北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除第6节完全平方公式课后练习

第一章整式的乘除第6节完全平方公式课后练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考生
__________ 评卷人
得分
一、单选题
1．4张长为m ，宽为n （m ＞n ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m +n ）的正方形，图中空白部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2，若3S 1＝2S 2，则m ，n 满足的关系是（ ）
A ．m ＝4.5n
B ．m ＝4n
C ．m ＝3.5n
D ．m ＝3n
2．下列运算正确的是（ ） A ．(m 2)3=m 6
B ．(mn )3=mn 3
C ．(m +n )2＝m 2+n 2
D ．m 6÷m 2=m 3
3．如果229(3)x bx x -+=-，则b 的值为（ ） A ．-3
B ．3
C ．6
D ．-6
4．我国宋代数学家杨辉发现了()n
a b +（0n =，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，()8
a b +展开式的系数和是（ ） A ．64 B ．128
C ．256
D ．612
评卷人 得分
二、填空题 5．已知：2a b +=，3
4
ab =，则22a b +=_________，a b -=______．
6
．如图，长方形ABCD
的周长为24，以它的四条边为边长向外作正方形，如果这四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD 的面积为________．
7．已知（x ﹣2020）2+（x ﹣2022）2＝18，则（x ﹣2021）2的值是___． 8．已知：x +y ＝12，则代数式3x 2+y 2的最小值为___． 评卷人 得分
三、解答题 9．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小
正方形叠合部分（阴影）面积为2S ． （1）用含a ，b 的代数式分别表示1S 、2S ； （2）若15a b +=，20ab =，求12S S +的值；
（3）当1240S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ．
10．化简求值：()()()()2
2322x y x x y x y x y +-+++-，其中1
4
x =，2y =．
11．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1
）①计算：S甲＝，S乙＝；
①用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是（用含m的代数式表示）；
①小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
12．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值．
13．如图，有长为m ，宽为n 的长方形卡片()A m
n ，边长为m 的正方形卡片B ，边
长为n 的正方形卡片C ，将卡片C 按如图1放置于卡片A 上，其未叠合部分（阴影）面积为1S ，将卡片A 按如图2放置于卡片B 上，其未叠合部分（阴影）面积为2S ．
（1）1S =________，2S =________；（用含m 、n 的代数式表示） （2）若1218S S +=，则图3中阴影部分的面积
3S =________； （3）若6m n -=，10mn =，求图4中阴影部分的面积4S ．
14．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(直接用含m ，n 的代数式表示) 方法1：______ 方法2：______
（2）根据()1中结论，请你写出下列三个代数式之间的等量关系；代数式：2()m n +，2()m n -，mn _________________________
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知8a b +=，7ab =，求a b -和22a b -的值．
15．观察与计算： 152＝225＝1×2×100+25； 252＝625＝2×3×100+25； 352＝1225＝3×4×100+25； …
猜想与计算：
852＝_________，1052＝ ；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于 ； 说理：请你用整式的乘法的有关知识说明你发现的结论的正确性． （提示：可以用10a +5表示末位数字是5的数）
16．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉高新区某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与农耕劳作。

如图，现计划利用校园围墙的一段MN （
MN 长25m ）及40m 长的篱笆围成一个长方形菜园ABCD ．设AB 的长为
()m 7.520<<x x ．
（1）BC 的长度为______m （用含x 的代数式表示），长方形菜园的面积()2m S 与AB 的长()m x 的关系式为S =______；
（2）完成下表：（在横线上填上正确的数据）
AB 的长(m)x (8)
9 10 11 12 13 14 …
菜园的面积()
2m S …
192 _____ _____ 198 _____ 182 168 …
（3）通过探究，小明发现长方形菜园的面积()2m S 与AB 的长(m)x 之间的关系式也可写成()2
