2016-2019年高考真题三角函数解答题全集(含详细解析)

2016-2019年高考真题三角函数解答题全集（含详细解析）
1．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+． （1）求()f x 的最小正周期；
（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3
π
的最大值与最小值．
2．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、
C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2
A C
a b A +=．
（1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．
3．（2019•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．
（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6
B π
+的值．
4．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．
（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+
++的值域．
5．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1
cos 2
B =-．
（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C -的值．
6．（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
（1）若3a c =，b =，2
cos 3
B =，求c 的值； （2）若
sin cos 2A B
a b
=
，求sin()2B π+的值． 7．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1
cos 2
B =-．
（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C +的值．
8．（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设
22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ． （1）求A ；
（22b c +=，求sin C ．
9．（2018•全国）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知
222(sin sin )()sin A C a b B -=-． （1）证明222a b c ab +-=； （2）求角C 和边c ．
10．（2018•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6
b A a B π
=-
．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．
11．（2018•北京）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7
B =-．
（Ⅰ）求A ∠；
（Ⅱ）求AC 边上的高．
12．（2018•江苏）已知α，β为锐角，4
tan 3
α=，cos()αβ+=
（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．
13．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =． （1）求cos ADB ∠；
（2）若DC =，求BC ．
14．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5
-．
（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5
sin()13
αβ+=
，求cos β的值．
15．（2018•北京）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[3
π
-
，]m 上的最大值为
3
2
，求m 的最小值． 16．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．
（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；
（2）若()14f π
=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解．
17．（2018•上海）已知cos y x =
（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，求()3
f π
α-的值
（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值
18．（2017•上海）已知函数221
()cos sin 2
f x x x =-+，(0,)x π∈． （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若f （A ）0=，求ABC ∆的面积．
19．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin a A b B =，
222)ac a b c =--
（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)B A -的值
20．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3
sin 5
B =
． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin(2)4
A π
+的值．
21．（2017•山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π
=．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4
π-，3]4π
上的最小值．
22．（2017•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面
积为2
3sin a A
．
（1）求sin sin B C ；
（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长．
23．（2017•新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2
sin()8sin 2
B A
