2023年中考数学高频考点突破——全等三角形

2023年中考数学高频考点突破——全等三角形1．如图，已知AD为△ABC的中线，延长AD，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD．（1）求证：△BED≌△CFD．
（2）若∠EAC＝45°，AF＝12，DC＝13，求EF的长．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．
（1）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCE；
（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
3．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
6．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝，求AD的长．
7．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，∠ADC+∠B＝180°．
（1）求证：BC＝CD；
（2）2AE＝AB+AD．
8．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）判断△CMN的形状并说明理由．
9．已知：如图所示，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE＝CF．
求证：（1）AD是∠BAC的平分线；（2）AB＝AC．
10．阅读探索题：
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．
（2）请你参考以上方法，解答下列问题：
如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．
11．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）试说明：BD＝CE；
（2）试说明：∠M＝∠N．
12．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD＝AC．
13．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l 于D，CE⊥AE，若BD＞CE，试问：
（1）AD与CE的大小关系如何？请说明理由；
（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？并说明理由．
14．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，BD＝CE，连接AE，CD交于点O．
（1）如图1，求证：CD＝AE；
（2）如图2，作等边△AEF，连接BF，DF．直接写出图2中所有120度的角．
15．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，连接AD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）求证：AC+CD＝CE；
（2）求∠DCE的度数．
16．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
17．如图，已知∠MBN＝60°，在BM，BN上分别截取BA＝BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，求证：∠PQC＝90°．
18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝15，BE＝3，求AB的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝20°，求∠ACF的度数．
20．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．
参考答案与试题解析
1．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，
∵∠FDC＝∠EDB，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）；
（2）解：由（1）可知：△BED≌△CFD，∠AFC＝90°，∴ED＝FD，
∵∠EAC＝45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴AF＝FC，
∵AF＝12，DC＝13，
在Rt△DFC中，，
∴EF＝2DF＝10．
2．【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝2，DC＝2，∴AB＝DC，
∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，
∴∠BDA+∠CDE＝130°，
∴∠BDA＝∠CED，
∴△ABD≌△DCE（AAS）
（2）解：可以．有以下三种可能：
①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD＝DE
则有∠DAE＝∠DEA＝65°
∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；
②由（1）得∠BDA＝∠CED
∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合）∴AD≠AE；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°
∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°．3．【解答】证明：（1）延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．
4．【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．
又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE．
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE．
又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC≌△CEB．
∴CD＝BE，AD＝CE．
∴DE＝AD﹣BE．
5．【解答】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵△CFD≌△BGD，
∴GD＝DF，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BE+CF＞EF．
6．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∠CBE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF＝AC，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AC＝2AE，
∴BF＝2AE；
（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF＝CD＝，
在Rt△CDF中，CF＝＝2，
∵BE⊥AC，AE＝EC，
∴AF＝CF＝2，
∴AD＝AF+DF＝+2．
7．【解答】证明：（1）过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CF＝CE，
∵∠ADC+∠CBE＝180°，∠ADC+∠FDC＝180°，∴∠CBE＝∠FDC，
在△FDC和△EBC中，
∵，
∴△FDC≌△EBC（AAS），
∴CD＝BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，
∴DF＝BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∵，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE．
8．【解答】（1）证明：
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，∵∠DCA＝∠ECB＝60°，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD；
（2）解：△CMN为等边三角形，理由如下：
∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC＝NC，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN为等边三角形．
9．【解答】证明：（1）AD是△ABC的中线（已知），∴BD＝CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），
即AD是∠BAC的平分线．
（2）在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF（全等三角形的对应边相等）．
又∵BE＝CF（已知），
∴AB＝AC．
10．【解答】（1）证明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．
（2）在CB上截取CE＝CA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CAD＝∠CED＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠EDB＝30°，
即∠EDB＝∠B，
∴DE＝EB，
∵BC＝CE+BE，
∴BC＝AC+DE，
∴BC＝AC+AD．
11．【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE，
即∠BAN＝∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，
在△ACM和△ABN中，，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M＝∠N．
12．【解答】证明：（1）过O点作OE⊥AC于点E．∵∠ABD＝90°且OA平分∠BAC
∴OB＝OE，
又∵O是BD中点
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∵OE⊥AC，∠D＝90°
∴点O在∠ACD的角平分线上
∴OC平分∠ACD．
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中
∵
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴AB＝AE，
在Rt△CDO和Rt△CEO中
∵
∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），
∴CD＝CE，
∴AB+CD＝AE+CE＝AC．
13．【解答】解：（1）AD与CE的大小关系为AD＝CE，
理由是：∵∠BAD+∠EAC＝∠BAC＝90°，
又∵CE⊥l于E，
∴∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE；
∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°；
又∵AB＝AC；
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE．
（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系为：BD＝DE+CE，理由如下：∵△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
又∵AE＝DE+AD，
∴BD＝DE+CE．
14．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△CAE和△BCD中，
，
∴△CAE≌△BCD（ASA），
∴CD＝AE；
（2）∵∠FDB＝60°，
∴∠ADF＝120°，
∵∠DFB+∠DBC＝60°+60°＝120°＝∠FBC，
∵∠AOD＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴∠DOE＝∠AOC＝120°，
故120度的角有∠ADF，∠FBC，∠AOC，∠DOE．
15．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝60°，∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAD＝∠CAE＝60°+∠CAD，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∵BD＝BC+CD＝AC+CD，
∴AC+CD＝CE；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°．16．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE．
17．【解答】（1）解：AP＝CQ；理由如下：连接PQ，如图所示：
∵∠MBN＝60°，∠PBQ＝60°，
∴∠ABP+∠CBP＝60°，∠CBQ+∠CBP＝60°，∴∠CBQ＝∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ，
（2）证明：设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，
在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，∴△PBQ为等边三角形，
∴PQ＝4a，
在△PQC中，∵PQ2+QC2＝16a2+9a2＝25a2＝PC2，∴△PQC为直角三角形，即∠PQC＝90°．
18．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFA＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF＝BE，
∵AC＝15，BE＝3，
∴AB＝AE﹣BE＝AF﹣CF＝AC﹣CF﹣CF＝15﹣3﹣3＝9．19．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣20°＝25°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝25°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+25°＝70°．
20．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠2＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠4＝∠6＝67.5°，
∴∠DEC＝180°﹣∠6＝112.5°．。