2S x a n =--+的形式，请求出a 、n 的值及菜园面积S 的最大值．
17．阅读下列材料：定义任意两个实数a ，b ，按规则p ＝ab ﹣a +b 扩充得到一个新数p ，称所得的新数p 为a ，b 的“衍生数”．
（1）若a ＝2，b ＝﹣3，则a ，b 的“衍生数”p ＝ ． （2）若a ＝﹣m ﹣3，b ＝m ，求a ，b 的“衍生数”p 的最大值．
18．利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，
所以a2+b2+2ab＝9．
所以a2+b2+2×1＝9．
得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x﹣y＝4，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（2022﹣x）（x﹣2020）＝﹣2021，求（2022﹣x）2+（x﹣2020）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为直角边向外作等腰直角三角形，其中①ACD＝①BCE＝90°，若AB＝6，S△ACD+S△BCE＝12，求①ACE的面积．
19．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2作适当的变形，可以解决很多的数学问题．请你观察、思考并解决下列问题：
（1）若m+n＝7，m2+n2＝25，且m＜n，求m﹣n的值；
（2）如图，长方形ABCD的周长是160米，以BC、CD为边分别向外作正方形BCMN、正方形DCEF，若这两块正方形的面积和为4000平方米，求长方形ABCD的面积．
20
．已知x y a +=，xy b =，试用a ，b 表示下列各式：
（1）22
x y +；
（2）()2
x y -；
（3）若6m n p +-=-，()2m p n -⋅=-，求()2
2m p n -+的值．
21．有两类正方形A ，B ，其边长分别为a ，b ．现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A ，B 的面积之和为_______
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a +b ）和（a +3b ）的长有形（不重不漏），除用去若干个正方形A ，B 外，还需要以a ，b 为边的长方形______ 个． （3）三个正方形A 和两个正方形B 如图丙摆放，求阴影部分的面积．
22．阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题． 例：计算（a ﹣2b ＋3）（a ＋2b ﹣3）
＝[a ﹣（2b ﹣3）][a ＋（2b ﹣3）]…………① ＝a 2﹣（2b ﹣3）2…………① ＝a 2﹣4b 2＋12b ﹣9…………①
（1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→①的变形依据是 ，①→①的变形依据是 ．（填整式乘法公式的名称）
（2）用此方法计算：（a ＋2x ﹣y ﹣b ）（a ﹣2x ＋y ﹣b ）．
23．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成
²²a b +（,a b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：
因为221031=+，所以10是“完美数”． 解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）．
①29； ①48： ①13： ①28． 探究问题：
（2）若²48a a -+可配方成()2
2a m n -+（,m n 为常数），则mn 的值________； （3）已知22458S a ab b b k =++-+（,a b 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由． 拓展应用：
（4）已知实数,a b 满足2530a a b -++-=，求a b +的最小值．
24．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形
()a b >．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可
表示为：a 2－b 2，图2中阴影部分面积可表示为(a +b )(a -b )，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a 2－b 2=(a +b )(a －b )；
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1：，方法2：；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式
是；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式：．
25．阅读理解并填空：
（1）为了求代数式223
x x
++的值，我们必须知道x的值．若1
x=，则这个代数式的值为6；若2
x=，则这个代数式的值为_________；可见，这个代数式的值因x的取值不同而_________（填“变化”或“不变”），尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．
（2）数学书课本里“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题．
例如：()22223212(1)2x x x x x ++=+++=++，因为2(1)x +是非负数，所以，这个代
数式223x x ++，当x 的值是_______时；有最小值为_________：尝试并探究解答（要求写出解答过程）
