第七章 非线性控制系统分析

x0>1 x0<1
x(t)

1
x0et x0 x0et
不稳定的平衡状态
小范围稳定的平衡状态 t
起始偏离小——系统可能稳定 起始偏离大——系统可能不稳定
2. 自激振荡 在没有外界周期变化信号的作用下，系统
内产非生线的性具二有阶固系定统振: 幅x和2频(1 率的x2)稳x 定x周0期运(动，0)
返
回
3. 频率响应
在正弦信号的作用下，输出常常有倍频 和分频等谐波分量。
7.1.3 非线性系统的分析与设计方法
1. 相平面法
相平面法是基于时域的一种图解分析方法
2. 描述函数法
本
节 返
描述函数法是基于频域的等效线性化的图
回
本 解分析方法，是线性理论中频率法的一种推广。
章
返
回
7.4 描述函数法
常用的分析非线性系统的谐方波法线有性两化 种： 描述非函线数性法特性的描述函数 相典平型面非法线性特性的描述函数
改变线性部分的参数 或对线性部分进行校正
改变非线性特性 非线性特性的应用
本 章 返 回
■ 改变线性部分的参数或对线性部分进行校正
本 节 返
W (s)s[s(T m s K 1 m )( T K s1 m )(T s1 )]
回
本 章 返 回
■ 改变非线性特性
本 节 返 回 本 章 返 回
N0(X)——基准描述函数 K0——非线性特性尺度函数
本 节 返 回
K 0W (j )N 0(X ) 1 K0W(j)N01(X)
本 章
1 ——基准负倒描述函数
返 回
N 0(X)
非线性系统稳定条件： -1/N 0(X)曲线不被K 0W(j)曲线包围。
本
节
返
回
稳定
本 章 返 回
不稳定
本 节 返 回 本 章 返 回
例7-1：如图为一非线性系统，死区继电特性参数 M=1.7，h=0.7，试分析系统是否存在自振，若有 求出自振的振幅X和频率。
M

h
460
j(0.01 j1)0 (.00j 51)Leabharlann 解：死区继电特性的描述函数
本 节 返 回
本 章 返
K N 0( X ) M h 4 M X 10..771 2 .4X h 3 2 M h N01(4 X Xh ) 1 4X h 2 XX hK 220 N 10 (X )
式 中 ： Y1 A12B12， 1arctanB A1 1
本 节 返 回
本 章 返 回
■ 非线性特性的描述函数
描述函数定义：
输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正 弦量的复数比。其数学表达式为
NX
RX
Y1sin(t 1) Xsint

Y1 X
1
A12 B12 arctanA1
回
本
平面的（-1，j0）点
章
返
回
N(X非)线性4M 系X统1稳定 条Xh 件2：带死区继电特性 K围0N非0(系线X统性) 线部M 性分h 部的4X分负h 的倒1幅描相述Xh特函性数2 曲曲—线线—相W-1/对(Nj(化X)不)。包
N(X)K0N0(X)
本 节 返 回
本 章 返 回
■ 非线性特性的应用 ★ 非线性阻尼控制
本 节 返 回 本 章 返 回
无速度反馈 非线性速度反馈
线性速度反馈
本 节 返 回 本 章 返 回
仿真实现
例 : 如图为带滞环继电特性的非线性系统，试分析系 统时域响应。
本 章 返 回
本章小结
一、非线性系统动态过程的特点
1、稳定性；2、运动形式；3、自振
本
节 返
理想继电特性
死区继电特性
回
本 章 返 回
滞环、死区 继电特性
继电器特性的影响:
1) 理想继电控制系统最终多半处于振荡
工作状态
2) 可利用继电控制实现快速跟踪、产生正弦波
3) 带死区的继电特性，将会增加系统定位误
差，对其他动态性能的影响，类似于死区、
本 节
饱和非线性特性的综合效果。
返
X
B1
本 节 返
式中：
A11
2y(t)costd t
0
回
本 章 返 回
B11
2y(t)si ntdt
0
描述函数N(X)的意义：
y
非线性放大器：
描述y函1 2数x N1 4 (Xx)3相当1 2于非1 4x线2性x放大器对正弦输入
x
单值、的奇等对效称增—益—，A且0=是0，输A入1=正0，弦信1=号0 振幅X的函数
B1
1X 3 X3 2 16
xXsi nt
y(t)B1si nt1 20.4 75 X2x
本
节 返
其描述函数：
N(X)x
回
本 章
N (X )B 113X 210 .7X 52
返
X 216 2 4
回
■ 典型非线性特性的描述函数 理想继电特性的描述函数
本
节
返
实际饱和特性
| x1 | s ——输出饱和
本
节 返
x2 f (x1)
回 本
k x2 f (x1) ——变增益的
章 返
x1
x1
比例环节
回
k
-s
s
x1
a
饱和特性的影响:
1）使系统开环增益下降，对动态响应的
平稳性有利；
2）在大起始偏离时具有收敛特性；
3）它可使一切不稳定的系统收敛于自振
X
XX X
本
章
返
回
本
节
返
回
间隙特性的描述函数
本
章
返
回
N (X )B 1jA 1 XX
K 2arcsin 12 X b 2 12 X b X b 1X b j4 K X b X b 1 Xb
本
n1
节

