静电场习题课

2.无限长均匀带电平面 已知 无限长均匀带电平面 已知: 求: 解: 沿
σ
Y
dq
b a
d
P
Q 两点的场强
与平面共面) 与平面共面 P 点(与平面共面
Y 方向放置的无限长直线
dy
a
d
X dE
dq dq = σdxdy 线密度: = σdx 线密度:
P
dq 在P点产生的
σdx σdx dE = = 2πε 0r 2πε 0 ( a + b x )
3.无限大平面挖一园孔 无限大平面挖一园孔 已知: 已知
σ
R
O
求:轴线上一点的场强 轴线上一点的场强 σ P点 E1 = + σ + 原电荷 2ε0 圆孔
E
P X
R
σ
P点
x σ E2 = ( 1 ) 2ε0 x2 + R2
σ x E = E1 E2 = 2ε x2 + R2
无限" 三."无限"带电体零电势点的选取 无限 1.求无限长均匀带电直线的电势分布 1.求无限长均匀带电直线的电势分布 场强分布 由定义
R
0
E1 = 0
Eo
r
0′
证明空腔内为均匀电场 0处
+ ρ + 原电荷 ρ 0 处
d
E2ds = E2 4πd 2 = ∫
s
∫ dq
s
ε0
4 3 ρ πr = 3
ε0
3
4 3 ρ πr ρr 3 E2 = 3 2 = 2 4πε 0d 3ε0d
ρr ∴Eo = E2 = 2 3ε0d
O′ 点场强的计算
A: EA > EB > EC ,A > B > C B : EA > EB > EC ,A < B < C C : EA < EB < EC ,A > B > C D : EA < EB < EC ,A < B < C
A (C) ) B
C
�
x σ ( 1 2 ) 2 2ε0 x +R
E=
练习题
★一.微元法求场强 一 ★二.补偿法求场强 二 ★三.关于电势零点的选择 三 ★四.电场力的功 四
一.微元法求场强 微元法求场强 1.均匀带电半球面 已知 均匀带电半球面 已知: 求: 球心处 解:取任意园环 取任意园环
dθ
dl
R σ
O
θ
Eo
σ 2ε0
σ >0
O
E=
x >0 x<0
P Y
X
电势零点选在平板上 0 σ x > 0 u = ∫ Edx = x 2ε0 x
O
X
x<0
σ u = ∫ Edx = x 2ε0 x
0
3.求两无限长同轴圆柱面的电势差 求两无限长同轴圆柱面的电势差 已知: 已知
+λ λ
R2
R 1
解: 场强分布 λ 2πε 0r E=
d
Eo
Eo q λ= 解:圆弧 圆弧 2πR
空隙
R
带电园环
o
+λ λ
+ 园弧上电荷
o 处的 E = 0
1
点电荷
o
λd q′ 处的 E2 = 4πε R2 = 4πε R2 0 0
λd ∴Eo = E2 = 4πε 0 R2
2. 球体内挖一空腔 已知: 已知 求: 解: 空腔
ρ R
Eo Eo′
r d
静电场的场量 点电荷 电场叠加性
E u 关系
∞
F E= q0
E=
q 4πε 0r
∑E
r 2 0
i
E=
∫ dE
uP = ∫ E dl
P
Wa ua = = ∫ E dl q0 a
∞
u=
q 4 0r πε
u=
∑u
i
E = u
∫ du
叠加法 场强的计算 高斯定理法 梯度法
∑E
i
∫ dE
1
∫ E ds = ε ∑qi
b
O
Q
b
σ a+b E=∫ = ln πε 0 ( a + b x ) 2πε 0 a 02
σdx
Q 点(平面的中垂面上 平面的中垂面上) 平面的中垂面上
X
同理
dq = σdxdy
dq = σdx dy σdx dE = 2 0r πε
电荷线密度
dq 产生的
dq
x
O
θ
r
Q Z dE
由对称性得
Ex = 0
静电场习题课
★基本概念: 基本概念: 基本概念
E
s
u
1
i 0
★基本定理: 基本定理: 基本定理
∫ E ds = ε ∑q
∫ E dl = 0
★基本计算: 基本计算: 基本计算
E
u uab
b a
Wa
