北师大版八年级上册 221 平方根(教案)

2.2.1平方根
教学目标
知识与技能：1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根.
过程与方法：在合作交流等活动中,培养合作精神和创新精神.
情感态度与价值观：积极参与教学活动,发展对数学的好奇心和求知欲.
教学重难点
重点：算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个数的算术平方根.难点：对算术平方根的概念和性质的理解.
教学准备
教师准备：挂图、多媒体课件.
学生准备：复习无理数的概念.
教学过程
一：导入新课
[过渡语]知道无理数的存在,上节给出的问题我们需要解决了.
导入一:上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.比如上一节课我们做过的:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大的正方形,那么有a2=2,a=,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过:若x2=a,则a叫x的平方,反过来
x叫a的什么呢?本节课我们一起来学习.
导入二:前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结合图形完
成填空:x2=,y2=,z2=,w2=.
[设计意图]导入一和导入二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学习算术平方根的必要性.能表示x2=2,y2=3,z2=4,w2=5;能求得z=2,但不能求得x,y,w的值.
【说明】导入一是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前启后的作用,导入二是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明学习这节课的必要性.相对而言,建议选用导入二.
二：构建新知
[过渡语]有上一章的勾股定理,我们得到x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,如何求出x,y,z,w是现在所需要考虑的.
一、情境引出新概念
思路一:x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,已知幂和指数,求底数x,y,z,w,你能求出来吗?
思路二:在七年级学习有理数的乘方时,知道自然数的平方,比如12=1,22=4,32=9,…,但是,你能找到哪个数的平方是2吗?哪个数的平方是3吗?哪个数的平方是5吗?那你能估计一下吗?
[设计意图]让学生体验概念形成过程,感受到概念引入的必要性.学生可以估算出x,y是1到2之间的数,w是2到3之间的数,但无法表示x,y,w,从而激发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算——开方.
【说明】无论是导入一,还是导入二,都会激发学生继续往下学习的兴趣,都可以提出同样的问题“已知幂和指数,求底数,你能求出来吗?”
二、在上面思考的基础上,明晰概念
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 就叫做a的算术平方根,记作,读作“根号a”.
特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即=0.
[设计意图]对算术平方根概念的认识,了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的.
三、例题讲解
例1：求下列各数的算术平方根.
(1) 900;(2) 1;(3);(4) 14.
〔解析〕体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是.
解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30.
(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1.
(3)因为,所以的算术平方根是, 即.
(4)14的算术平方根是.
[设计意图]通过对例题的解答,加深学生对算术平方根概念的理解,会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,负数没有算术平
方根.体验求一个正数算术平方根的过程,并为下面的实验应用奠定良好的基础.
例2：自由下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上自由下落,到达地面需要多
长时间?
〔解析〕用算术平方根的知识解决实际问题.利用等式的性质将s=4.9t2进行变形,再用求算术平方根的方法求得题目的解.
解:将s=19.6代入公式s=4.9t2,
得t2=4,所以t==2(s).
即铁球到达地面需要2 s.
【说明】强调实际问题t是正数,用的是算术平方根,此题是为得出下面的结论做铺垫的.观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.
[设计意图]让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:中的a是一个非负数,a的算术平方根也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.
[知识拓展]算术平方根有如下性质:
(1)一个正数a有一个算术平方根,就是.
(2)0有一个算术平方根,就是0.
(3)负数没有算术平方根.
(4)只要有意义,就表示一个非负数,即≥0.
(5)中的a是一个非负数,即a≥0.
三、课堂小结
1.算术平方根的概念,式子中的双重非负性:一是a≥0,二是
≥0.
2.算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.
3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
四、课堂练习
1.若一个数的算术平方根是,那么这个数是. 答案:7
2.的算术平方根是. 答案:
3.的算术平方根是. 答案:
4.若=2,则(m+2)2=.
解析:本题考查算术平方根的定义,掌握表示方法和实质是关键.故填16.
5.求下列各数的算术平方根.
36,,15,0.64,10-4,,.
解:=6, ,,=0.8,=10-2,
, =1.
6.如图所示,从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷.若绳子的长度为5.5米,地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的
距离是4.5米,则帐篷支撑竿的高是多少米?
解:由题意得AC=5.5米,BC=4.5米,∠ABC=90°,在RtΔABC中,由勾股定理得AB=(米).所以帐篷支撑竿的高是米.
