2021届浙江省杭州市学军中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2021届浙江省杭州市学军中学高三上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合(){}|lg 1A x y x ==+，{}
|2B x x =<，则A B =（ ）
A ．()1,2-
B ．()0,2
C ．()2,0-
D ．()2,1--
【答案】A
【分析】先求集合{}|1A x x =>-，{}|22B x x =-<<，再根据集合交集运算即可得答案.
【详解】解：由于(){}
{}|lg 1|1A x y x x x ==+=>-，
{}{}|2|22B x x x x =<=-<<，
所以A
B ={}{}{}|1|22|12x x x x x x >--<<=-<<.
故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.
2．已知,a b ∈R ，则“||a b >”是“||||a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由||0a b >≥得0a >，所以||||a b >；代入特殊值可判断||||a b >不一定推出
||a b >，再由充分条件与必要条件的定义即可判断.
【详解】由||0a b >≥得0a >，所以a a =，故可得||||a b >； 当||||a b >时，取2,1a b =-=-，则||a b >不成立； 故“||a b >”是“||||a b >”的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
3．已知实数,x y 满足0124y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪+≤⎩
，则该不等式组所表示的平面区域的面积为
A．1
2
B．
3
2
C．2D．3
【答案】B
【详解】分析：首先根据题中所给的不等式组，作出可行域，应用三角形面积公式求得结果.
详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示：
其为阴影部分的三角区，
解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为(1,0),(2,1),(4,0)，
根据三角形的面积公式可以求得
13
(41)1
22
S=⨯-⨯=，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式组表示的平面区域的问题，在解题的过程中，首先需要利用题中所给的条件，将区域画出来，分析得到其为三角区，联立方程组求得三角形的顶点坐标，最后应用三角形的面积公式求得结果.
4．设函数
1
()ln
1
x
f x x
x
+
=
-
，则函数的图像可能为（）
A．B．C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数为偶函数排除,A C，再计算
11
()
22
ln30
f=>排除D得到答案.
【详解】
1
()ln
1
x
f x x
x
+
=
-
定义域为：(1,1)
-
11()ln
ln ()11x x
f x x x f x x x
-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C 11
()22
ln 30f => ，排除D 故选B
【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.
5．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则（ ）
A ．()323x f x π⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
B ．()2323
x f x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
C ．()3sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ D ．()32sin 23
f x x π
⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
【答案】B
【分析】由函数()min 3f x =-A 的值，由()3
02
f =结合0ϕπ<<可求得ϕ的值，再将点5,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入函数()f x 的解析式，求得ω的值，进而可求得函数()f x 的解析式.
【详解】由图象可得()min 3f x A =-=-3A =
()()3sin x f x ωϕ=+，
()3032f ϕ==
，可得3
sin ϕ=， 由于函数()f x 在0x =附近单调递减，且0ϕπ<<，所以，23
ϕπ
=
，
由于点
5
,3
3
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
是函数()
f x的图象在y轴右侧的第一个最低点，
又
552
3sin3
333
f
ππωπ
⎛⎫⎛⎫
=+=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，可得
52
sin1
33
πωπ
⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
，
所以，523
332
πωππ
+=，解得
1
2
ω=.
综上所述，()
2 3sin
23
x
f x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
.
故选：B.
【点睛】本题考查利用图象求解正弦型函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为
A．17B15C13D．4
【答案】A
【分析】画出几何体的直观图，判断两点间距离最大值的位置，求解即可.
【详解】由题意可知，几何体的直观图如下图所示，该几何体是长方体的一部分，该几何体中任一两个顶点间距离的最大值应该是AF、BD、BE中的一个，
且22244423
AF AD DE EF
=++++=
2222
3213
BD AB AD
+=+=
22249417
BE AD AB DE
=++=++=
故选A.
【点睛】本题考查三视图的直观图的应用，解题时要根据三视图还原几何体，作出几何体的直观图，并计算出棱长，考查空间想象能力，属于中等题.
