2018海淀区高三理科数学二模试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（理科）
2018.5
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()
U A B =
（A ）{1}
（B ）{3,5}
（C ）{1,6}
（D ）{1,3,5,6}
（2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则
（A ）+1z 是实数 （B ）+1z 是纯虚数 （C ）+i z 是实数 （D ）+i z 是纯虚数
（3）已知0x y >>，则
（A ）
11x y
>
（B ）11()()22
x y
>
（C ）cos cos x y >
（D ）ln(1)ln(1)x y +>+
（4）若直线0x y a ++=是圆22
20x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为
（A ）1
（B ）1-
（C ）2
（D ）2-
（5）设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2
2
14
y x -=”
是“C 的渐近线方程为2y x =±”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（6）关于函数
()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是
（A ）
()f x 是奇函数
（B ）0不是()f x 的极值点
（C ）()f x 在(,)22
ππ
-上有且仅有3个零点 （D ）
()f x 的值域是R
（7） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是
（A ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和 （B ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 （C ）求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和 （D ）求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和
（8）已知集合*{|115}M
x x =∈≤≤N ，集合123,,A A A 满足
① 每个集合都恰有5个元素 ②
123A A A M =．
集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为i X （1,2,3i =），则
123X X X ++的值不可能为（
）． （A ）37
（B ）39
（C ）48
（D ）57
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）极坐标系中，点(2,)2
π
到直线cos 1ρθ=的距离为________.
（10）在5
2()x x +的二项展开式中，3x 的系数为 .
（11）已知平面向量a ，b 的夹角为
3
π
，且满足||2=a ，||1=b ，则⋅=a b ，
2+=|a b | .
（12）在ABC ∆中，::4:5:6a b c =，则tan A = .
（13）能够使得命题“曲线22
1(0)4x y a a
-=≠上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边
形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为 . （14）如图，棱长为2的正方体1111ABCD ABC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为_________.
A 1
M
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）
如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2
A π
ωϕ>><
在一个周期内的图象经过
(
,0)6B π
，2(,0)3C π，5(,2)12D π
三点． （Ⅰ）写出A ，ω，ϕ的值；
（Ⅱ）若52(
,)123
ππα∈，且()1f α=，求cos 2α的值．
16. （本小题共13分） 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，
从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生
(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为1x ，2
1s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，2
2s ，试比较1x 与2x ，2
1s 与2
2s 的大小. （只需写出结论）
17. （本小题共14分）
如图，在三棱柱
111ABC A BC -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，
1AC AC ⊥，D ，E 分别是AC ，11BC 的中点．
（Ⅰ）证明：11AC
B C ⊥
（Ⅱ）证明：//DE 平面11AA B B ；
（Ⅲ）求DE 与平面11BBC C 所成角的正弦值.
A
C 1
A 1
C
B 1
B
D
E
18. （本小题共14分）
已知椭圆C ：2214
x y +=，F 为右焦点，圆O ：22
1x y +=，P 为椭圆C 上一点，
且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 两侧.
（Ⅰ）求椭圆C 的焦距及离心率; （Ⅱ）求四边形OFPT 面积的最大值.
19. （本小题共13分）
已知函数
()3ax f x ax =--e （0a ≠）
（Ⅰ）求()f x 的极值； （Ⅱ）当0a >时，设2
11()32
ax g x ax x a =--e .求证：曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线.
20. （本小题共13分）
如果数列{}n a 满足“对任意正整数,i j ，i j ≠，都存在正整数k ，使得k i j a a a =”，则称
数列{}n a 具有“性质P”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d .