五、板书设计
2.2.1平方根
1.情境引出新概念.
2.在上面思考的基础上,明晰概念.
3.例题讲解.
六、布置作业
一、教材作业
【必做题】教材随堂练习第1,3题.
【选做题】教材习题2.3第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】1.填空.(1)81的算术平方根是.
(2)0.1是的算术平方根.
(3)一个正方形的面积变为原来的4倍,它的边长变为原来的倍.
(4)一个正方形的面积变为原来的9倍,它的边长变为原来的倍.
(5)一个圆的面积变为原来的n倍, 它的半径变为原来的倍.
2.求下列各数的算术平方根.
1.96106121
【能力提升】3.的算术平方根,若5是a+1的算术平方根,则a=.
4.一个数的算术平方根等于它本身的2倍,这个数是.
5.x为何值时, 有意义?
【拓展探究】6.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是()
A.a+1B .C.a2+1 D .
7.求一个正数的算术平方根,有些数可以直接求得,如,有些数则不能直接求得,如,但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系,运用规律求得,请同学们观察下表:
n 16
0.1
6 0.001
6
160
16000
…
4 0.4 0.04 40 400 …
(1)表中所给的信息中,你能发现什么规律?(请将规律用文字表达出来)
(2)运用你发现的规律,探究下列问题.
已知≈1.435,求下列各数的算术平方根:①0.0206;②206;③20600.
【答案与解析】
1.(1)9(2)0.01(3)2(4)3(5)(解析:设现在圆的半径为R,原来圆的半径为r,则πR2=nπr2,所以R =r.)
2.解:=1.4,,=11.
3.224(解析:=4,=2;52=a+1,a=2
4.)
4.0或4(解析:设这个数为x,则=2x,所以x=4x2,解得x=0或x=4.)
5.解:由题意得-≥0,所以x≤0.
6.D(解析:一个自然数的算术平方根是a,这个自然数是a2,故该自然数的下一个自然数是a2+1,其算术平方根是.)
7.解析:(1)从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答.(2)根据(1)中的规律解答即可.解:(1)被开方数扩大或缩小102n 倍,非负数的算术平方根就相应地扩大或缩小10n倍;或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位,算术平方根的小数点就向左或向右移动n位. (2)①=0.1435.②=14.35.③
=143.5.
教学反思
本节课通过勾股定理和七年级学过的有理数的平方引入,在学生已有知识的基础上,引入新概念、算术平方根的本质特征.通过练习,可以使学生掌握和理解.
由于学生是第一次接触算术平方根,时间短,可能有的学生不能真正地理解和掌握,或者不能掌握实质,给以后的学习带来很多麻烦.
在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可以对的双重非负性的知识进行适当的拓展.
教材习题答案
随堂练习(教材第27页)
1.解:=6,,,=0.9,.
2.解:AB=.
3.解:AB==
4.8(m).
习题2.3(教材第27页)
1.解:(1)=7. (2). (3)=0.3. (4)-=-8.
2.解:它们的算术平方根依次是11,,1.4,10
3.
3.解:每块地砖的边长是=0.3(m).
4.解:设原正方形的边长为a,变化后的正方形的边长为x.①x2=4a2,所以x=2a(负值舍),故边长变为原来的2倍.②x2=9a2,所以x=3a(负值舍),故边长变为原来的3倍.③x2=100a2,所以x=10a(负值舍),故边长变为原来的10倍.④x2=na2,所以x=a(负值舍),故边长变为原来的倍.
素材
例题：求下列各数的算术平方根.
(1); (2)104; (3);(4)(3-π)2.
〔解析〕前三个是以不同形式给出的几个数,必须先化简,如(1)中=4,(2)中104=10000,(3)中|-169|=169,然后求它们的平方
根,(4)题要特别注意判断π与3的大小.
解:(1)因为=4,所以的算术平方根是2.
(2)因为104=10000,所以104的算术平方根为100.
(3)因为|-169|=169,所以|-169|的算术平方根为13.
(4)因为π>3,所以π-3>0,所以(3-π)2的算术平方根为π-3. [解题策略]出现求类似(3-π)2形式的数的算术平方根时,注意判
断括号内数的正负.求一个式子的算术平方根时,应先求出这个式子的值,再求这个值的算术平方根.。