7．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的x D ∈，存在y D ∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（ ） A ．2sin cos cos y x x x =+ B ．2x y = C ．ln x y x e =+ D ．22y x x =-
【答案】C
【分析】根据“呆呆函数”的定义可知：函数()f x 的值域关于原点对称，由此逐项判断. 【详解】根据定义可知：()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称， A ．2
111
sin cos cos sin 2cos 2222
y x x x x x =+=
++ 211212sin 2,24222y x π⎡+⎛
⎫=
++∈⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦，此时值域不关于原点对称，故不符合； B ．()20,x
y =∈∞+，值域不关于原点对称，故不符合；
C ．ln x y x e =+，当0x →时，y →-∞，当x →+∞时，+y →∞， 所以()ln ,x
y x e =+∈-∞+∞，值域关于原点对称，故符合；
D ．()[)2
22111,y x x x =-=--∈-+∞，值域不关于原点对称，故不符合， 故选：C.
【点睛】本题考查新定义函数，涉及到函数值域的分析，主要考查学生的分析理解能力，难度一般.
8．从1，2，3，…，20中选取四元数组()1234,,,a a a a ，满足
2132433,4,5a a a a a a -≥-≥-≥，则这样的四元数组()1234,,,a a a a 的个数是
A ．4
9C
B ．4
10C
C ．4
11C
D ．4
12C
【答案】C 【分析】通过假设
1122133244354,2,3,4,21x a x a a x a a x a a x a ==--=--=--=-，分析得到满足的
()12345,,,,x x x x x 的个数，从而确定出四元数组()1234,,,a a a a 的个数.
【详解】因为11a ≥，记111x a =≥，
因为213a a -≥，所以2121a a --≥，记22121x a a =--≥， 因为324a a -≥，所以3231a a --≥，记33231x a a =--≥， 因为435a a -≥，所以4341a a --≥，记44341x a a =--≥， 因为4211a -≥，记54211x a =-≥， 所以1234512x x x x x ++++=，
所以四元数组()1234,,,a a a a 的个数，即为满足条件的()12345,,,,x x x x x 的个数， 又因为12345,,,,1x x x x x ≥且1234512x x x x x ++++=，
所以()12345,,,,x x x x x 的个数为：4
11C （12看成12个1排成一列，会形成11个空位，插
入4个隔板隔开，形成5个数）， 则四元数组()1234,,,a a a a 的个数为4
11C ，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的综合应用，其中涉及到数字排列的变换以及隔板法的运用，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难.
9．已知函数2
()26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[2,]b 上恰有两个零
点，则实数b 的最小值为（ ）
A ．
B ．4
C ．2+
D ．2+
【答案】C
【分析】由函数在[2，]b 上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和b 时，解得a 的值，将a 的值代入使得函数值f （b ）0=求出b 的值即可． 【详解】因为函数2())|2|6f x x ax =+--在[2，]b 上恰有两个零点，
所以在2x =与x b =时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b 取最小值，
若2x =，()f x 的零点满足f （2）2|222|60a =+--=，解得2a =，或4a =-， 当2a =，2()|22|6f x x x =+--，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点，则f （b ）
2|22|60b b =+--=，且2b >，解得2b =（舍)或4b =-（舍)，
当4a =-时，2()|42|6f x x x =---且2b >，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点， 则f （b ）2|42|60b b =---=，2b >，
所以2|42|6b b --=，即2426b b --=-整理2440b b -+=，解得2b =（舍)，
或2480b b --=解得：2b =-)或2b =+
综上所述，当2b =+()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点．
故答案为：2+
【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.
10．正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱,CD BC 上的动点，且2BF CE =，当三棱锥1C C EF -的体积取得最大值时，记二面角
1111,,C EF C C EF A A EF A ------的平面角分别为,,αβγ，则（ ）
A ．αβγ>>
B ．αγβ>>
C ．βαγ>>
D ．βγα>>
【答案】A
【分析】设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，列出三棱锥1C C EF -的体积关系式，可知当1
2
a =
时，1C C EF V -取得最大值，以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求出,,αβγ的余弦值，根据余弦值的大小关系可得结果.