返 回
A0 Ynsin(ntn)
本
n1
章
返
回
式
中
：
A0

1 2
2
y (t)d t
0
A n

1
2
y (t) co s n td t
0
B n

1
2
y (t) sin n td t
0
Yn
A
2 n

B
2 n
n

a rc ta n
第七章 非线性控制系统分析
教非学目本的质：非了线解性非：线性系统概念、常见非线性
环能节够特用点小及偏对差系线统性性化能方的法影进响行线性化处 教理学的重非点线：性非线性系统的特点，利用描述函数
本质非线法性对：非线性系统进行分析
教学难点用：小描偏述差函线数性法化分方析法非不线能性解系决统的非线性 授课学时：6
X X
本
M
节
返
回
本 章 返 回
M h
7.5 分析非线性系统的描述函数法
系统的典型结构及基本条件 非线性系统的稳定性分析
自振分析 应用描述函数分析非线性系统
本 章 返 回
■ 系统的典型结构及基本条件
非线性系统经 过变换和归化
描述函数法的基本假设：
1）自振时，非线性和线性部分的输入和输出均为同
荡，以保证系统的安全
本
节 返
4）降低了系统稳态精度。
回
本 章 返 回
a=0.5 a=0.2
减小了系统的
超调量，改善
了系统过渡过
程的平稳性
本 节 返 回 本 章 返 回
■ 死区（不灵敏区）特性
本
节
返 回
测量元件、变换部件和各种放大器、电动机
本 章 返 回
死区（不灵敏区）特性的影响:
1) 增大了系统的给定稳态误差，降低了
继电特性的描述函数
N (X ) 2 M X 1 m X 2 h 1 X h 2 j2 M X 2(m h 1 ),X h
h=0， N(X)4M X 理想继电特性 m=1，N ( X ) 4M 1 h 2 带死区继电特性
An Bn
本
节
对于本章中所讨论的几种典型非线性
返
回 本
特性，均属奇对称函数，则 A0 0
章
返
回
谐波线性化的处理方法是： 以输出y(t)的基波分量近似地代替整个输出。
亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为
x=Xsinωt 同频率正弦量
y(t)A1costB1sintY1sin(t1) 振幅、相位变化
本
章 2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
返 回
■ 摩擦特性（机械传动机构） Mf 摩擦力矩
静摩擦力矩 M1 M2 动摩擦力矩