（3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x 的值？
①242x x --；
①21410x x ；
（4）求代数式224618a b a b +-++有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a ，b 的值？
（5）求代数式22121x x 有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x 的值？
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先用含有m 、n 的代数式分别表示S 1=2mn +2n 2，S 2=m 2-n 2，再根据 S 1=S 2，整理可得结论．
【详解】
解：S 1＝12n （m +n ）×4＝2n （m +n ），
S 2＝（m +n ）2﹣S 1＝（m +n ）2﹣2n （m +n ）＝m 2+2mn +n 2﹣2mn ﹣2n 2＝m 2﹣n 2， ①3S 1＝2S 2，
①6n （m +n ）＝2（m 2﹣n 2），
①3n （m +n ）＝m 2﹣n 2，
①3n （m +n ）＝（m ﹣n ）（m +n ），
①m +n ＞0，
①3n ＝m ﹣n ，
①m ＝4n ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
2．A
【解析】
【分析】
根据幂的乘方,积的乘方,完全平方公式,同底数幂的除法法则计算判断即可．
【详解】
①236()m m =，
①A 选项正确；
①333()mn m n =，
①B 选项不正确；
①222()2m n m mn n +=++，
①C选项不正确；
①624
÷=，
m m m
①D选项不正确；
故选A．
【点睛】
本题考查了幂的乘方,积的乘方,完全平方公式,同底数幂的除法，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
把完全平方公式展开对比即可；
【详解】
①22
x bx x
-+=-，
9(3)
①22
-+=-+，
969
x bx x x
b=；
①6
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，准确判断是解题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）8所有项的系数和为28，即可得出答案．
【详解】
解：由“杨辉三角”的规律可知，
()0
+展开式中所有项的系数和为1，
a b
()1
+展开式中所有项的系数和为2，
a b
()2
+展开式中所有项的系数和为4，
a b
()3
+展开式中所有项的系数和为8，
a b
……
()n a b +展开式中所有项的系数和为2n ，
()8
a b +展开式中所有项的系数和为82256=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律．
5． 52
±1 【解析】
【分析】
利用完全平方公式，灵活变形求解即可．
【详解】
①222()2a b a b ab +=+-，2a b +=，34ab =
， ①22a b +=23224-⨯
=52
， 故答案为：52； ①22()()4a b a b ab -=+-，2a b +=，34
ab =
， ①2()a b -=23244-⨯=1，
①a b -=±1，
故答案为：±1．
【点睛】 本题考查了完全平方公式的应用，熟练进行公式变形是解题的关键．
6．32
【解析】
【分析】
根据长方形与正方形的性质列式，根据完全平方公式求解即可；
【详解】
①四边形ABCD 是长方形，
①AB CD =，AD BC =，
设AB CD x ==，AD BC y ==，
①四个正方形的面积和为160，
①2222160x y +=，
①2280x y +=，
①长方形ABCD 的周长为24，
①124122
x y +=⨯=， ①()2
212x y +=，
①222144x y xy ++=，
①802144xy +=，
①264xy =，
①32xy =；
①长方形ABCD 的面积为32．
故答案是32．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确计算是解题的关键．
7．8
【解析】
【分析】
根据题意原式可化为，[（x ﹣2021）+1]2+[（x ﹣2021）﹣1]2＝18，再应用完全平方公式可化为（x ﹣2021）2+2（x ﹣2021）+1+（x ﹣2021）2﹣2（x ﹣2021）+1＝18，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．
【详解】
解：①（x ﹣2020）2+（x ﹣2022）2＝18
①[（x ﹣2021）+1]2+[（x ﹣2021）﹣1]2＝18，
①（x ﹣2021）2+2（x ﹣2021）+1+（x ﹣2021）2﹣2（x ﹣2021）+1＝18，
①2（x ﹣2021）2+2＝18，
（x ﹣2021）2＝8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
8．108
【解析】
【分析】
根据题意把y =12-x 代入式子中化简求最值即可．
【详解】
解：由题意可得：y =12-x ，代入式子3x 2+y 2中，
3x 2+y 2
=3x 2+（12-x ）2
=3x 2+144-24x +x 2
=4x 2-24x +144
=（2x -6）2+108≥108，
①3x 2+y 2的最小值为108．
故答案为：108．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
9．（1）221S a b =﹣，222S b ab =-；（2）165；（3）20 【解析】
【分析】