C +=． （1）求cos B ；
（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．
24．（2017•北京）已知函数())2sin cos 3f x x x x π
=--．
()I 求()f x 的最小正周期； ()II 求证：当[4x π
∈-
，]4π时，1()2
f x -…．
25．（2017•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，
a =，2
b =．
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积．
26．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π． （1）若//a b ，求x 的值；
（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 27．（2017•北京）在ABC ∆中，60A ∠=︒，3
7
c a =．
（1）求sin C 的值；
（2）若7a =，求ABC ∆的面积．
28．（2017•浙江）已知函数22()sin cos f x x x x =--cos ()x x R ∈． （Ⅰ）求2(
)3
f π
的值． （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
29．（2016•北京）已知函数()2sin cos cos2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求ω的值；
（2）求()f x 的单调递增区间．
30．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2
cos 3
B =
，求cos C 的值． 31．（2016•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
sin 2sin a B A =．
（1）求B ； （2）已知1
cos 3
A =
，求sin C 的值．
32．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移
3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6
g π
的值． 33．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （Ⅰ）证明：2A B =；
（Ⅱ）若ABC ∆的面积2
4
a S =，求角A 的大小．
34．（2016•江苏）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5
B =，4
C π
=．
（1）求AB 的长； （2）求cos()6
A π
-的值．
35．（2016•北京）在ABC ∆中，222a c b +=+． （Ⅰ）求B ∠的大小；
cos A C +的最大值．
36．（2016•四川）在ABC ∆中，角A ，B ，
C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o s
s i n A B C
a
b c
+
=．
（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =； （Ⅱ）若2226
5
b c a bc +-=，求tan B ．
37．（2016•天津）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ
=--
（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间[4π
-
，]4
π
上的单调性． 38．（2016•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．
（Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若c =ABC ∆，求ABC ∆的周长． 39．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知t a n t a n
2(t a n t a n )c o s c o s
A B A B B A +
=+
． （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．
40．（2016•江苏）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：EDC ABD ∠=∠．
41．（2016•上海）已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出
()f x 取得最大值时x 的值．
2016-2019年高考真题三角函数解答题全集（含详细解析）
参考答案与试题解析
1．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+． （1）求()f x 的最小正周期；
（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3
π
的最大值与最小值．
【解答】解：22()2sin 4cos 11cos22(1cos2)13cos2f x x x x x x =-+=--++=-． （1）()f x 的最小正周期22
T π
π=
=； （2）g ()()3cos(2)3cos 22
x x
x f x ==-=-，
[0x ∈，]3
π
，
3cos [3x ∴-∈-，3
]2
-．
即()g x 在区间[0，]3π的最大值为3
2
-，最小值为3-．
2．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、
C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2
A C
a b A +=．
（1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22
B B
a a
b A π-==， 可得sin cos
sin sin 2sin cos sin 222
B B B
A B A A ==， sin 0A >，
cos
2sin cos 222
B B B ∴=， 若cos 02
B
=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin
22
B ∴=， 由0B π<<，可得3
B π
=
；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，
由余弦定理可得1cos
3
b a =，
由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，
解得
1
22
a <<， 可得ABC ∆