摩擦特性的影响:
本 节
1) 增加系统的静差、降低精度；
返
回 2) 当输入信号很低时，造成低速爬行现象，
本
章 返
影响系统低速平稳性。
回
■ 继电器特性 （继电器）
称为自激振荡，简称自振，或称为自持振荡。
本 节 返 回 本 章 返 回
x
t
自振的特点：一定范围内能长期存在，且振幅变化不大
自激振荡的影响：
1、造成机械的磨损，控制误差的增加
本 2、在系统中引入小幅度的高频“颤振”，可以
节
返
起到“动力润滑”的作用，有利于减小或消除间
回
本 章
隙、死区及摩擦等因素的影响
二、非线性环节及其对系统的影响
1、死区特性；2、饱和特性；3、间隙特性
4、摩擦特性；5、继电特性
三、非线性特性的描述函数
回
本 章 返 回
7.1.2 非线性系统的特点
1. 稳定性 非线性系统的稳定性与
系统的结构、参数
起始状态
有关
【例7.1】 某一阶非线性系统的微分方程

x(x1)x0
试分析系统的稳定性。
本
节 返 回
解： x(t)
x0et
本
1 x0 x0et
章
返
回
x0——系统初始状态
x
1
0
本 节 返 回 本 章 返 回
本章研究内容
☛ 第一节 非线性系统概述
☛ 第二节 相平面法
☛ 第三节 二阶系统的相轨迹
☛ 第四节 描述函数法
☛
仿真实现
☛
本章小结
返回
7.1 非线性系统概述
常见非线性特性 非线性系统特点 非线性系统的分析与设计方法
本 章 返 回
非线性系统: 含有非线性元件的系统，就是非线性系统。
它由非线性微分方程描述
回 本
N(X)B1 4M
章
X X
返
回
死区特性的描述函数
本
节
返 回
本 章
N (X ) B X 1 2 K 2 a rc s in X X 1 (X )2
X
返
回
饱和特性的描述函数
本
节 返 回
N (X ) B 1 2 K [a rc sinss1 (s)2] X s
描述函数法（谐波平衡法）:
是一种近似方法，相当于线性理论中频率
法的推广。该方法不受阶次的限制，且所得结
果也比较符合实际，故得到了广泛应用。
本 章 返 回
■ 谐波线性化 针对任意非线性系统
设 输入x=Xsinωt,
输出波形为同频率的非正弦周期函数y(t)，
则 可以将y(t)展开为富氏级数形式

y(t)A0 (AncosntBnsinnt)
非线性部分■基准负自倒振描分述析函数
振幅增加方向（X→)
线性部分频率特性 频率增加方向(→)
自振点
X增大
X减小
本 节 返 回
本
章 返
X减小
回
X增大
M1、M2为两个 周期运动状态
自振：
当系统周期运动的振幅稍有变化后，系统经
过调解能重新恢复原值，则称系统的周期运动具
有稳定性.
具有稳定的周期运动，称之为自振。
定位精度。
2）在稳态值附近，减小扰动信号的影响， 提高抗干扰能力。
3) 减小了系统的开环增益，提高了系统的
本
平稳 性，减弱动态响应的振荡倾向。
节
返 回
4) 小起始偏离时总能稳定。
本
章
返
回
■ 间隙特性 （齿轮传动 ）
多值映射
输入
输出
本 间隙特性的影响:
节
返 回
1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。
非线性微分方程：
系统微分方程式中的系数与自变量x有关。

本
x(x1)x0
节
返


回
x2(1x2)xx0 (0)
本
章
返
回
7.1.1 常见非线性特性
带死区饱和特性
间隙特性
本 节 返 回
本 章
带死区、滞环继电特性
返
回
带死区继电特性
■ 饱和特性 （铁磁元件及各种放大器）
理想饱和特性
回
h
本 节 返 回
振幅减小方向
本 章
返
回
1 N0(X )
M2
250 300 400
<
0.95 0.9 0.8 0.707
<
h/X0.2
0.3
0.4 0.5 0.6
180
=200
=150
M1 ——自振点
K0W(j) 频率增加方向
自振振幅X=1.84
自振频率=200rad/s
7.6 改善非线性系统性能的措施 及非线性特性的利用
频率的正弦信号
本 节
2）非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振幅
返
回 3）线性部分的低通滤波效应较好
本 章 返 回
■ 非线性系统的稳定性分析
N(X)
W(j)
等效开环幅相特性： N (X )W (j )1——临界稳定
W(j) 1 ——负倒描述函数
本
N(X)
节 返
相当于线性系统中开环幅相