（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a 、b 的代数式分别表示S 1、S 2； （2）根据S 1+S 2=a 2-b 2+2b 2-ab =a 2+b 2-ab ，将a +b =15，ab =20代入进行计算即可； （3）根据S 3=1
2（a 2+b 2-ab ），S 1+S 2=a 2+b 2-ab =40，即可得到阴影部分的面积S 3．
【详解】
解：（1）由图可得，221S a b =-，
()()()2222=------=-S a a a b b a b b a b b ab ；
（2）22222122+=-+-=+-S S a b b ab a b ab ，
①15a b +=，20ab =，
①()2
22123225320165S S a b ab a b ab +=+-=+-=-⨯=；
（3）由图可得，()()222223111222S a b b a b a a b ab =+-+-=+-， ①221240S S a b ab +=+-=，
①31
24020S =⨯=． 【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
10．243xy y --，14-．
【解析】
【分析】
先运用平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式进行化简，合并同类项后，代入求
值．
【详解】
①()()()()2
2322x y x x y x y x y +-+++-
=222222264x xy y x xy x y ++--+-
=243xy y --，
当14x =，2y =时， 原式=214()2322124
-⨯⨯-⨯=-- =14-．
【点睛】
本题考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练运用公式进行化简是解题的关键．
11．（1）①m 2+12m +27，m 2+10m +24；①＞；（2）①m +5；①正确，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）①根据长方形的面积公式以及多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
①通过作差法比较大小．
（2）①根据一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，求出正方形的边长．①先用含有m的代数式表示出S正与S乙的差，进而判断S正与S乙的差与m的关系．【详解】
解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
①①S甲﹣S乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
①S甲＞S乙．
故答案为：＞．
（2）①①C乙＝2（m+6+m+4）＝4m+20，
①C正＝4m+20．
①该正方形的边长为420
5
4
m
m
+
=+．
故答案为：m+5．
①正确，理由如下：
①S正()22
51025
m m m
=+=++，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
①S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
①S正与S乙的差是1，故与m无关．
【点睛】
本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键．
12．（1）S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）S1+S2＝40．
【解析】
【分析】
（1）根据正方形面积之间的关系，即可用含a，b的代数式表示1S，2S，
（2）根据22222122+=-+-=+-S S a b b ab a b ab ，直接将条件代入即可．
【详解】
解：（1）由图1可得221S a b =-，
222()()()2S a a a b b a b b a b b ab =------=-，
（2）22222122S S a b b ab a b ab +=-+-=+-，
212()3S S a b ab +∴+=-，
10a b +=，20ab =，
2121032040S S ∴+=-⨯=．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式的变形是解答本题的关键．
13．（1）mn -n ²，m ²-mn ；（2）18；（3）33
【解析】
【分析】
（1）如图1，阴影面积1S =卡面A 面积-卡片
C 面积； 如图2，阴影面积2S =卡片B 面积-卡片A 面积；
（2）如图3，阴影面积3S =卡片B 面积-卡片C 面积22m n =-，而由已知1218S S +=，可解出221218S S m n =+=-，即可依此解答；
（3）由于已知若6m n -=，10mn =，有代数式m n -，mn ，所以在运算4S 过程中出现：22211()[()3]22
m n mn m n mn ++=-+，要转化成m n -，mn ，才能用已知条件的数值代入． 【详解】
解：卡片A 面积mn =，卡片B 面积2m =，卡片C 面积2n =，
（1）21S A C mn n =-=-，
22S B A m mn =-=-，
故答案为：2mn n -，2m mn -；
（2）21S mn n =-，22S m mn =-，
2212()()S S mn n m mn ∴+=-+-，
2212S S m n +=-， 1
218S S +=，
2218m n ∴-=
22318S B C m n ∴=-=-=， 故答案为：18，
（3）11()22
ABC S BC AC m m n ∆=⋅=+， ()()11222ACDE S n m n n n n m =++=+梯形， 1()2