面积13sin 23
S a π==∈． 3．（2019•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．
（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6
B π
+的值． 【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b c
B C
=
，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，
得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =
，23
a c =，由余弦定理可得222
2
2
2
416
199cos 22423
a a a a
c b B ac a
a +-+-===-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B ，从而sin 22sin cos B B B ==， 2
27
cos2cos sin 8
B
B B =-=-，
故71sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ+=+=-⨯=． 4．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．
（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+
++的值域．
【解答】解：（1）由()sin f x x =，得 ()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+为偶函数，∴()2
k k Z π
θπ=
+∈， [0θ∈，2)π，∴2
π
θ=
或32
π
θ=
， （2）22[()][()]124
y f x f x ππ
=+++ 22sin ()sin ()124
x x ππ
=+
++
1cos(2)1cos(2)622
2
x x π
π
-+-+
=
+
11(cos2cos sin 2sin sin 2)266
x x x ππ
=---
3sin 214x x =+
)16
x π
=
-+， x R ∈，∴sin(2)[1,1]6
x π
-∈-，
∴)1[16y x π=
-+∈， ∴函数22[()][()]124
y f x f x π
π
=+
++
的值域为：[1． 5．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1
cos 2
B =-．
（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C -的值．
【解答】解：（Ⅰ）3a =，2b c -=，1
cos 2
B =-．
∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-
21
9(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，
7b ∴=，25c b ∴=-=；
（Ⅱ）在ABC ∆中，1
cos 2
B =-
，sin B ∴=，
由正弦定理有：sin sin c b
C B
=
，
∴5sin 2sin 7c B
C b
=
== b c >，B C ∴>，C ∴为锐角，
11
cos 14
C ∴=
， sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=-
111()142=--
=
． 6．（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
（1）若3a c =
，b =，2
cos 3
B =，求c 的值； （2）若
sin cos 2A B
a b
=
，求sin()2B π+的值． 【解答】解：（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 3a c =
，b =，2cos 3
B =
， ∴由余弦定理得：
22222
1022
cos 263
a c
b
c B ac c +--===，
解得c =． （2）
sin cos 2A B
a b
=
， ∴由正弦定理得：
sin sin cos 2A B B
a b b
==
， 2sin cos B B ∴=，
22sin cos 1B B +=，
sin B ∴
，cos B =
sin()cos 2B B π∴+==
． 7．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1
cos 2
B =-．
（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C +的值．
【解答】解：（1）3a =，2b c -=，1
cos 2
B =-．
∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-
21
9(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，
7b ∴=，25c b ∴=-=；
（2）在ABC ∆中，1
cos 2
B =-
，sin B ∴=，
由正弦定理有：sin sin a b
A B =
，
3sin 2sin 7a B
A b
∴=
==，
sin()sin()sin B C A A π∴+=-==
8．（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设
22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ． （1）求A ；
（22b c +=，求sin C ．
【解答】解：（1）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ．
则222sin sin 2sin sin sin sin sin B C B C A B C +-=-，
∴由正弦定理得：222b c a bc +-=，
2221cos 222
b c a bc A bc bc +-∴===，
0A π<<，3
A π
∴=．
（2）
2b c +=，3
A π
=
，
∴sin 2sin A B C +=，
∴
2sin()2sin 3
C C π+-=
解得sin()6C π-=64
C ππ∴-=，46C ππ=+，
1sin sin()sin cos cos sin 464646222C ππππππ∴=+=+=⨯=
． 9．（2018•全国）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知
222(sin sin )()sin A C a b B -=-． （1）证明222a b c ab +-=； （2）求角C 和边c ．
