人教版高中数学选修2-3《2.4 正态分布》
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P(a X b) , ( x)dx
a b
知识回顾
新课引入
新课讲解
典型题型
课堂小结
课后拓展
2.正态分布的定义: 如果对于任何实数 a b , 随机变量X满足:
P(a X b) , ( x)dx
a
2 X ～ N ( , ) 。正态 则称X服从正态分布,记作
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定， σ越小,曲线越“瘦高 ”,表示总体的分布越集中； σ越大,曲线越“矮胖”,表示总 体的分布越分散。
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例2：设随机变量 X～N (2, 2 ) ，且 P(2 X 4) 0.3， 则 P( X 0) 0.2
猜数游戏
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典型题型
课堂小结
课后拓展
出身显赫 聪颖过人 涉猎广泛
著书 15种，撰写各种学术论文 3 岁学会签名； 外祖父是一位诗人、医生、进化 220 篇，涉猎范围包括地理、天 论理论家； 4 岁能写诗； 文、物理、人类学、统计学、医 父亲是位银行家； 6 岁精熟《伊利亚特》和《奥德 学、心理学、遗传学、优生学、 著名生物学家达尔文是表兄弟。 赛》； 指纹学等，是一位百科全书式的 7 岁能按自己的方法对昆虫、矿 学者。 物标本进行分类。
计算机模拟试验
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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典型题型
课堂小结
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1.这条钟形曲线的解析式为：
1 ， ( x) e 2 πσ ( x )2 2σ 2
Y
，x (,)
0
X
其中的实数μ、σ(σ>0)是参数，称它的图象 为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 问题6：正态曲线的解析式有什么特点？如何从 中找到μ和σ？ 类指数函数
弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton） （1822－1911）
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典型题型
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相互平行 相互错开 有空隙 让一个小球从高 尔顿板上方的通道口 落下，小球在下落的 过程中与层层小木块 碰撞，最后落入高尔 顿板下方的某一球槽 内。
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问题7：球槽换成水平坐标轴，用X表示小球与 坐标轴接触时的坐标，那么X还是一个离散型 随机变量吗？它落在区间 ( a, b] 上的概率是多 少？ 连续型随机变量
我们用直线x=a，x=b，y=0以及 曲线 , ( x)所围成的曲边梯 形的面积表示它落在 ( a, b] 上的 概率：
课堂小结
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问题4：在投放小球之前，你能知道这个小球落 在哪个球槽中吗？ 显然不能。 因为小球到底落入 哪个球槽内，是很 多次与小木块随机 碰撞结果的叠加。
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问题5：能用一个离散型随机变量来描述高尔顿 板这个随机试验吗？ 以球槽的编号为 横坐标，以小球落入 各个球槽内的频率值 为纵坐标，可以画出 频率分布直方图。
系数和指数的分母中均有σ， 而μ仅出现在指数的分子里
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例1：下列函数是正态分布函数的是( B ).
1 A. f ( x) e 2 1 C. f ( x) e 2 2
( x )2 2
2 B. f ( x) e 2 1 D. f ( x) e 2
x2 2
( x 1) 2 4
x2 2
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练习1：指出下列正态分布函数的μ，σ分别 是什么.
1 (1). f ( x) e 2
( x 1) 2 2
， －1， 1 ；
1 (2). f ( x) e 8
x2 8
， 0 ， 2 ；
b
分布由参数μ、σ唯一确定：μ是反映随机变 量取值的平均水平，可以用均值去估计；σ是 衡量随机变量总体波动大小，可以用标准差去 估计。
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问题8：在实际生活中还有哪些随机现象服从 或近似服从正态分布？ 零件的尺寸；农作物的产量；小麦的穗 长、株高；测量误差；射击目标的水平或偏 差；某地每年同一月份的平均气温、降雨量 等，一般都服从或近似服从正态分布. 经验表明：一个随机变量如果是众多的，互 不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之 和，它就服从或近似服从正态分布。
七校联考
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问题9：结合正态曲线解析式，思考如下问题： （1）曲线的图像会在x轴下方吗？ 不会 （2）正太曲线是对称图形吗？ 关于x=μ对称 （3）正太曲线有最值吗？ 当x=μ时，有最大值 （4）正太曲线与x轴之间的面积是多少？ 曲线与x轴之间的面积是1 问题10：μ与σ对正态曲线有什么影响？
探究
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3.正态曲线的特点:
(1)非负性：曲线在x轴的上方,与x轴不相交； (2)对称性：曲线是单峰的，它关于直线 x=μ对称; (3)最值性：在直线 x=μ的左边,曲线是上升的;在直线x=μ的 右边,曲线是下降的；在x=μ处达到最大值; (4)定值性: 曲线与x轴之间的面积为1;
练习2：在某项测量中，测量结果 X 服从正态 2 X ～ N ( 1 , ) ．若 X 在(0，1)内取值的概率 分布 为0.4， 则 X在 ( O，2)内取值的概率 0.8 为： .
