上海市崇明区2019年高三高考二模数学试题及答案(word版)

2019年上海市崇明区高考数学二模试卷

2019.4

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则()U A

B =ð 2. 函数sin cos y x x =的最小正周期T =

3. 设函数2()f x x =（0x >）的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=

4. 若复数i 2i

z a =+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 5. 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准方程为

6. 已知二项式26()a

x x

+的展开式中含3x 项的系数是160，则实数a 的值是

7. 已知直线1:(3)(4)10l a x a y -+-+=与2:2(3)230l a x y --+=平行，则a =

8. ，母线与底面所成角为3

π，则该圆锥的侧面积为 9. 已知n S 是公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和，若对任意的*k ∈N ，都有1lim()n k k n S S a +→∞

-=成立，则q = 10. 甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名 或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为 （用数字作答）

11. 已知函数9()||f x x a a x =+

-+在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围是

12. 已知点C 是平面ABD 上一点，3BAD π∠=

，1CB =，3CD =，若AP AB AD =+， 则||AP 的最大值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）

A. y =

B. 12log y x =

C. 3y x =-

D. 1y x x

=+

14. 对于实数x ，“||1x <”是“1x <”的（ ）条件

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

15. 已知线段AB 上有一动点D （D 异于A 、B ），线段CD AB ⊥，且满足2CD AD BD λ=⋅ （λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）

A. 圆的一部分

B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分

D. 抛物线的一部分

16. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A -、(1,0)B ，若对于y 轴上的任意n 个不同的点1P ， 2P ，⋅⋅⋅，n P ，总存在两个不同的点i P 、j P （,1,2,,i j n =⋅⋅⋅），使得

1|sin sin |4i

j APB AP B ∠-∠≤，则n 的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB BB ==，

直线1B C 与平面ABC 成30°的角.

（1）求三棱锥11C AB C -的体积；

（2）求二面角1B B C A --的余弦值.

18. 已知函数12lg 6()56

4a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩. （1）已知(6)3f =，求实数a 的值；（2）判断并证明函数在区间[7,8]上的单调性.

19. 某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现 提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个 端点A 、B 分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中

AP AB BQ ==，23

PAB QBA π∠=∠=，且AB 、PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果，、要求观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离都不超过60米（即要求60PO ≤）， 设OAB α∠=，(0,)3

π

α∈. （1）当6π

α=时，求舞台表演区域的面积；

（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？

20. 对于直线l 与抛物线2:4x y Γ=，若l 与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ的对称轴不平行 （或重合），则称l 与Γ相切，直线l 叫做抛物线Γ的切线.

（1）已知00(,)P x y 是抛物线上一点，求证：过点P 的Γ的切线l 的斜率02

x k =； （2）已知00(,)M x y 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为11(,)A x y 、 22(,)B x y ，求证：1x 、0x 、2x 成等差数列；

（3）如图所示，(,)D m n 、(,)E s t 是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、E 的Γ的切线分别是1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点(,)G a b ，且与y 轴分别交于点1D 、1E ，设1x 、

2x 为方程20x ax b -+=（,a b ∈R ）的两个实根，max{,}c d 表示实数c 、d 中较大的值，

求证：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||max{||,||}2m x x =

”.

21. 已知数列{}n a 是公差为d （0d >）的等差数列，如果数列1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x （3m ≥， *m ∈N ）满足11221m m a x a x x a +≤<≤<⋅⋅⋅≤<，则称数列1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 是“可等距划 分数列”.

（1）判断数列2，4，8，14是否是“可等距划分数列”，并说明理由；

（2）已知,k t ∈R ，0k >，设n b kn t =+，求证：对任意的3m ≥，*m ∈N ，数列{}n b （1,2,,n m =⋅⋅⋅），都是“可等距划分数列”；

（3）若数列{2}n （1,2,,n m =⋅⋅⋅）是“可等距划分数列”，求m 的所有可能值.