【解答】证明：（1）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，
∴由正弦定理得：
22sin sin sin a b c
R A B C
====， sin 2
a
A ∴=
，sin 2b B =，sin 2c C =，
222(sin sin )()sin A C a b B -=-，
222()()442
a c
b a b ∴-=-，
化简，得：222a b c ab +-=， 故222a b c ab +-=． 解：（2）222a b c ab +-=，
2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===，
解得3
C π
=，
3
2sin 2
3c C ∴===． 10．（2018•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6
b A a B π
=-
．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值． 【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a b
A B
=
，得sin sin b A a B =， 又sin cos()6
b A a B π
=-．
sin cos()6
a B a B π
∴=-，即1sin cos()cos cos sin sin sin 6662B B B B B B πππ=-=+=
+，
tan B ∴
又(0,)B π∈，3
B π
∴=
．
（Ⅱ）在ABC ∆中，2a =，3c =，3
B π
=
，
由余弦定理得b ==sin cos()6b A a B π
=-，得sin A =，
a c <，cos
A ∴=
，
sin 22sin cos A A A ∴==， 21cos22cos 17
A A =-=
，
11sin(2)sin 2cos cos2sin 27A B A B A B ∴-=-=
-=
11．（2018•北京）在ABC ∆中，7a =，8b =，1
cos 7B =-．
（Ⅰ）求A ∠；
（Ⅱ）求AC 边上的高．
【解答】解：（Ⅰ）a b <，A B ∴<，即A 是锐角， 1
cos 7
B =-
，sin B ∴== 由正弦定理得sin sin a b A B =
得7sin 7sin 8a B
A b
==
=， 则3
A π
=
．
（Ⅱ）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即21
6449277
c c =++⨯⨯⨯，
即22150c c +-=， 得(3)(5)0c c -+=， 得3c =或5c =-（舍)， 则AC
边上的高sin 3h c A ===
12．（2018•江苏）已知α，β为锐角，4
tan 3
α=
，cos()αβ+=
（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．
【解答】解：（1）由224
31sin cos sin cos ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角
，解得4sin 5
3cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
227cos225
cos sin ααα∴=-=-
； （2）由（1）得，24sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos27
ααα==-． α，(0,)2
π
β∈，(0,)αβπ∴+∈，
sin()αβ∴+= 则sin()
tan()2cos()
αβαβαβ++=
=-+．
tan 2tan()2
tan()tan[2()]1tan 2tan()11
ααβαβααβααβ-+∴-=-+=
=-++．
13．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．
（1）求cos ADB ∠；
（2）若DC =，求BC ．
【解答】解：（1）90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．
∴由正弦定理得：
sin sin AB BD ADB A =∠∠，即25
sin sin 45ADB =
∠︒
，
2sin 45sin 5ADB ︒∴∠=
=
， AB BD <，ADB A ∴∠<∠，
cos ADB ∴∠==
（2）90ADC ∠=︒，cos sin BDC ADB ∴∠=∠=， 2DC =
BC ∴=
5==．
14．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5
-．
（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5
sin()13
αβ+=
，求cos β的值． 【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点3
(5P -，
4)5
-．
35x ∴=-，4
5
y =-，||1r OP =，
4sin()sin 5
y r απα∴+=-=-
=； （Ⅱ）由35x =-，4
5y =-，||1r OP ==，
得4sin 5α=-，3
cos 5
α=-，
又由5
sin()13
αβ+=
，
得12
cos()13
αβ+=±，
则1235456
cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=
⨯-+⨯-=-， 或1235416
cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565
βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-+⨯-=
． cos β∴的值为5665-
或16
65
．
15．（2018•北京）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[3
π
-
，]m 上的最大值为
3
2
，求m 的最小值．
【解答】解：()I 函数21cos2()sin cos 22x f x x x x x -=+=
+ 1
sin(2)62
x π=-+，
()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=； （Ⅱ）若()f x 在区间[3
π
-，]m 上的最大值为
32
， 可得52[6
6
x π
π
-
∈-
，2]6m π-，
即有262
m π
π
-
…，解得3m π
…， 则m 的最小值为
3
π
． 16．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；
（2）若()14f π
=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解．
【解答】解：（1）