（Ⅰ）若12a =，公差3d =，判断数列{}n a 是否具有“性质P”，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，求证：10a ≥且0d ≥；
（Ⅲ）若数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列{}n a 共有
多少个？并说明理由
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准
数 学（理科）
2018.5
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）1
（10）10
（11）1；
（12
（13）答案不唯一，0a <或4a >的任意实数 （14
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分） 解：（Ⅰ）2A =，2ω=，3
π
ϕ=-
． ······································································· 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()2sin(2)3f x x π
=-．
因为()1f α=，所以1
sin(2)32
πα-=． ·
········································· 8分 因为 52(
,)123ππα∈，所以2(,)32ππ
απ-∈． ································· 9分 所以5
236παπ-=， ·
·································································· 11分 所以7
26
απ=， ·
········································································ 12分
所以7cos 2cos 6απ==． ····················································· 13分
16. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：
93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．
其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. ·
· 1分
所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：
6
0.610
=， ································································ 3分 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. ································································································································ 4分
（Ⅱ）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两
名同学两轮测试成绩均大于等于90分. ·
····················································· 5分 由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于
等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. ·
······································ 6分 所以，232631
()155
C P A C ==
=. ························································· 9分 （Ⅲ）12x x =，2
2
12s s >. ·
·································································· 13分
17. （本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为1AB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
所以1AB AC ⊥． ······································································· 1分
因为1AC AC ⊥，1
1AB AC A =，1AB ，1AC ⊂平面11AB C ，
所以AC ⊥平面11AB C ． ······························································ 3分 因为11B C ⊂平面11AB C ，
所以11AC B C ⊥． ·
······································································ 4分 （Ⅱ）法一：取11A B 的中点M ，连接MA 、ME ． 因为E 、M 分别是11B C 、11A B 的中点， 所以ME ∥11AC ，且ME 111
2A C =
． ·············································· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，11AD
AC ，且111
2
AD A C =
， 所以ME ∥AD ，且ME =AD ，
所以四边形ADEM 是平行四边形， ·
············· 6分 所以DE ∥AM ． ·
······································ 7分 又AM ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ， 所以//DE 平面1AA BB ． ·
························· 9分 注：与此法类似，还可取AB 的中点M ，连接MD 、MB 1． 法二：取AB 的中点M ，连接MD 、1MB ． 因为D 、M 分别是AC 、AB 的中点，
所以MD ∥BC ，且MD 1
2
=
BC ． ·················· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，1B E
BC ，且11
2B E BC =
， A
C
1
A 1 C
B 1
B
D
E
M
A C 1
A 1
C
B 1
B
D
E
M
A
C 1
A 1
C
B 1
B
D
E y
x
z
所以MD ∥B 1E ，且MD =B 1E ，
所以四边形B 1E DM 是平行四边形， ·
··········· 6分 所以DE ∥MB 1． ·
····································· 7分 又1MB ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ， 所以//DE 平面1AA BB ． ·
························· 9分 法三：取BC 的中点M ，连接MD 、ME ．
因为D 、M 分别是CA 、CB 的中点，
所以，//DM AB ． ···································································· 5分 在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，
因为E 、M 分别是11C B 和CB 的中点， 所以，1//MB EB ，1MB EB =，
所以，四边形1MBB E 是平行四边形， ·
·········· 6分 所以，1//ME BB ． ··································· 7分
又因为ME
MD M =，1
BB AB B =，
ME ,MD ⊂平面MDE ，BB 1,AB ⊂平面11AA B B ， 所以，平面//MDE 平面11AA B B ． ·············· 8分 因为，DE ⊂平面MDE ，
所以，//DE 平面1AA BB ． ·
······················ 9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，
因为11AC B C ⊥，所以AC BC ⊥． 在平面1ACB 内，过点C 作1//Cz AB ， 因为，1AB ⊥平面ABC ，
所以，Cz ⊥平面ABC ． ·
·························· 10分 建立空间直角坐标系C -xyz ，如图．则
(0,0,0)C ,(2,0,0)B ,1(0,2,2)B ,1(2,2,2)C -,(0,1,0)D ,(1,2,2)E -.