BDE S n m n ∆=+，
图4中阴影部分的面积4BDE ABDE S S S ∆=-四边形 ()ABC BDE ACDE S S S ∆∆=+-梯形 111()(2)()222m m n n n m n m n =+++-+ 22111222
m n mn =++ 221()2
m n mn =++ 21[()3]2
m n mn =-+ 6m n -=，10mn =，
241[()3]2
S m n mn ∴=-+ 21(6310)2
=+⨯ 33=，
答：图4中阴影部分的面积4S 是33．
【点睛】
本题考查完全平方公式的运用，（1）（2）常规性问题，（3）是本题的难点，首先用分割法求出阴影面积，整块面积减去直角三角形面积；其次是m²+n²+mn=（m-n）²+3mn的理解并运算．
14．(1) （m-n）2，（m+n）2-4mn．(2) （m-n）2=（m+n）2-4mn．(3) ±6，±48．
【解析】
【分析】
（1）方法一、求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；
方法二、根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案；
（2）根据都表示阴影部分的面积，即可得出等式；
（3）根据等式（a-b）2=（a+b）2-4ab和平方差公式求出即可．
【详解】
解：（1）阴影部分是正方形，正方形的边长是m-n，即阴影部分的面积是（m-n）2，
又①阴影部分的面积S=（m+n）2-4mn，
故答案为：（m-n）2，（m+n）2-4mn．
（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn，
故答案为：（m-n）2=（m+n）2-4mn．
（3）①a+b=8，ab=7，
①（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4×7=36，
①a-b=±6，
a2-b2=（a+b）（a-b）=±6×8=±48．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
15．猜想与计算：7225，11025；发现：去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；说理：证明见解析．
【解析】
【分析】
猜想与计算：根据所给的例子可以发现规律，进行计算即可得852和1052的值即可；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
说理：设末位数字的是5的数为10a+5，利用整式的乘法运算法则运算（10a+5）2，即可得出结果．
【详解】
解：猜想与计算：852＝8×9×100+25＝7225；1052＝10×11×100+25＝11025；
故答案为：7225，11025；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
故答案为：去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
说理：设末位数字的是5的数为10a+5，则：
（10a+5）2＝100a2+100a+25
＝100a（a+1）+25．
故以上计算正确．
【点睛】
本题主要考查有理数和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和因式分解的能力．
16．（1）（40-2x），-2x2+40x；（2）198，200，192；（3）a=10，n=200，面积S的最大值为200m2
【解析】
【分析】
（1）长方形面积公式：面积=长×宽，另外长方形菜园的面积S（m2）与AB的长x（m）的关系式要注意x的取值范围；
（2）分别代入x求解；
（3）把关系式利用完全平方公式变形，从而得出结论．
【详解】
解：（1）设AB的长为x m，
①BC=40-AB-CD=（40-2x）m，
①S=AB•BC=x（40-2x）=-2x2+40x，
故答案为：（40-2x），-2x2+40x；
（2）将x=9，10，12分别代入解析式S=-2x2+40x，
当x=9时，S=-2×92+40×9=198，
当x =10时，S =-2×102+40×10=200，
当x =12时，S =-2×122+40×12=192，
故答案为：198，200，192；
（3）①S =-2x 2+40x =-2（x 2-20x ）=-2（x -10）2+200≥200，
①a =10，n =200，
①当x =10时，S 有最大值，最大值为200m 2．
【点睛】
本题考查完全平方公式的应用，解题关键是将式子利用完全平方公式变形．
17．（1）﹣11；（2）
134
． 【解析】
【分析】
（1）根据“衍生数”的定义，直接算出p 即可；
（2）先根据“衍生数”求出p ，利用完全平方公式及非负数即可求解．
【详解】
解：（1）①p ＝ab ﹣a +b
＝2×（﹣3）﹣2+（﹣3）
＝﹣11，
①a ，b 的“衍生数”p 是﹣11，
故答案为：﹣11；
（2）p ()=33m m m m --+++
＝2=3m m --+ ()2=3m m -++
2
113=24m ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭， ①212m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥0， ①2
12m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤0，
①
2
113
24
m
⎛⎫
-++
⎪
⎝⎭
≤
13
4
，
①a，b的“衍生数”p的最大值为13
4
．
【点睛】
本题考查新定义的实数运算问题，解题的关键是熟练理解题意“衍生数”的定义，根据实数的运算方法即可求解．