2()sin 22cos f x a x x =+，
2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，
()f x 为偶函数， ()()f x f x ∴-=，
22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+， 2sin20a x ∴=， 0a ∴=；
（2）()14
f π
=，
2sin
2cos ()1124
a a π
π
∴+=+=，
a ∴=，
2()22cos 2cos212sin(2)16f x x x x x x π
∴+++=++，
()1f x =
2sin(2)116
x π
∴++=
sin(2)6x π∴+= 226
4
x k π
π
π∴+
=-
+，或5
2264
x k π
ππ+
=+，k Z ∈， 524x k πππ∴=-
+，或13
24
x k ππ=+，k Z ∈， [x π∈-，]π， 1324x π∴=
或1924x π=或524x π=-或1124
x π=-
17．（2018•上海）已知cos y x =
（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，求()3
f π
α-的值
（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值 【解答】解：（1）若1
()3
f α=，且[0α∈，]π，
则1
cos 3
α=
，则sin 3α==
，
则111()cos()cos cos sin sin 3333326f ππππαααα-=-=+=⨯+=． （2）函数2213
(2)2()cos22cos 2cos 2cos 12(cos )22y f x f x x x x x x =-=-=--=--，
1cos 1x -剟，
∴当1cos 2x =
时，函数取得最小值，最小值为32
-． 18．（2017•上海）已知函数221
()cos sin 2
f x x x =-+，(0,)x π∈． （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若f （A ）0=，求ABC ∆的面积．
【解答】解：（1）函数221()cos sin 2
f x x x =-+ 1
cos22
x =+
，(0,)x π∈， 由222k x k πππ-剟，解得1
2k x k πππ-剟，k Z ∈，
1k =时，1
2
x ππ剟，
可得()f x 的增区间为[2
π
，)π；
（2）设ABC ∆为锐角三角形，
角A 所对边a =B 所对边5b =， 若f （A ）0=，即有1
cos202
A +=， 解得223A π=，即1
3
A π=，
由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 化为2560c c -+=， 解得2c =或3， 若2c =，则cos 0
B =
<，
即有B 为钝角，2c =不成立， 则3c =，
ABC ∆的面积为11sin 5322S bc A ==⨯⨯=． 19．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin a A b B =，
222)ac a b c =--
（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)B A -的值
【解答】（Ⅰ）解：由
sin sin a b
A B
=
，得sin sin a B b A =， 又sin 4sin a A b B =，得4sin sin b B a A =， 两式作比得：
4a b
b a
=，2a b ∴=．
由222)ac a b c =--
，得222b c a +-=，
由余弦定理，得222
5cos 2b c a
A bc
ac +-=
=
=； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）
，可得sin A =
，代入sin 4sin a A b B =
，得sin sin 4a A B b ==． 由（Ⅰ）知，A 为钝角，则B 为锐角，
∴cos B = 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23
cos212sin 5
B B =-=，
故43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B A B A B A -=-=⨯-= 20．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3
sin 5
B =
． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin(2)4
A π
+的值．
【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，a b >， 故由3sin 5B =
，可得4
cos 5
B =． 由已知及余弦定理，有2224
2cos 2536256135
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，
b ∴=
由正弦定理
sin sin a b
A B
=
，得sin sin a B A b =
b ∴=
sin A （Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <
，得cos A =，12
sin 22sin cos 13
A A A ∴==， 25
cos212sin 13
A A =-=-
．
故125sin(2)sin 2cos cos2sin 44413213226
A A A πππ+=+=⨯-=
．
21．（2017•山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π
=．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到
的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4
π-，3]4π
上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数()sin()sin()62
f x x x ππ
ωω=-+-
sin cos cos sin sin()662
x x x πππ
ωωω=---
3
cos 2
x x ωω=
-
)3
x π
ω=-，
又()3sin()0663
f πππ
ω=-=，
∴
6
3
k π
π
ωπ-
=，k Z ∈，
解得62k ω=+， 又03ω<<， 2ω∴=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())3
f x x π
-，
将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