【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系：
设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，由0222a <-≤，得01a ≤<，
11C C EF C CEF V V --=11
3
CEF CC S =⨯⨯△211211(22)2()32324a a a ⎡⎤=⨯-⨯=--+⎢⎥⎣⎦，
所以当1
2a =
时，1C C EF V -取得最大值16
. 此时，3
(2,0,0),(020),(00)2
A C E ，
，，，，(1,2,0)F ，11(2,0,2),(0,2,2)A C ， 1
(1,,0)2
EF =，1(1,0,2)C F =-，1(1,2,2)A F =--，
设平面1C EF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面1A EF 的法向量为222(,,)n x y z =，
则100m EF m C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110
2
20x y x z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，取11x =，则1112,2y z =-=，所以1(1,2,)2m =-， 100n EF n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2
2222102220
x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩，取21x =则22
52,2y z =-=-，所以5
(1,2,)2
n =--，
取平面CEF 和平面AEF 的法向量为1(0,0,2)AA =， 由图可知，,,αβγ均为锐角，
则cos α=11||||||m AA m AA ⋅1140044
=++⨯++21
21
=
， ||cos ||||m n m n β⋅==5
|14|
4125141444
+-++⨯++
105=，
11||cos =||||n AA n AA
γ⋅=
3
=
， 所以cos cos cos αβγ<<，根据余弦函数在(0,)2
π
内单调递减，可得αβγ>>.
故选：A
【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了二面角的向量求法，考查了运算求解能力，属于中档题.
二、填空题
11．设0b >，2
1a b -=，则2
42a a b
+的最小值为_________.
【答案】4
【分析】两次应用基本不等式，242a a b +≥，12
b b +≥，验证等号能同时成立即得．
【详解】由题意21
1a b =+≥
，
2442a a b +≥==≥=，
当且仅当2
142b b
a
a b
⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立． 故答案为：4．
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．
12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．
【答案】0
【详解】
如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中
位线，所以11
,22
EN AB ME DC ==, 所以1
()2
MN ME EN DC AB =+=+．
由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，
故()()()()2
PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λ
λ⋅-=⋅-=
+⋅-
22
()02
AB DC λ
=
-=．
答案：0 点睛：
（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1
()2
MN DC AB =
+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解．
（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++两式相加得到
1
()2
MN DC AB =+．
13．设a ，b 是正实数，函数()ln f x x x =，()
ln 3b g x x a =-+.若存在0,3a x b ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使()()00f x g x ≤成立，则b
a
的取值范围为_________. 【答案】13,3e
⎛⎤ ⎥⎝⎦
【分析】由区间的表示可知
13b a >,令()()()h x f x g x =-，存在0,3a x b ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使()()00f x g x ≤成立等价于min ()0h x ≤，求导后判断导数的正负号，即可讨论出函数
()h x 在区间,3a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性，即可求出b a 的取值范围.
【详解】∵存在0,3a
x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()00f x g x ≤成立，∴3a b <，0a >得1
3b a >；
令()()()ln ln 3
b
h x f x g x x x x a =-=-+
； ∴()ln 1ln ln 1x h x x a a ⎛⎫
'=+-=+
⎪⎝⎭
； ∵0,3a
x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，03a x ≥，013x a ≥，令ln 10x
a +>，即a
x e >时，()h x 递增；3a a
x e <<
时，()h x 递减； ①若a b
e ，即()11,,3b h x a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦在,3a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减；
∴()min ()ln 03
b b
h x h b b a ⎛⎫==+≤ ⎪
⎝⎭，对11,3b a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立； ②若
3a a b e <<，即1,b a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()h x 在,3a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上先递减后递增；
∴min ()ln ln 03a a a a b h x h a e e e e
⎛⎫==-+
⎪
⎝⎭，∴03a b e -+≤，3b a e ≤，即13
b e a e
<， 综上
b a 的取值范围为13,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 故答案为：13,3e
⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
【点睛】本题结合函数考查不等式的存在性问题，属于难题.将存在0,3
a x
b ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，使
()()00f x g x ≤成立转化为最值()min ()()0f x g x -≤是解本题的关键.
三、双空题
14．已知复数z 满足(3)10z i -=，则复数z 的虚部等于_________，复数z 的模等于________．
【答案】1
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由(3)10z i -=，得1010(3)
33(3)(3)
i z i i i i +=
==+--+，z ==
∴复数z 的虚部等于1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
15．在二项式5
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，二项式系数之和是_______，含4x 的项的系数是________.
【答案】32 10
【分析】空1：根据二项式系数之和公式直接求解即可； 空2：运用二项式的通项公式直接求解即可.