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2.4 正态分布
高二数学 选修2-3
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问题3：除了离散型随机变量还有其他类型的随 机变量吗？如果有，那么它的概率分布规律用 什么来描述呢？ 猜数游戏： 每个同学在区间[0，2]上任取一个实数， 看看哪个同学与老师有心灵“感应”（误差最 小）。 如果随机变量可以取某一区间的一切值， 这样的随机变量称为连续型随机变量。它的 概率分布规律用总体密度曲线来描述。
a b
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2.正态分布的定义: 如果对于任何实数 a b , 随机变量X满足:
P(a X b) , ( x)dx
a
2 X ～ N ( , ) 。正态 则称X服从正态分布,记作
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定， σ越小,曲线越“瘦高 ”,表示总体的分布越集中； σ越大,曲线越“矮胖”,表示总 体的分布越分散。
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例2：设随机变量 X～N (2, 2 ) ，且 P(2 X 4) 0.3， 则 P( X 0) 0.2
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出身显赫 聪颖过人 涉猎广泛
著书 15种，撰写各种学术论文 3 岁学会签名； 外祖父是一位诗人、医生、进化 220 篇，涉猎范围包括地理、天 论理论家； 4 岁能写诗； 文、物理、人类学、统计学、医 父亲是位银行家； 6 岁精熟《伊利亚特》和《奥德 学、心理学、遗传学、优生学、 著名生物学家达尔文是表兄弟。 赛》； 指纹学等，是一位百科全书式的 7 岁能按自己的方法对昆虫、矿 学者。 物标本进行分类。
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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1.这条钟形曲线的解析式为：
1 ， ( x) e 2 πσ ( x )2 2σ 2
Y
，x (,)
0
X
其中的实数μ、σ(σ>0)是参数，称它的图象 为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 问题6：正态曲线的解析式有什么特点？如何从 中找到μ和σ？ 类指数函数
弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton） （1822－1911）
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相互平行 相互错开 有空隙 让一个小球从高 尔顿板上方的通道口 落下，小球在下落的 过程中与层层小木块 碰撞，最后落入高尔 顿板下方的某一球槽 内。
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问题7：球槽换成水平坐标轴，用X表示小球与 坐标轴接触时的坐标，那么X还是一个离散型 随机变量吗？它落在区间 ( a, b] 上的概率是多 少？ 连续型随机变量
我们用直线x=a，x=b，y=0以及 曲线 , ( x)所围成的曲边梯 形的面积表示它落在 ( a, b] 上的 概率：
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问题4：在投放小球之前，你能知道这个小球落 在哪个球槽中吗？ 显然不能。 因为小球到底落入 哪个球槽内，是很 多次与小木块随机 碰撞结果的叠加。
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问题5：能用一个离散型随机变量来描述高尔顿 板这个随机试验吗？ 以球槽的编号为 横坐标，以小球落入 各个球槽内的频率值 为纵坐标，可以画出 频率分布直方图。
系数和指数的分母中均有σ， 而μ仅出现在指数的分子里
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例1：下列函数是正态分布函数的是( B ).
1 A. f ( x) e 2 1 C. f ( x) e 2 2
( x )2 2
2 B. f ( x) e 2 1 D. f ( x) e 2
x2 2
( x 1) 2 4
x2 2
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练习1：指出下列正态分布函数的μ，σ分别 是什么.
1 (1). f ( x) e 2
( x 1) 2 2
， －1， 1 ；
1 (2). f ( x) e 8
x2 8
， 0 ， 2 ；
b
分布由参数μ、σ唯一确定：μ是反映随机变 量取值的平均水平，可以用均值去估计；σ是 衡量随机变量总体波动大小，可以用标准差去 估计。
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问题8：在实际生活中还有哪些随机现象服从 或近似服从正态分布？ 零件的尺寸；农作物的产量；小麦的穗 长、株高；测量误差；射击目标的水平或偏 差；某地每年同一月份的平均气温、降雨量 等，一般都服从或近似服从正态分布. 经验表明：一个随机变量如果是众多的，互 不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之 和，它就服从或近似服从正态分布。
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问题9：结合正态曲线解析式，思考如下问题： （1）曲线的图像会在x轴下方吗？ 不会 （2）正太曲线是对称图形吗？ 关于x=μ对称 （3）正太曲线有最值吗？ 当x=μ时，有最大值 （4）正太曲线与x轴之间的面积是多少？ 曲线与x轴之间的面积是1 问题10：μ与σ对正态曲线有什么影响？
探究
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3.正态曲线的特点:
(1)非负性：曲线在x轴的上方,与x轴不相交； (2)对称性：曲线是单峰的，它关于直线 x=μ对称; (3)最值性：在直线 x=μ的左边,曲线是上升的;在直线x=μ的 右边,曲线是下降的；在x=μ处达到最大值; (4)定值性: 曲线与x轴之间的面积为1;
练习2：在某项测量中，测量结果 X 服从正态 2 X ～ N ( 1 , ) ．若 X 在(0，1)内取值的概率 分布 为0.4， 则 X在 ( O，2)内取值的概率 0.8 为： .
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2.4 正态分布
高二数学 选修2-3
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问题3：除了离散型随机变量还有其他类型的随 机变量吗？如果有，那么它的概率分布规律用 什么来描述呢？ 猜数游戏： 每个同学在区间[0，2]上任取一个实数， 看看哪个同学与老师有心灵“感应”（误差最 小）。 如果随机变量可以取某一区间的一切值， 这样的随机变量称为连续型随机变量。它的 概率分布规律用总体密度曲线来描述。