新版高中数学北师大版必修1课件3.5.1-3.5.2对数函数的概念、对数函数y=log2x的图像和性质

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一
二
三
二、反函数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)和指数函数y= ax (a>0,a≠1)互为反函
数.
【做一做 2】
若函数 f(x)=
1 3
������
的反函数是 y=g(x),则
g(3)=( )
A.217
B.27
C.-1
D.1
解析:由已知得 g(x)=log1x,于是 g(3)=log13=-1.
-2-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
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一
二
三
一、对数函数的概念
一般地,函数 y=logax (a>0,a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函 数的定义域是(0,+∞).a叫作对数函数的底数.特别地,我们称以10为
底的对数函数y=lg x为常用对数函数;称以无理数e为底的对数函数
⑥y=12log3x 中,系数是12,而不是 1,故不是对数函数.
答案:(1)2 (2)①
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1.对数函数是一个形式定义:
2.求对数函数的解析式时,主要采用待定系数法求出底数a的值, 即得其解析式.
y=ln x为自然对数函数.
【做一做1】 若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数
a=
.
解析:由a2-a+1=1,解得a=0,1.
又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1.
答案:1
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当堂检测问题
【例2】 若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图像
经过点( ,a),则f(x)等于( )
√������ A.log2x
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学习目标
思维脉络
1.理解对数函数的概念,会判断
一个函数是否是对数函数.
2.了解指数函数 y=ax 与对数函
数 y=logax 互为反函数. 3.掌握函数 y=log2x 的图像与性 质.
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对数函数的概念
【例1】 (1)若对数函数f(x)的图像经过点(4,-1),则
f
1 16
=
;
(2)下列函数中,是对数函数的是
.(填序号)
①⑥yy==l12oglo4xg;3②x.y=log2(3x);③y=logx2;④y=log3(x-1);⑤y=log2x2;
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变式训练1(1)下列函数是对数函数的是( )
A.y=loga(2x)
B.y=lg(10x)
C.y=loga(x2+x) D.y=ln x
(2)已知对数函数 y=f(x)过点(16,2),求 f
∴a的取值范围为(2,+∞).
(2)∵2≤x≤14,
∴3≤2x-1≤27,
∴log23≤log2(2x-1)≤log227. ∴函数y=log2(2x-1)在x∈[2,14]上的最小值为log23,
最大值为log227.
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对于含有偶次根式中被开方式为对数式时,要注意被开方的代数 式为非负,还要顾及对数式中本身的真数大于0这一隐含信息,错解 中显然忘记了真数大于0这一隐含条件.
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2.若函数y=f(x)的反函数图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点 () A.(5,1) B.(1,5) C.(1,1) D.(5,5) 解析:由于原函数与反函数的图像关于直线y=x对称,而点(1,5)关于 直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必经过点(5,1). 答案:A
1 2
及 f(2lg 2).
(1)解析:根据对数函数的定义可知仅有D满足对数函数的标准形.
答案:D
(2)解:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则2=loga16,故a=4,即y=log4x.
因此 f
1 2
=log412=-12,
f(2lg 2)=log42lg 2=lg 2·log42=lg22.
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3.函数y=|log2(x+1)|的图像是( )
对数函数y=log2x的性质较为简单,研究由y=log2x的图像变换得 到的函数的图像与性质时,通常是先通过图像变换得到函数图像, 再结合图像研究其性质.
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3
3
答案:C
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三、函数y=log2x的图像与性质
图像
图像特征
性质
过点(1,0)
x=1 时,y=0
函数图像都在 y 轴右边
零和负数没有对数
当 x>1 时,图像位于 x 轴上 方;当 0<x<1 时,图像位于 x 轴下方
即函数f(x)的值域为(1,9].
故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]. 答案:B
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对数函数y=log2x的图像与性质 【例3】分别画出函数y=|log2x|和y=log2|x|的图像,并分析它们的 定义域、值域、奇偶性、单调性.
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忽略对数函数真数的范围而致误
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【典例】 求函数 y= -log2(1-������)的定义域和值域.
错解:由题意可得log2(1-x)≤0, 即log2(1-x)≤log21,
∴1-x≤1,解得x≥0.
又log2(1-x)≤0,∴-log2(1-x)≥0,∴y≥0, ∴函数的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞).
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)函数 y=loga11+-������������ (a>0,且a≠1)是对数函数. (
)
(2)函数y=log2x是非奇非偶函数. ( )
(3)若函数y=logax的图像过点(m,n),则函数y=ax的图像定过(n,m).
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1.下列函数中,是对数函数的是( )
A.y=log2x-1
C.y= log1x 答案:C 2
B.y=logx3x D.y=3log5x
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B.log1x
2
C.21������
D.x2
解析:由题意,知 f(x)=logax.∵f(x)的图像过点(√������,a), ∴a=loga√������.∴a=12.∴f(x)=log12x.故选 B.
答案:B
函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1);函数 y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是y=logax(a>0,且a≠1).
()
(4)函数y=log2x是R上的增函数. ( ) (5)互为反函数的函数的图像关于直线y=x对称. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
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正解:由题意知log2(1-x)≤0,即log2(1-x)≤log21,
∴ 1-������ > 0,解得 0≤x<1.
1-������ ≤ 1,
又log2(1-x)≤0,
∴-log2(1-x)≥0,∴y≥0,
∴函数的定义域为[0,1),值域为[0,+∞).
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解析:(1)设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),
依题意有 loga4=-1,故 a=14,
这时 f(x)=log1x,
4
于是 f
1 16
=log1
4
116=2.
(2)①y=log4x符合对数函数定义,是对数函数; ②y=log2(3x)中,真数是3x,不是单个自变量x,故不是对数函数; ③y=logx2中,底数是自变量x,不是常数,故不是对数函数; ④y=log3(x-1)中,真数是x-1,不是自变量x,故不是对数函数; ⑤y=log2x2中,真数是x2,而不是自变量x,故不是对数函数;
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变式训练2函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为( )
A.(0,+∞) B.(1,9]
C.(0,1)
D.[9,+∞)
解析:∵ 0<x≤2,∴1<3x≤9,
当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0
图像是上升的
y=log2x 在(0,+∞)上是 增函数
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二
三
【(解2)做析函一:数(1做)f(∵x3y)】==lloo(gg1122)x���函���在的数[2定y,8=义]l上o域g为2x是在增x函∈数[2,,8]上的值. 域为
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变式训练3根据函数f(x)=log2x的图像和性质求解以下问题: (1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;
(2)求y=log2(2x-1)在x∈[2,14]上的最值. 解:函数y=log2x的图像如图所示. (1)函数y=log2x是增函数,若f(a)>f(2), 即log2a>log22,则a>2.
.
∴ymin=log22=1,ymax=log28=3,
∴该函数的值域为[1,3].
(2)要使函数有意义,应满足log2x≠0,且x>0,因此x>0,且x≠1,即函数 f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1}.
答案:(1)[1,3] (2){x|x>0,且x≠1}
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5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
解:
(1)对于函数 y=|log2x|,
由于
y=|log2x|=
-log2������,0 < ������ log2������,������ > 1,
≤
1,因此其图像如图所示.其定义
域为(0,+∞),值域为[0,+∞),是非奇非偶函数,在(0,1]上是减少的,在
(1,+∞)上是增加的.
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5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
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(2)对于函数
y=log2|x|,由于
y=log2|x|=
log2������,������ > log2(-������),������
0, 因此其图 < 0,
像如图所示.
其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,是偶函数,在(-∞,0)上是减少 的,在(0,+∞)上是增加的.