18．（1）12；（2）4046；（3）3．
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式的变形计算求解；
（2）设2022﹣x=a，x﹣2020=b，然后利用完全平方公式的变形计算求解；
（3）设AC=m，BC=n，然后根据三角形面积公式以及完全平方公式计算求解．
【详解】
解：（1）①x﹣y=4，x2+y2=40，
①（x﹣y）2=16，
x2﹣2xy+y2=16，
又①x2+y2=40，
①40﹣2xy=16，
解得：xy=12；
即xy的值是12；
（2）设2022﹣x=a，x﹣2020=b，
①a+b=2，
又①（2022﹣x）（x﹣2020）=﹣2021，
①ab=﹣2021，
（2022﹣x）2+（x﹣2020）2
=（a+b）2﹣2ab
=22﹣2×（﹣2021）
=4+4042
=4046；
（3）设AC=m，BC=n，
由题意可得：AC+BC=AB，
①m+n=6，
又①以AC，BC为直角边向外作等腰直角三角形，其中①ACD=①BCE=90°，①AC CD m
==，BC=BE=n，
①S△ACD+S△BCE=1
2m2+1
2
n2=12，
①m2+n2=24，
①2mn=（m+n）2﹣（m2+n2），2mn=62﹣24＝12，
①mn=6，
①S△ACE=1
2AC•EC=1
2
mn=3，
即①ACE的面积为3．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．
19．（1）-1；（2）1200．
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式求出mn的值，再利用完全平方公式代入计算即可；
（2）设BA＝xm，AD＝ym，由周长可得x+y＝80，由两块正方形的面积和为4000平方米，x2+y2＝4000，求xy即可．
【详解】
解：（1）①（m+n）2＝m2+n2+2mn，m+n＝7，m2+n2＝25，
①72＝25+2mn，
①mn＝12，
①（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，mn＝12，m2+n2＝25，
①()2
m n
-＝25﹣2×12＝1，
又①m＜n，
①m﹣n＜0，
①m ﹣n ＝﹣1；
（2）设BA ＝xm ，AD ＝ym ，
①长方形ABCD 的周长是160米，
①2（x +y ）＝160，
即x +y ＝80，
又①两块正方形的面积和为4000平方米，
①x 2+y 2＝4000，
①()()
2222x y x y xy +-+=
()2180400012002
=-= 答：长方形ABCD 的面积为1200平方米．
【点睛】
本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方根解方程，掌握以上知识是解题的关键.
20．（1）a 2−2b ；（2）a 2−4b ；（3）40
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式即可求出答案；
（2）根据完全平方公式即可求出答案；
（3）根据()22m p n -+=()()2
2n p p n m m -⎡⎤⎣⎦-+-，然后代入求值即可求解．
【详解】
解：（1）①x y a +=，xy b =，
①22x y +＝（x ＋y ）2−2xy ＝a 2−2b ；
（2）①x y a +=，xy b =，
①()2x y -＝x 2＋y 2−2xy ═（x ＋y ）2−4xy ＝a 2−4b ；
（3）①6m n p +-=-，()2m p n -⋅=-，
①()22m p n -+=()()()()222622m p m p n n -=---+-⨯-⎡⎤⎣⎦=40．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式及其变形，本题属于基础题型．
21．（1）13；（2）7；（3）图丙的阴影部分面积为29．
【解析】
【分析】
（1）设正方形A ，B 的边长分别为a ，()b a b >，根据图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，列出方程求出22a b +即可；
（2）以a ，b 为边的长方形的面积为ab ，求出大长方形的面积，看里面有几个ab 即可； （3）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去5个小正方形的面积，根据
题中条件求出a b +，-a b 整体代入求解即可．
【详解】
解：（1）设正方形A ，B 的边长分别为a ，()b a b >，
由图1得2()1a b -=，由图2得222()12a b a b +--=，
得6ab =，2213a b +=，
故答案为：13；
（2）(2)(3)a b a b ++
22263a ab ab b =+++
22273a ab b =++， ∴需要以a ，b 为边的长方形7个， 故答案为：7；
（3）6ab =，2213a b +=，
22()()412425a b a b ab ∴+=-+=+=，
0a b +>，
5a b ∴+=，
2()1a b -=，
1a b ∴-=，
∴图3的阴影部分面积222(2)32S a b a b =+--
224a b ab =-+
()()4a b a b ab =+-+
29=．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查代数式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
22．（1）平方差公式，完全平方公式；（2）2222244a ab b x xy y -+-+-
【解析】
【分析】
(1)根据完全平方公式和平方差公式进行判断即可得到答案；
(2)先将原式变形再，利用平方差公式展开，最后利用完全平方公式展开即可.