【详解】空1：在二项式5
21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数之和为：5232=；
空2：二项式5
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的通项公式为：
251031551
()(1)()(1)r r r r r r r r T C x C x x
--+=⋅⋅-⋅=⋅⋅-，
当1034r -=时，即2r 时，含4x 的项的系数为：22
5(1)10C ⋅-=.
故答案为：32；10
【点睛】本题考查了二项式展开式二项式系数之和公式，考查了二项式通项公式的应用，考查了数学运算能力.
16．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若510(),()39
E X D X =
=，则p =________，(1)P X ==________．
【答案】
13
80
243
【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 【详解】解：由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又5()3
E X =
，1(0)9D X =，
所以5310(1)9np np p ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
解得：1
3
p =
，5n =， 所以15,3X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4
151180(1)133243
P X C ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭ 故答案为：
13；
80
243
【点睛】本题考查了服从二项分布的随机变量的期望及方差的求法，属于中档题． 17．已知数列{}n a 满足(
)*
1(1)2n n n a n a n N
+⋅--⋅=∈，则1
a
=________；设数列
{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，当5n ≠时，都有5n S S <，则5S 的取值范
围为________．
【答案】2 ()5,6
【分析】由(
)*
1(1)2n n n a n a n N
+⋅--⋅=∈，当1n =时，求出1
2a
=；由
112(1)2
(1)2n n n n na n a n a na +++--=⎧⎨
+-=⎩
，可得{}n a 为等差数列，结合当5n ≠时，都有5n S S <，即可求得5S 的取值范围 【详解】
1(1)2n n na n a +--=，当1n =时，得12a =
由112(1)2,(1)2,n n n n na n a n a na +++--=⎧⎨
+-=⎩
①
②，-①②得212n n n a a a +++=，
故{}n a 为等差数列，设公差为d
又120a =>，对任意的*n N ∈，当5n ≠时，都有5n S S <，故0d <，5600
a a ≥⎧⎨
≤⎩， 即240250d d +≥⎧⎨
+≤⎩
，12
25d ∴-<<-，又15535()52a a S a +=
==1010d +，可得， 510106d <+<，所以，5S 的取值范围为()55,6S ∈
故答案为：2；()5,6
【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数列是等差数列，掌握数列的单调性是解题关键，考查了分析能力和计算能力，属于基础题
四、解答题
18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
cos cos 2sin 0a C c A b B +-=.
（1）求B ；
（2）若B
为锐角，sin 2A =
，BC
边上的中线长AD =ABC 的面积.
【答案】（1）6
B π
=
或
56
π；（2
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得； （2）由（1）可知6
B π
=
，再根据二倍角公式求出A ，从而得到C ，在ABC 中，设
2AC BC x ==，在ADC 中，利用余弦定理即可求出x ，最后根据面积公式计算可
得；
【详解】解：（1）在ABC 中，因为cos cos 2sin 0a C c A b B +-=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin sin 0A C C A B B +-=， 所以()sin 2sin sin 0A C B B +-=，即()sin 12sin 0B B -=， 又因为sin 0B ≠，所以1
sin 2
B =
因为B 是三角形的内角，所以6
B π
=
或
56
π （2）由（1）知6B π
=
，因为2
2cos 12sin 12242A A ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
， 50,π,66A A π⎛⎫
∈∴= ⎪⎝⎭
所以ABC 为等腰三角形，且23
C π
=
，在ABC 中，设2AC BC x ==， 在ADC 中，由余弦定理得222
222cos 773
AD AC DC AC DC x π=+-==，解得1x =
所以2AC BC ==，所以1
sin 32
ABC
S AC BC C =
⋅⋅=， 所以三角形的面积为3
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题； 19．已知四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为菱形，2AB =，4AA '=，60BAD ∠=︒，E 为BC 中点，C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点．
（1）求证：BD A H '⊥；
（2）求直线BD 与平面BCC B ''所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）
15
5
【分析】（1）连结A ′C ′、B ′D ′，则A ′C ′⊥B ′D ′，BD ∥B ′D ′，推导出C ′H ⊥平面ABCD ，从而C ′H ⊥平面A ′B ′C ′D ′，B ′D ′⊥C ′H ，进而B ′D ′⊥平面A ′C ′H ，BD ⊥平面A ′C ′H ，由此能证明BD ⊥A 'H ．
（2）连结CD ′，则四边形CHC ′D ′是平行四边形，CD ′⊥平面ABCD ，以C 为原点，在平面ABCD 中过C 作CD 的垂线为x 轴，CD 为y 轴，CD ′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD 与平面BCC B ''所成角的正弦值． 【详解】解：（1）证明：四棱柱ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，底面ABCD 为菱形， 连结A ′C ′、B ′D ′，则A ′C ′⊥B ′D ′，BD ∥B ′D ′，
∵C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点， ∴C ′H ⊥平面ABCD ，
∵平面A ′B ′C ′D ′∥平面ABCD ， ∴C ′H ⊥平面A ′B ′C ′D ′，
∵B′D′⊂平面A′B′C′D′，
∴B′D′⊥C′H，
∵A′C′∩C′H＝C′，
∴B′D′⊥平面A′C′H，
∴BD⊥平面A′C′H，
∵A′H⊂平面A′C′H，
∴BD⊥A'H；