)3
y x π
-的图象；
再将得到的图象向左平移4π个单位，得到)43y x ππ
+-的图象，
∴函数())12
y g x x π
=-；
当[4x π∈-，3]4π时，[123
x ππ
-∈-，2]3π，
sin()[12
x π
∴-
∈1]，
∴当4
x π
=-
时，()g x 取得最小值是32
-． 22．（2017•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面
积为2
3sin a A
．
（1）求sin sin B C ；
（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得2
1sin 23sin ABC a S ac B A
∆==
， 3sin sin 2c B A a ∴=，
由正弦定理可得3sin sin sin 2sin C B A A =， sin 0A ≠，
2
sin sin 3
B C ∴=
； （2）6cos cos 1B C =， 1cos cos 6
B C ∴=
， 121cos cos sin sin 632
B C B C ∴-=-=-， 1
cos()2B C ∴+=-，
1cos 2
A ∴=
， 0A π<<，
3
A π
∴=
，
2sin sin sin a b c R A B C ===== 2
sin sin 22123(23)b c bc B C R R ∴====，
8bc ∴=，
2222cos a b c bc A =+-， 229b c bc ∴+-=，
2()93
92433b c cb ∴+=+=+=，
b c ∴+=∴周长3a b c ++=
23．（2017•新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2s i n ()8s i n 2
B A
C +=．
（1）求cos B ；
（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．
【解答】解：（1）2sin()8sin 2
B
A C +=， sin 4(1cos )
B B ∴=-， 22sin cos 1B B +=，
2216(1cos )cos 1B B ∴-+=， 2216(1cos )cos 10B B ∴-+-=，
216(cos 1)(cos 1)(cos 1)0B B B ∴-+-+=， (17cos 15)(cos 1)0B B ∴--=， 15cos 17
B ∴=
； （2）由（1）可知8sin 17
B =
， 1
sin 22ABC S ac B ∆==，
172
ac ∴=
， 2222217152cos 2217
b a
c ac B a c ∴=+-=+-⨯
⨯ 22215()2153617154a c a c ac =+-=+--=--=， 2b ∴=．
24．（2017•北京）已知函数())2sin cos 3f x x x x π
=--．
()I 求()f x 的最小正周期； ()II 求证：当[4x π
∈-
，]4π时，1()2
f x -…．
【解答】解：（Ⅰ）())2sin cos 3f x x x x π
=--，
13(22)sin 22co x x x =+-，
1
sin 22
x x =
+， sin(2)3x π
=+，
22
T π
π∴=
=， ()f x ∴的最小正周期为π，
（Ⅱ）[4x π
∈-，]4
π， 2[3
6
x π
π
∴+
∈-
，5]6
π
， 1sin(2)123x π∴-+剟，
1
()2
f x ∴-
… 25．（2017•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c
，已知sin 0A A =
，a =，2b =．
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积． 【解答】解：（
1）sin 0A A +=
， tan A ∴=
0A π<<，
23
A π
∴=
， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即21
28422()2
c c =+-⨯⨯-，
即22240c c +-=，
解得6c =-（舍去）或4c =， 故4c =．
（2）2222cos c b a ab C =+-
， 1628422cos C ∴=+-⨯⨯，
cos C ∴=
2
2cos AC CD C
∴=
==12
CD BC ∴=
11sin 4222ABC S AB AC BAC ∆=
∠=⨯⨯=，
1
2
ABD ABC S S ∆∆∴=
26．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π． （1）若//a b ，求x 的值；
（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【解答】解：（1）
(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，//a b ，
3sin x x =，
当cos 0x =时，sin 1x =，不合题意，
当cos 0x ≠时，tan x =， [0x ∈，]π， 56
x π
∴=
，
（2）1()3cos sin ))26
f x a b x x x x x π===-=+， [0x ∈，]π， [66
x π
π
∴+
∈，7]6π，
1cos()
6
x π
∴-+
剟 当0x =时，()f x 有最大值，最大值3，
当56
x π
=
时，()f x 有最小值，最小值- 27．（2017•北京）在ABC ∆中，60A ∠=︒，3
7
c a =．
（1）求sin C 的值；
（2）若7a =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）60A ∠=︒，3
7
c a =，
由正弦定理可得33sin sin 77C A ==， （2）7a =，则3c =，
C A ∴<，
22sin cos 1C C +=，又由（1）可得13cos 14
C =
，
131sin sin()sin cos cos sin 142B A C A C A C ∴=+=+=+=
11
sin 7322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=
28．（2017•浙江）已知函数22()sin cos f x x x x =--cos ()x x R ∈． （Ⅰ）求2(
)3
f π
的值． （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
【解答】解：函数22()sin cos f x x x x =--7cos 2cos22sin(2)6
x x x x π
=-=+ （Ⅰ）2275(
)2sin(2)2sin 23362
f ππππ
=⨯+==， （Ⅱ）2ω=，故T π=， 即()f x 的最小正周期为π， 由72[262x k πππ+∈-+，2]2