【详解】
解：（1）()(22)33a b a b -++-
()()2323a b a b --+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦①
()2223a b =--②
224129a b b =-+-③ 由①到①是平方差公式，由①到①是完全平方公式
故答案为：平方差公式，完全平方公式；
（2）()(22)a x y b a x y b +---+-
[][](2)(()2)()a b x y a b x y -+---=-
22()(2)a b x y =---
2222(2)(44)a ab b x xy y =-+--+
2222244a ab b x xy y =-+-+-
【点睛】
本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握这两个知识进行求解. 23．（1）①①；（2）4±；（3）当16k =时，S 是完美数，理由见详解；（4）a b +的最小值为1-．
【解析】
（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
（4）利用配方法和非负数的性质求得a b +的最小值．
【详解】
解：（1）根据题意，
①222925452=+=+，22139432=+=+，48和28不能拆解为两数的平方和， ①“完美数”有29和13；
故答案为：①①；
（2）①22²
48444(2)4a a a a a -+=-++=-+， 又①()22
²48a a a m n -+=-+， ①2m =，2n
，
①4mn =±； 故答案为：4±；
（3）当16k =时，S 是完美数；
理由如下：
2245816S a ab b b =++-+
22244816a ab b b b =+++-+ 22(2)(4)a b b =++-；
①,a b 是整数，
①2+a b 和4b -也是整数，
①当16k =时，S 是完美数；
（4）根据题意，
①2530a a b -++-=，
①243a b a a +=-+，
①2441a b a a +=-+-，
①2(2)1a b a +=--，
①2
a-≥，
(2)0
①2
a--≥-，
(2)11
+的最小值为1-．
①a b
【点睛】
本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，配方法的应用，完全平方公式，解题的关键是仔细阅读材料理解分组分解的方法，难度不大．
24．（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1）
【解析】
【分析】
（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积；
（2）由阴影部分面积相等可得结果；
（3）直接根据（2）的结论代入求值即可；
（4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．【详解】
解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，
方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；
（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得：102-4×5=（a-b）2，
①（a-b）2=80；
（4）①原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），
①恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
25．（1）11，变化；（2）-1，2；（3）①有最小值-6，x=2；①有最大值59，x=7；（4）有最小值5，a=2，b=-3；（5）有最小值-17，x=3
【解析】
答案第20页，共20页 【分析】
（1）把x 的值代入计算即可．
（2）根据非负数的性质即可得出答案；
（3）①①先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （4）利用完全平方公式变形，根据非负数的性质即可得出答案；
（5）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】
解：（1）当x =1时，x 2+2x +3=1+2+3=6．
当x =2时，x 2+2x +3=4+4+3=11，
这个代数式的值因x 的取值不同而变化；
故答案为：11；变化；
（2）①x 2+2x +3=（x 2+2x +1）+2=（x +1）2+2，
①当x =-1时，这个代数式的值的最小值为2；
（3）①()2224244626x x x x x --=-+-=--，
①242x x --的最小值是-6，相应的x 的值是2；
①()2
22141014494910759x x x x x -++=-+-++=--+， ①-x 2+14x +10的最大值是59，相应的x 的值是7；
（4）224618a b a b +-++
=2244695a a b b -+++++
=()()222355a b -+++≥
①代数式224618a b a b +-++有最小值5，此时a =2，b =-3；
（5）根据题意得：
①2x 2-12x +1=2（x -3）2-17，
①代数式2x 2-12x +1的最小值是-17，相应的x 的值是3．
【点睛】
此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．。