（2）解：连结CD′，则四边形CHC′D′是平行四边形，
∴CD′⊥平面ABCD，
以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴，CD为y轴，CD′为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，﹣2，0），B31，0），B′3，1，3），C（0，0，0），
BB '＝（0，2，3，BC31，0），BD31，0），
设平面BCB′的法向量n＝（a，b，c），
则
30
2230
n BC b
n BB b c
⎧⋅=-+=
⎪
⎨
⋅==
⎪'+
⎩
，取a＝1，得n＝（131），
设直线BD与平面BCC B''所成角为θ，
则
2315 sin
25
BD n
BD n
θ
⋅
===
⨯
⋅
．
∴直线BD与平面BCC B''所成角的正弦值为15
5
．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14a =，
()*134n n a S n N +=+∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：8
9
n T <. 【答案】（1）4n
n a =；（2）证明见解析
【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-结合等比数列的定义可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）化简得到21244n
n n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，利用错位相减法计算得到868994n n n T +=-⨯，得到证明.
【详解】（1）(
)*
134n n a S n N
+=+∈，当2n ≥时，134n
n a
S -=+，两式相减得到
14n n a a +=， 213416a a =+=，2
1
4a a ∴
=， 所以，数列{}n a 是以4为首项，以4为公比的等比数列，故4n
n a =；
（2）2log n n n a b a =，即42n
n b n ⋅=，故21244n
n n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故2
111242444n n T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+
+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，23
1
11112424444n n T n +⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+
+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
.
相减得到：
2341234132222221111
1
2244444
444444
44
n n n n
n n n T ++⎛⎫=+++++
-=+++++
- ⎪⎝⎭111
112122122684411434433414
n n n n n n n n +++⎛⎫⨯- ⎪
+⎛
⎫⎝⎭=-=--=- ⎪⨯⎝⎭-， 化简整理得到：86889949
n n n T +=
-<⨯，得证. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，错位相减法，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 且与C 相交于A 、B
两点，当直线l 的倾斜角为4
π
时，||8AB =． （1）求C 的方程；
（2）若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．
【答案】（1）y 2＝4x ；（2）x ﹣y ﹣1＝0或x +y ﹣1＝0． 【分析】（1）求出焦点坐标，设直线l 的方程为y ＝x ﹣2
p
，代入y 2＝2px ，通过抛物线的性质求解p ，得到抛物线方程即可；
（2）设l 的方程为x ＝my +1（m ≠0），代入y 2＝4x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），利用韦达定理，求|AB |，推出l '的方程为231
2x y m m
=-
++，代入y 2＝4x ，设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），求解|MN |，结合A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，推出
1
2
AE BE MN ==
，然后求解即可． 【详解】解：（1）,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设直线l 的方程为y ＝x ﹣2p ，
代入y 2
＝2px ，得x 2
﹣3px +2
4
p ＝0，
于是|AB |＝x 1+x 2+p ＝4p ＝8，得p ＝2， ∴C 的方程为y 2＝4x ．
（2）由题意知l 与坐标轴不垂直，∴可设l 的方程为x ＝my +1（m ≠0）， 代入y 2＝4x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0，
设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4． ∴AB 的中点为D （2m 2+1，2m ），|AB |＝4m 2+4， 又l '的斜率为﹣m ，
∴l '的方程为231
2x y m m
=-
++， 将上式代入y 2＝4x ，并整理得()
22
44230y y m m
+-+=，
设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）， 则()212124
,423y y y y m m
+=-=-+， 则2
121446x x m m m ⎛⎫+=-
-++ ⎪⎝⎭
，
∴MN 的中点为2
2
2223,E m m
m ⎛⎫++-
⎪⎝⎭，
(
2122
41m MN y m
+=-=， 由于MN 垂直平分AB ，∴A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于1
2
AE BE MN ==， 从而
222
111444
AB DE MN +=， 即()
()()2
22
22
2
224
41
21
224122m m
m m m m m ++⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
化简得：m 2﹣1＝0，解得：m ＝1或m ＝﹣1， 所求直线l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x +y ﹣1＝0．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 22．函数()1
ln f x x x
=-
，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数()1
ln f x x x
=-
图象的切线，求+a b 的最小值； （3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点()11,A x y ，()22B x y ，，试比较
12x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7
为1.4）
【答案】（1）(],0-∞；（2）1-；（3）2122x x e >.
