精选高中数学单元测试试题-数列专题完整题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为_______ 2．已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n 项an 等于 A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1
D.2n+1
3．某大楼有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层到20层，每层一人，而电梯只允许停一次，可只使一人满意，其余18人都要上楼或下楼。

假设乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2。

所有人不满意之和为S ，为使S 最小，电梯应停在第（ ）层。

A,15 B,14 C,13 D,12
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
4． 已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，12b =，且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l +=+时，都有i j k l a b a b +=+，则2010
1
1()2010i i i a b =+∑的值是 ▲ ．
5．1、各校（园）：
请各单位对照本单位实际，按马校长的要求做好校园安全工作。

马校长强调：近期安全要关注之处
1、学生上下学安全，和家长定接送安全责任状，上学的时候有人值班校干带班。

2、校内各个区域的安全值班，重要的是有人带班和检查一下值班情况。

3、食堂食品和学生饮用水情况。

4、传达室的物品摆放情况和值班情况，不可以让人员随意进出学校。

5、进行特异体质学生调查，统计，跟踪分析一下。

6、对学生的安全教育情况，
7、带领全体职工学习安全职责。

8、学校的线路情况如何。

9、楼梯口的安全值班情况。

10、保安的管理情况，不可以有超过七十岁的安保人员。

2、会议通知：
明天上午9点请各校（园）负责事业年报统计的人员到中心校开会，来时带笔记本电脑和U 盘，任何人不得缺席。

2014.9.29
6．设数列}{n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30
303212=a a a a ，求
30963a a a a 的值。

7．数列1+ ,2
1
,,813,412,21n n +++的前n 项的和为 ．
8．设等比数列的前n 项和c S n
n -=3，则c =______
9．数列{a n }的前n 项和为n S ，若对于n ∈N*，总有n S ＝2n －1，则数列2{}n n a a +的前n 项和为 ▲ ．
10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=
11．△ABC 中， a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，
30B ∠=︒，△ABC 的面积为2
3
，那么b =___▲___．
12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S = 。

13．等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 2
1＝a 2
10，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n ＝______．
14．数列{}n a 的通项(,0)n d a cn c d n =+>，第2项是最小项，则d
c 的取值范围是 ▲ ．
15． 若数列{}n a 满足12a =,11
3n n n
a a +=,则2n a =___________.
16．在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列}{n a ,已知122a a =,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为 17． 已知数列{}n a 的通项公式是102+-=n a n ，其前n 项的和是n S ,则n S 最大时n 的取值为
18．已知各项均为整数的数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．
19．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中
,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a =
53n -.(江苏省宿豫中学2011年3月高考第二次模拟考试)
三、解答题 20．（本题15分）
在数列}{n a 中，n
a n 1
=
（*N n ∈）。

从数列}{n a 中选出k （3≥k ）项并按原顺序组成的新数列记为}{n b ，并称}{n b 为数列}{n a 的k 项子列，例如：数列21，31，51，8
1
为
}{n a 的一个4项子列。

（1）试写出数列}{n a 的一个3项子列，并使其为等差数列； （2）如果}{n b 为数列}{n a 的一个5项子列，且}{n b 为等差数列。

证明：}{n b 的公差d 满足08
1
<<-
d ； （3）如果}{n c 为数列}{n a 的一个m （3≥m ）项子列，且}{n c 为等比数列。

证明：1
321212--≤++++m m c c c c 。

21．（本题满分16分） 在正数数列
中，Sn 为
的前n 项和，若点
在函数
的图象上，
其中c 为正常数，且c ≠1。

（I ）求数列
的通项公式；
（II ）是否存在正整数M ，使得当n ＞M 时，恒成立？若存在，求出
使结论成立的c 的取值范围和相应的M 的最小值。

（III ）若存在一个等差数列
，对任意
，都有
成立，求的通项公式
及c 的值。

22．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数） （Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值.
23．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ▲ ．
24．已知数列*
{}()n a n N ∈是首项为1a ，公比为q 的等比数列.
(1）求和：① 012
122232a C a C a C -+； ② 0123
13233343a C a C a C a C -+-； ③ 01234
1424344454a C a C a C a C a C -+-+；
(2）根据（1）求得的结果，试归纳出关于正整数n 的一个结论（不需证明）； (3）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，求：
1234
11234(1)n n
n n n n n n S C S C S C S C S C --+-+
+-.（本题满分16分）
25． 设数列{a n }是由正数组成的等比数列，公比为q ，S n 是其前n 项和． （1
1n S +；
（2）设31442,1555n n n n b a a a ++=++记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较q 2S n 和T n 的大小.
【证明】
（1）由题设知a 1>0，q >0． ………………………………………1分
(i)当q =1时，S n =na 1，于是 S n ·S n +2－2
1n S +=na 1·
(n +2)a 1－(n +1)221a =－21a <0， …3分 (ii)当q ≠1时，()111n n a q S q
-=
-，
于是S n ·S n +2－2
1+n S ()()
()
()
()
2
2221112
2
11111n n n a q q a q q q ++---=
-
--=210n a q -<． …………7分
由(i)和(ii)，得S n ·S n +2－21n S +<0．所以S n ·
S n +2<21n S +
1n S +． ……………8分
(2) 方法一：331442442,15551555n n n n n n n b a a a a q a q a ++=++=++ …………11分
T n =3113442442()15551555k k k n
n
k n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑， T n －q 2S n =32(415126)15
n
S q q q -++， …………………………………13分 ＝
22(4(2)(2)2)15
n
S q q q -+-+≥2>0， …………………………………15分 所以T n >q 2S ． …………………………………………………………16分 方法二：T n =3113442442()15551555k k k n
n
k n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑， ………11分
由
2
44215
55n
n T q q S q =++， …………………………………………………13分 因为0q >
，所以44155q q +≥（当且仅当44155q q =
，即q =时取“=”
号），
215>，
所以21n n
T q S >，即T n
>q 2
S . ……………………………16分
26．已知各项均为正数的数列{}n a 中，n S a ,11=是数列{}n a 的前n 项和，对任意
*∈N n ，有 )(222
R p p pa pa S n n n ∈-+=
（1）求常数p 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）记n n
n n S b 23
4⋅+=
，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

27．已知数列}{n a 中，11=a ，且1
1+=+n n
n a a a ，求数列的通项公式；
28．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，n n S b 1=
，且21
33=b a ，S 3+ S 5
=21.
（1）求数列｛b n ｝的通项公式；
（2）求b 1+b 2 +…+ b n .
29．幂函数y = x 的图象上的点 P n (t n 2,t n )（n = 1,2,……）与 x 轴正半轴上的点 Q n 及原点 O 构成一系列正△P n Q n －1Q n （Q 0与O 重合），记 a n = | Q n Q n －1 | (1）求 a 1的值；
(2）求数列 {a n } 的通项公式 a n ;
(3）设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，若对于任意的实数 λ∈[0,1]，总存在自然数 k ，当 n ≥k 时，3S n －3n + 2≥(1－λ) (3a n －1) 恒成立，求 k 的最小值
.
x
30．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2
1(2),n n n S S a n +=+为正整数，
1(4)n n b n a ⎡⎤=⎢⎥+⎣
⎦（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）.
(Ⅰ）试证数列11n S ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
为等差数列，并求n a ；(4分)
(Ⅱ）求数列{}n b 的前n 和n T ；(6分) (Ⅲ）求证：1
3n
i i a i =+∑1
5<.(6分)。