(1,1,2)DE =-，(2,0,0)CB =，1(0,2,2)CB =． ···························· 11分 设平面11BB C C 的法向量为(,,)x y z =n ，则
10
CB CB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ，即20220x y z =⎧⎨+=⎩， 得0x =，令1y =，得1z =-，故(0,1,1)=-n ． ····························· 12分 设直线DE 与平面11BB C C 所成的角为θ，
A
C 1
A 1
C B 1
B
D E
M
则sin θ＝cos ,||||
DE DE DE
⋅<>=
⋅n n
n =
所以直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值为6
. ·························· 14分
18. （本小题共14分）
解：（Ⅰ）在椭圆C ：2
21
4
x y +=中，
2a =，1b =，
所以c == ·
····················································
········ 2分 故椭圆C 的焦距为2c = ·
············································
········· 3分 离心率c e a =
=
． ··································································· 5分 （Ⅱ）法一：设00(,)P x y （00x >，00y >），
则
2
20014x y +=，故220
014
x y =-． ·
················· 6分 所以22222
20003||||||14TP
OP OT x y x =-=+-=，
所以0||TP =， ·
·······················
·········· 8分01||||2OTP S OT TP x ∆=⋅=． ·
···
······· 9分
又(0,0)O ，F ，故00122OFP S OF y y ∆=⋅=． ·
·········
·········· 10分 因此0
0()2
OFP OTP OFPT x S S S y ∆∆=+=+四边形 ·
····················
······
·····
11分
==
由220014x y +=，得1
，即0
01x y ⋅≤
，
所以OFPT S =四边形， ·········································· 13分
当且仅当22
0014
2x y ==，即0x =02
y =
时等号成立. ················· 14分 （Ⅱ）法二：设(2cos ,sin )P θθ（02
π
θ<<
）， ········································ 6分 则2222
22||||||4cos sin 13cos
TP OP OT θθθ=-=+-=，
所以||TP θ=， ·
····················································
··········· 8分 1||||cos 22
OTP S OT TP θ∆=
⋅=． ·
·································
······· 9分 又(0,0)
O ，F ，故012OFP S OF y θ∆=⋅=． ·
··············· 10分
因此(cos sin )2
OFP OTP OFPT S S S θθ∆∆=+=
⋅+四边形 ·
························ 11分
)4πθ=+≤
·········································· 13分
当且仅当4πθ=时，即0x =02
y =时等号成立．
···················· 14分
19. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）法一：'()(1)ax ax f x a a a =⋅-=⋅-e e (0,)a x ≠∈R ， ·
················· 1分 令'()0f x =，得0x =． ······························································ 2分 ①当0a >时，'()f x 与1ax -e 符号相同，
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
②当0a <时，'()f x 与1ax -e 符号相反，
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
综上，()f x 在0x =处取得极小值(0)2f =-. ·································· 7分
法二：'()(1)ax ax f x a a a =⋅-=⋅-e e (0,)a x ≠∈R ， ·
···························· 1分 令'()0f x =，得0x =． ·
····························································· 2分 令()(1)ax h x a =⋅-e ，则2'()ax h x a =⋅e ， ······································· 3分 易知'()0h x >，故()h x 是(,)-∞+∞上的增函数，
即'()f x 是(,)-∞+∞上的增函数． ················································· 4分
所以，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
因此，()f x 在0x =处取得极小值(0)2f =-. ·
································· 7分 （Ⅱ）'()3()ax g x ax f x =--=e (0,)a x >∈R ， ·
···································· 8分 故'()1g x =-⇔()1f x =-． ······················································· 9分
注意到(0)21f =-<-，22()51f a =->-e ，2
2()11f a
--=->-e ，
所以，12(,0)x a ∃∈-
，22
(0,)x a
∈，使得12()()1f x f x ==-．
因此，曲线()y g x =在点111(,())P x f x ，222(,())P
x f x 处的切线斜率均为1-. ································································································ 11分 下面，只需证明曲线()y g x =在点111(,())P x f x ，222(,())P x f x 处的切线不重合. 法一：曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x （1,2i =）处的切线方程为
()()i i y g x x x -=--，即()i i y x g x x =-++．假设曲线()y g x =在点(,())
i i i P x f x （1,2i =）处的切线重合，则2211()()g x x g x x +=+． ·
······························ 12分 法二：假设曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x (1,2i =，12x x ≠)处的切线重合，则
2121
()()
1g x g x x x -=--，整理得：2211()()g x x g x x +=+． ····························· 12分
法一：由'()31i
ax i i g x ax =--=-e
，得2i ax i ax =+e ，则
221112
()(2)322i i i i i i i i g x x ax ax x x ax x a a
+=+--+=--+．
因为12x x ≠，故由2211()()g x x g x x +=+可得122
x x a
+=-．
而12(,0)x a ∈-，22(0,)x a ∈，于是有1222
0x x a a
+>-+=-，矛盾！
法二：令()()G x g x x =+，则12()()G x G x =，且'()'()1()1G x g x f x =+=+. 由（Ⅰ）知，当12(,)x x x ∈时，()1f x <-，故'()0G x <．
所以，()G x 在区间12[,]x x 上单调递减，于是有12()()G x G x >，矛盾！
因此，曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x (1,2i =)处的切线不重合．
········· 13分
20. （本小题13分）
解：（Ⅰ）若12a =，公差3d =，则数列{}n a 不具有性质P ．
······················ 1分 理由如下：
由题知31n a n =-，对于1a 和2a ，假设存在正整数k ，使得12k a a a =，则有
312510k -=⨯=，解得11
3
k =
，矛盾！所以对任意的*k ∈N ，12k a a a ≠． ·
·· 3分 （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，则 ①假设10a <，0d ≤，则对任意的*n ∈N ，1(1)0n a a n d =+-⋅<.