【分析】（1）求出()h x '，由题可得()0h x '>在()0,∞+恒成立，即2
11
a x x ≤
+恒成立，由
211
0x x
+>可求； （2）设切点0001,ln x x x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，求出切线方程，令01t x =，则()2ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，利用导数求出()t ϕ的单调性即可求出最小值；
（3）由题意化简可得121221212211ln 2ln x x x x x x x x x x x x ++-⨯
=-，令120x x <<，记2
1
1x t x =>，
令()()
()21ln 11
t F t t t t -=-
>+，由导数可得()F t 在()1,+∞
上单调递增，1>，令()2ln G x x x
=-
，可得1-<，即可判断. 【详解】解：（1）：()()()1
ln h x f x g x x ax b x
=-=---， 则()211
h x a x x
'=
+-， ()()()h x f x g x =-在()0,∞+上单调递增，
∴对0x ∀>，都有()2
110h x a x x '=
+-≥， 即对0x ∀>，都有211a x x
≤
+， 211
0x x
+>，0a ∴≤， 故实数a 的取值范围是(],0-∞； （2）()211f x x x
'=
+， 设切点0001,ln x x x ⎛⎫-
⎪⎝⎭，则切线方程为()0
02000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即0
0220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 即02000112
ln 1y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++--
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
令0
1
t x =，由题意得2a t t =+，ln 21b t t =---， 令()2
ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则()()()211121t t x t t
t
ϕ+-'=-+-=
，
当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()0,1上单调递减； 当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在()1,+∞上单调递增，
()()11a b t ϕϕ∴+=≥=-，故+a b 的最小值为1-；
（3）由题意知1111ln x x x α-
=，222
1
ln x ax x -=，
两式相加得()12121212
ln x x x x a x x x x +-=+， 两式相减得()21221112ln x x x a x x x x x --=-，即212112
ln 1x x a x x x x +=- ()21211212122112ln 1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪∴-=++- ⎪ ⎪⎝⎭
， 即121221212211
ln 2ln x x x x x x x x x x x x ++-⨯=-， 不妨令120x x <<，记21
1x t x =>， 令()()()21ln 11
t F t t t t -=->+，则()()()2101t F t t t '-=>+， ()()21ln 1
t F t t t -∴=-+在()1,+∞上单调递增，则()()10F t F >=， ()21ln 1t t t -∴>+，则()212112
2ln x x x x x x ->+， 121221212211ln 2ln 2x x x x x x x x x x x x ++∴-⨯
=>-，
1212121212ln 2ln x x x x x x x x +∴-⨯<=，
2ln 2∴>
，即1>， 令()2ln G x x x =-，则0x >时，()2120G x x x
'=+>， ()G x ∴在()0,∞+上单调递增，
又1ln 210.8512
e =+-≈<，
1G ∴=>>，
e >，即2122x x e >．
【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数求函数的最值和比较大小，解题的关键是正确的构造函数，利用导数判断出函数的单调性，通过单调性求出函数的最值.。