Aab = q( ua ub ) = Wa Wb = q∫ E dl
本章内容要点: 本章内容要点:
2
R O
E
x
如果E的方向与 轴垂直并向下 轴垂直并向下, 如果 的方向与OX轴垂直并向下,则穿过半球面 的方向与 的电场强度通量为: 的电场强度通量为:
A:πR E, B : πR E, 1 2 C : πR E, D : 0 2
2 2
(D);( ) );(B) );(
3,在某电场区域内的电场线(实线)和等势面(虚线) ,在某电场区域内的电场线(实线)和等势面(虚线) 如图示,由图判断出正确的为: 如图示,由图判断出正确的为:
l
σR ∴u0 = 4ε0
σ 2πrdr =∫ R/ 2 4πε0 r 2 + x2
R
σ = 2ε0
由对称性, 由对称性, 可知在中心 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 [( R + x ) (R / 4 + x ) ] 处,E =0 0
1,根据高斯定理的数学表达式 ,
∫ E dS = ∑q / ε
λ E= 2πε 0r
λ u = ∫ Edr = ∫ dr πε P r 2 0r
∞ ∞
λ
P
Q
r
R
讨 论
r=R r>R r<R u=0 u< 0 u< 0
发散 选有限远为电势零点( 选有限远为电势零点 Q )
λ λ R uP = ∫ Edr = dr = ln 2πε 0r 2πε 0 r r
R
2.求无限大带电平板的电势分布 2.求无限大带电平板的电势分布 解: 场强分布 σ 2ε0
0
E = u
叠加法 电势的计算 定义法
∑u
i
∫ du
∞ P
uP = ∫ E dl
几种特殊带电体的场强分布 ①无限大带电平面
σ >0
σ E= 2ε 0
σ <0
E
E
②无限长均匀带电细杆
λ E= 2πε 0r
③ 无限长均匀带电圆柱面 E =
E
0
λ 2 0r πε
λr 2πε 0 R2
r<R
r>R
r<R
R R/ 2 0 x P 下 述 做 法 对 否 ? ? X
xdq xσ 2πrdr dE = = 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 4πε0 (r + x ) 4πε0 (r + x )
xσ 2πrdr ∴u = ∫ E dx = ∫ dx 2 2 3/ 2 R/ 2 R/ 2 4 πε0 (r + x )
λ + λ R1
R1 < r < R2 R2
0
电势差
R2
r<R 1
r > R2
λ1 R2 u12 = ∫ Edr = ln 2πε 0 R1 R1
四.电场力的功 电场力的功 q1
求:两点电荷间距由 两点电荷间距由
q2 r 1 q2
r 1
r2 外力做功
q1
r2
解: 外力要克服电场力作功 外力所作的功等于电势能的增加
∞ x
∴u = ∫
σ E dx = [( R2 + x2 )1/ 2 (R2 / 4 + x2 )1/ 2 ] 2ε0
解二:叠加法.电荷元在 解二:叠加法.电荷元在P 点的电势 dq
R R/ 2 0
du =
4πε0l
l
P x X
σ 2πrdr = 2 2 4πε0 r + x
∴u = ∫ du
R R
=E
解一: 解一:定义法
xdq dE = 4πε0 (r 2 + x2 )3/ 2 xσ 2πrdr = 2 2 3/ 2 4πε0 (r + x )
R R
R R/ 2 0 x P X
xσ 2πrdr E = ∫ dE = ∫ 2 2 3/ 2 R/ 2 R/ 2 4 πε0 (r + x ) σR 1 1 xσ , E0 = 0 ∴u0 = [ ] = 4ε0 2 2 2 2 2ε0 R / 4 + x R +x
S
0