k π
π+，k Z ∈得： 5[6
x k π
π∈-
+，]3k ππ-+，k Z ∈，
故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-
+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3
k π
π+，k Z ∈． 29．（2016•北京）已知函数()2sin cos cos2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求ω的值；
（2）求()f x 的单调递增区间．
【解答】解：()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+， sin2cos2x x ωω=+，
)4
x π
ω=+，
由于函数的最小正周期为π， 则：22T π
πω
=
=， 解得：1ω=．
（2）由（1）得：函数())4f x x π
=+，
令222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
++
+
∈剟，
解得：3()88
k x k k Z ππππ-
++∈剟， 所以函数的单调递增区间为：3[,]()88
k k k Z ππ
ππ-
++∈． 30．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2
cos 3
B =
，求cos C 的值． 【解答】（1）证明：2cos b c a B +=， sin sin 2sin cos B C A B ∴+=，
sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，
sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B ∴=-=-，由A ，(0,)B π∈，
0A B π∴<-<，B A B ∴=-，或()B A B π=--，化为2A B =，或A π=（舍去）
． 2A B ∴=．
()II 解：2
cos 3
B =
，sin B ∴=．
21
cos cos22cos 19
A B B ==-=-，sin A =．
2122
cos cos()cos cos sin sin ()3927
C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯-+=
． 31．（2016•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
sin 2sin a B A
=
． （1）求B ； （2）已知1
cos 3
A =
，求sin C 的值．
【解答】解：（1）sin 2sin a B A =，
2sin sin cos sin A B B B A ∴=，
cos B ∴=
6
B π
∴=．
（2）1
cos 3A =，sin A ∴，
11sin sin()sin cos cos sin 23C A B A B A B ∴=+=++⨯=
．
32．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6
g π
的值． 【
解
答
】
解
：
（
Ⅰ
）
221cos2()23sin()sin (sin cos )23sin 1sin 223
1sin 22
x
f x x x x x x x x π-=---=-+=-+
sin 212sin(2)13
x x x π
==-，
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
-
+
剟，求得512
12
k x k π
π
ππ-+
剟， 可得函数的增区间为[12k π
π-
，5]12
k π
π+
，k Z ∈． （Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得
2sin()13
y x π
=-+的图象；
再把得到的图象向左平移
3
π
个单位，得到函数()2sin 1y g x x ==+的图象，
()2sin 166
g ππ
∴==
33．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （Ⅰ）证明：2A B =；
（Ⅱ）若ABC ∆的面积2
4
a S =，求角A 的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：2cos b c a B +=， sin sin 2sin cos B C A B ∴+=，
sin sin()2sin cos B A B A B ∴++=
sin sin cos cos sin 2sin cos B A B A B A B ∴++=
sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B ∴=-=-
A ，
B 是三角形中的角， B A B ∴=-， 2A B ∴=；
（Ⅱ）解：ABC ∆的面积24
a S =，
∴21sin 24
a bc A =， 22sin bc A a ∴=，
2sin sin sin sin2B C A B ∴==， sin cos C B ∴=，
90B C ∴+=︒，或90C B =+︒， 90A ∴=︒或45A =︒．
34．（2016•江苏）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5
B =，4
C π=．
（1）求AB 的长； （2）求cos()6
A π
-的值．
【解答】解：（1）ABC ∆中，4
cos 5
B =，(0,)B π∈， 3
sin 5
B ∴=
， sin sin AB AC
C B
=
，
6235
AB ∴=
=；
（2
）cos cos()cos()sin sin cos cos A A C B B C B C π==--=-+=-= A 为三角形的内角，
sin A ∴=
，
1cos()sin 62A A A π∴-=+=
35．（2016•北京）在ABC ∆
中，222a c b +=+． （Ⅰ）求B ∠的大小；
cos A C +的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆
中，222a c b +=．
222a c b ∴+-=．
222cos 2a c b B ac +-∴==， 4
B π
∴=
（Ⅱ）由()I 得：34
C A π
=
-，
∴3cos cos(
)4
A C A A π
++-
A A A =
A A =
+ sin()4A π
=+．
3(0,)4
A π∈， (
4
4A π
π
∴+
∈，)π，
故当4
2
A π
π
+
=
时，sin()4A π
+取最大值1，
cos A C +的最大值为1．
36．（2016•四川）在ABC ∆中，角A ，B ，