设12k a a a =⨯，则0k a >，矛盾！ ·············································· 4分
②假设10a <，0d >，则存在正整数t ，使得
123120t t t a a a a a a ++<<<⋅⋅⋅<≤<<<⋅⋅⋅
设111t k a a a +⋅=，212t k a a a +⋅=，313t k a a a +⋅=，…，1121t t k a a a ++⋅=，*
i k ∈N ，
1,2,
,1i t =+，则12310t k k k k a a a a +>>>>⋅⋅⋅>，但数列{}n a 中仅有t 项小于等于0，
矛盾！
···························································································· 6分
③假设10a ≥，0d <，则存在正整数t ，使得
123120t t t a a a a a a ++>>>⋅⋅⋅>≥>>>⋅⋅⋅
设112t t k a a a ++⋅=，
213t t k a a a ++⋅=，314t t k a a a ++⋅=，…，1122t t t k a a a +++⋅=，*i k ∈N ，1,2,
,1i t =+，则12310t k k k k a a a a +<<<<⋅⋅⋅<，但数列{}n a 中仅有t 项大于等于0，
矛盾！
···························································································· 8分
综上，10a ≥，0d ≥．
（Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =．
若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n a =恒成立，故对任意的正整数k ， 21220182018k a a a =≠=⋅，
这与数列{}n a 具有“性质P”矛盾，故0d ≠． 设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，设
1()k a x x d =+，2(2)k a x x d =+
则2121()k k a a xd k k d -==-⋅， 因为0d ≠，所以21x k k =-∈Z ，即数列{}n a 的每一项均是整数． 由（Ⅱ）知，10a ≥，0d ≥，故数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数． 由题意知，2018d +是数列{}n a 中的项，故2018(2018)d ⋅+是数列中的项，设2018(2018)m a d =⋅+，则
2018(2018)2018201820172018()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅， 即(2018)20182017m k d --⋅=⨯．
因为2018m k --∈Z ，*d ∈N ，故d 是20182017⨯的约数．
所以，1,2,1009,2017,21009,22017,10092017d =⨯⨯⨯,210092017⨯⨯．
当1d =时，12018(1)0a k =--≥，得1,2,...,2018,2019k =，故 12018,2017,...,2,1,0a =，共2019种可能；
当2d =时，120182(1)0a k =--≥，得1,2,...,1008,1009,1010k =，故 12018,2016,2014,...,4,2,0a =，共1010种可能；
当1009d =时，120181009(1)0a k =-⨯-≥，得1,2,3k =，故
12018,1009,0a =，共3种可能；
当2017d =时，120182017(1)0a k =--≥，得1,2k =，故
12018,1a =，共2种可能； 当21009d =⨯时，120182018(1)0a k =-⨯-≥，得1,2k =，故
12018,0a =，共2种可能；
当22017d =⨯时，1201822017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故
12018a =，共1种可能； 当10092017d =⨯时，1201810092017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故
12018a =，共1种可能；
当210092017d =⨯⨯时，12018210092017(1)0a k =-⨯⨯⨯-≥，得1k =，故
12018a =，共1种可能．
综上，满足题意的数列{}n a 共有201910103221113039+++++++=（种）．
经检验，这些数列均符合题意． ·
······················································· 13分。