可知下述各种说法中,正确的是: 可知下述各种说法中,正确的是: A,闭合面内的电荷代数和为零时,闭合面上各点场 ,闭合面内的电荷代数和为零时, 强一定为零. 强一定为零. B,闭合面内的电荷代数和不为零时,闭合面上各点 ,闭合面内的电荷代数和不为零时, 场强一定处处不为零. 场强一定处处不为零. C,闭合面内的电荷代数和为零时,闭合面上各点场 ,闭合面内的电荷代数和为零时, 强不一定处处为零. 强不一定处处为零. D,闭合面上各点场强均为0时,闭合面内一定处处 ,闭合面上各点场强均为 时 无电荷. 无电荷. (C) )
dq = σds
R
dl = Rdθ
r = R sinθ
2 3
X
ds = 2πR sinθdl
在球心产生的 dE =
π 2
x
x = Rcosθ
xdq 4πε 0 ( x + r )
2 2
xdq = 4πε 0 R3
Rcosθσ 2πR sinθRdθ π 2 σ σ cosθ sinθdθ = ∴E = ∫ = ∫ 3 4ε0 4πε 0 R 0 0 2ε 0
2,有一电场强度为E的均匀电场,E的方向与 轴正 ,有一电场强度为 的均匀电场 的均匀电场, 的方向与 的方向与OX轴正 向平行,则穿过图中一半径为R的半球面的电场强度通 向平行,则穿过图中一半径为 的半球面的电场强度通 量为: 量为:
1 2 A:πR E, B : πR E, 2 2 C : 2πR E, D : 0
Y
cosθ = d
d
x2 + d 2
∴E = Ez = ∫ dE cosθ
b 2
b σ E = 2∫ arctg = 2 2 2πε0 (d + x ) πε0 2d 0
σdx
3.无限大均匀带电平板 无限大均匀带电平板 已知: 已知
x
ρ d
O
求:板内外的场强 板内外的场强 解:平板由许多带电平面构成 平板由许多带电平面构成 场强分布相对于中心线对称
X
由高斯定理 ∫ E ds = ∑qi d ε0 平板内 平板外 sdρ s2xρ 2Es = 2Es =
1
ρx ∴E = ε0
ε0
d x≤ 2
ρ d ∴E = 2ε0
ε0
ห้องสมุดไป่ตู้
d x≥ 2
二.补偿法求场强 补偿法求场强
1.带电圆弧 已知 R = 50cm 带电圆弧 已知: d = 2cm q = 3.12×109 C 求:
+ ρ + 原电荷
空腔
0′ 处
ρ
′ E1ds = E1 4πd 2 = ∫ ′
s
∫ dq
s
ε0
4 3 ρ πd = 3
ε0
0′ 处
′ 0 E2 =
4 3 ρ πd ρd ′ 3 E1 = = 2 4πε0d 3ε0
R
0 Eo
r
Eo′ 0′
ρd ∴Eo′ = E1 = 3ε0
′
d
证明空腔内为均匀电场
E = ER + Er
4 3 4 3 ρ πr1 ρ πr2 = 3 2 r10 + 3 2 r20 4πε 0r1 4πε 0r2
P
r 1
0
0′
r2
d
场强大小, 场强大小,方向 处处相等 与 P 点的位置无关
ρr1 ρr2 = + 3ε0 3ε0
ρ ρ ( r1 + r2 ) = r00′ = 3ε0 3ε0
④无限长均匀带电圆柱体
E=
λ 2 0r πε
r>R
0
⑤均匀带电球面 E =
q 4πε 0r 2
O
r<R
r>R
q
R
qr 4πε 0 R3
r<R
⑥均匀带电球体
E=
q 4 0r 2 πε
r>R
⑦均匀带电圆环轴线上一点
E=
qx 4πε 0 ( x + R ) 2
2 2 3
q
R
O
P
X
x
⑧均匀带电圆平面轴线上一点
q1q2 1 1 ( ) = 6.6×106 J ∴A = W2 W1 = 4πε 0 r2 r1
q1 = 1.5×108 C 取
q2 = 3.0×108 C
r1 = 42cm r2 = 25cm
**例题辨析,一均匀带电的 例题辨析, 例题辨析 圆盘,半径为R, 圆盘,半径为 ,面电荷密度 为σ,今将其中心半径为 ,今将其中心半径为R/2 圆片挖去. 圆片挖去.求剩余圆环在其 轴线上的电势分布? 轴线上的电势分布?在中心 的电势和电场强度各是多大? 的电势和电场强度各是多大? 解:取同心的圆环为电荷 点的E: 元:在P点的 : 点的