C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o s
s i n A B C
a
b c
+
=．
（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =； （Ⅱ）若2226
5
b c a bc +-=，求tan B ．
【解答】（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，
cos cos sin A B C
a b c
+=
， ∴由正弦定理得：cos cos sin sin sin sin A B C A B C
+=
， ∴
cos sin cos sin sin()
1sin sin sin sin A B B A A B A B A B
++==，
sin()sin A B C +=．
∴整理可得：sin sin sin A B C =，
（Ⅱ）解：22265b c a bc +-=，由余弦定理可得3
cos 5A =．
4sin 5A =
，cos 3
sin 4
A A = cos cos sin 1sin sin sin A
B C
A B C +==，
cos 1sin 4B B =， tan 4B =．
37．（2016•天津）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ
=--
（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间[4π
-
，]4
π
上的单调性．
【解答】解：（1）()4tan sin()cos()23
f x x x x ππ
=--．
2
x k π
π∴≠+
，即函数的定义域为{|2
x x k π
π≠+
，}k Z ∈，
则1()4tan cos (cos )2f x x x x x =
1
4sin (cos )2x x x =
22sin cos x x x =+
sin 2cos 2)x x =+--
sin 2x x =
2sin(2)3
x π
=-， 则函数的周期22
T π
π==； （2）由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-<-
<+
，k Z ∈，
得512
12k x k π
πππ-
<<+
，k Z ∈，即函数的增区间为(12k ππ-，5)12
k π
π+，k Z ∈， 当0k =时，增区间为(12
π
-，
5)12
π
，k Z ∈， [4x π
∈-
，]4π，∴此时(12x π∈-，]4
π， 由32222
3
2
k x k π
π
π
ππ+<-
<+
，k Z ∈， 得5111212k x k ππππ+
<<+，k Z ∈，即函数的减区间为5(12
k ππ+，11)12k π
π+，k Z ∈，
当1k =-时，减区间为7(12π-，)12
π
-，k Z ∈， [4x π
∈-
，]4π，∴此时[4x π∈-，)12
π
-，
即在区间[4π
-
，]4π上，函数的减区间为[4π∈-，)12π-，增区间为(12π-，]4
π
．
38．（2016•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2cos (cos cos )C a B b A c +=．
（Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若c =ABC ∆，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，0C π<<，sin 0C ∴≠
已知等式利用正弦定理化简得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 整理得：2cos sin()sin C A B C +=， 即2cos sin(())sin C A B C π-+= 2cos sin sin C C C =
1
cos 2
C ∴=， 3
C π
∴=
；
（Ⅱ）由余弦定理得221722
a b ab
=+-， 2()37a b ab ∴+-=，
1sin 2S ab C ===
6ab ∴=，
2()187a b ∴+-=， 5a b ∴+=，
ABC ∴∆的周长为5+．
39．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知t a n t a n
2(t a n t a n )c o s c o s
A B A B B A +
=+
． （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由tan tan 2(tan tan )cos cos A B
A B B A
+=+
得： sin sin sin sin 2(
)cos cos cos cos cos cos A B A B
A B A B A B
+=+
； ∴两边同乘以cos cos A B 得，2(sin cos cos sin )sin sin A B A B A B +=+；
2sin()sin sin A B A B ∴+=+；
即sin sin 2sin A B C +=（1）；
根据正弦定理，
2sin sin sin a b c R A B C ===； ∴sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===，带入（1）得：2222a b c R R R +=； 2a b c ∴+=；
（Ⅱ）2a b c +=；
2222()24a b a b ab c ∴+=++=；
22242a b c ab ∴+=-，且244c ab …
，当且仅当a b =时取等号； 又a ，0b >； ∴2
1c ab
…； ∴由余弦定理，222223231cos 12222
a b c c ab c C ab ab ab +--===-…； cos C ∴的最小值为12
． 40．（2016•江苏）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 为BC 的中
点，求证：EDC ABD ∠=∠．
【解答】解：在ABC ∆中，由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒， 因为E 为BC 的中点，所以12
DE CE BC ==
， 则：EDC C ∠=∠，
由90BDC ∠=︒，可得90C DBC ∠+∠=︒，
由90ABC ∠=︒，可得90ABD DBC ∠+∠=︒，
因此ABD C ∠=∠，而EDC C ∠=∠，
所以，EDC ABD ∠=∠．
41．（2016•上海）已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出
()f x 取得最大值时x 的值．
【解答】解：()sin 2sin()3f x x x x π
==+，∴函数的周期为2T π=，
函数的最大值为2，且函数取得最大值时，232x k π
π
π+=+，即26x k π
π=+，k Z ∈．。