人教版高中数学选修(2-2)-1.7《定积分在几何中的应用》教学教案

1.7.1定积分在几何中的应用

学习目标：

1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。 学习方法：

情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积

问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？

问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？

情境二：利用定积分求平面图形的面积

例1． 计算由两条抛物线2

y x =和2

y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图）

问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？

问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决）

解：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==2

2x

y x

y 得到交点横坐标为0=x 或1=x

∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ⎰

=

1

dx x ⎰-1

2

1031

0233132x x -=313132=-= 情境三 学生探究：

例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．

问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？

问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？

问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分）

问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去

思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差）

2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。 情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。 解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间 5．计算定积分，求出面积.