同d ＝40m ｍ，，,临界应力的经验公式为p 100λ=s 61.6λ=（ＭPa ）
，稳定安全因数n ｓt =2.4,试校核压杆的稳定性。

cr 304 1.12σλ=-
解答：由三角形法则可知，两杆压力100N F F kN ==又压杆
2
6
0.04(304 1.1280)10269.4
4
crAB crAB F A πσ⨯
∴==-⨯⨯⨯
= 134.72
crAB
cr F F F kN ==
=100,130p
p l
i
μλλλ===
=
=
=> ()()3
2
9
2cr 220.060.0420010122810.50.53EI kN l F ππ⨯⨯⨯⨯=⨯∴==281
2.813100
cr st F n F ==<= 0.7
1cos3080.80.0404
l
i
μλ⨯=
=
=
则ﻩ
故压杆稳定。

16、图示结构，由Q235钢制成,［σ]＝1６０ＭPa,斜撑杆外径Ｄ=45mm,内径d ＝36mm ，n ｓ
t =3，斜撑杆的,，中长柱的(MP ａ)，试由压杆的稳定计算，确
p
100λ=s 61.6λ=cr 304 1.12σλ=-定结构的许用载荷[F ]。

A
解答：1)对结构进行受力分析：
2)对ＢD 杆,s p
λ
λλ<<()2
(304 1.12)0.04304 1.1280.84
268cr F A λπ∴=-⨯=-⨯⨯
= 268 2.68 2.4
100
cr st N F n n F ==
=>=
0,sin 451cos 450.122.57A
NBD NBD NBD M
F F F
F F
=⨯+⨯=∴=
=∑ 98.16
BD l
i
μλ==
=
=()
[]02
26
304 1.12304 1.1298.16194.10.0450.036194.110111.14111.137.0363
BD p
BD cr BD NBDcr cr NBDcr
NBD st
MPa F A
kN
F F kN
n λλλσλσ<<∴=-==⨯=∴=-=⨯⨯
==
==
3)由1)可知，
17、钢杆的尺寸、受力和支座情况如图所示。

已知材料的Ｅ＝2０0GPa,,
P 200MPa σ=，直线公式的系数a =304ＭPa,b ＝１.１2M Ｐa,试求其工作安全因数。

240MPa s σ=
（mm ）
1８、图示结构，尺寸如图所示,立柱为圆截面,材料的E =200ＧPa,。

若稳定安全因P 200MPa σ=数n st ＝2，试校核立柱的稳定性。

=10kN
解答：1）取研究对象如图,算工作压力
0A
M
=∑[][]
[][]2.5737.03614.412.57
2.57
NBDcr NBD F F F F kN
=∴==
=1.12210200.6
NCD
F F kN ==⨯=
2）求crCD
F 故立柱满足稳定条件。

19、图示结构，1、2杆均为圆截面
,直径相同，d ＝４0mm ，弹性模量Ｅ＝２００ＧPa,材料的许用应力［]＝1２0M Ｐａ，合用欧拉公式的临界柔度为90,并要求安全因数n st ＝２,试求许可载σ荷[F ］。

解答：1)由节点B 的平衡得:
2）杆1
受拉为强度问题。

由杆１的强度条件
　3）对于2杆,
229
2210.612099
0.0244200104312043
2.15220
CD p crCD CD
crCD st NCD l l
d i E F A kN F n n F μμλλππλ⨯=
=
=
=>==⨯⨯∴===∴=
==>= 12
2,sin 30tan 30N N F F
F F F =
==-=
[]12
12
620.0440.041201075.48
N F F
A F kN
σππ=<⨯⨯∴≤⨯⨯=2
2
11
100900.044
p l i μλλ⨯=
=
=>=
故２杆为细长杆且受压,故为稳定问题。

故2
杆工作压力N2F =故取绝对值,
比较可得：。

[]71.6F kN =２０、图示由五根圆形钢杆组成的正方形结构，连接处为铰结，各杆直径均为d ＝４0mm ，材料为A3钢,[]＝１60MPa ,求许可载荷[F ]。

σ
λ90100110120130
ϕ
0.6690.6040.5360.4660.401
解答:由节点法求得各杆内力如图
对于AB 、BC 、CD 、DA 杆：ﻩ且查表可得0.604
ϕ=由稳定条件AB 、BC 、
四杆为稳定问题。

(
)
()
3
29
2
N2cr 2
2
20.042001064
24811EI
kN
u F l πππ⨯⨯⨯⨯
∴=
=
=⨯N2cr N2248
1242
st F F n ∴≤==12471.6F kN
≤∴≤=[]
N F =11
1000.044
l
i
μλ⨯=
=
=[][][]
[]2
60.040.604160101714N F A F A kN
σϕ
σϕσ
πϕσ∴=
≤⇒
≤⨯∴≤=⨯⨯⨯=
对于BD 杆,因受拉,故为强度问题。

NBD F F
=由具强度条件:
ﻩ
比较可得：
[]171F kN =[][]260.0416*******NBD BD F F A A F A kN σσπσ==≤⨯≤=⨯⨯=。