天津市滨海新区2018-2019学年度第一学期期末测试卷九年级数学 (解析版)

2018-2019学年天津市滨海新区九年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列生态环保标志中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.抛物线的对称轴为
A. 直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线
【答案】A
【解析】解：
，
对称轴为直线，
故选：A．
由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
中，对称轴为，顶点坐标为．
3.下列事件中，是必然事件的是
A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B. 13个人中至少有两个人生肖相同
C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D. 明天一定会下雨
【答案】B
【解析】解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；
B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；
C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；
D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；
故选：B．
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
考查了随机事件解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然
事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事
件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，过点A作
轴于点将以坐标原点O为位似中心缩小为原
图形的，得到，则CD的长度是
A. 2
B. 1
C. 4
D.
【答案】A
【解析】解：点，过点A作轴于点将以坐标原点O为位似中心
缩小为原图形的，得到，
，则CD的长度是：2．
故选：A．
直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
5.已知反比例函数，当时，x的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：反比例函数，
在每个象限内，y随x的增大而减小，
当时，x的取值范围是，
故选：C．
根据反比例函数的性质，可以求得当时，x的取值范围，本题得以解决．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6.在平面直角坐标系中，把点绕原点O顺时针旋转，所得到的对应点
的坐标为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点，
点坐标为，
点的坐标．
故选：D．
将点P绕原点O顺时针旋转，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
7.已知扇形的圆心角为，半径长为5，则该扇形的弧长为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：扇形的弧长，
故选：A．
利用弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，记住弧长公式是解题的关键．
8.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则
：四边形的值为
A. 1：
B. 1：2
C. 1：3
D. 1：4
【答案】C
【解析】解：在与中，
，
∽ ，
：：：4，
：四边形：3．
故选：C．
首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得 ∽ ，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
9.如图，是的外接圆，，的半径为4，
则AC的长等于
A.
B.
C.
D. 8
【答案】A
【解析】解：连接OA，OC，过点O作于点D，
，且，
；
在中，，，
，
．
故选：A．
首先连接OA，OC，过点O作于点D，由圆周角定理可求得的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．
此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大．
10.若点，，在双曲线上，则，，的大小关
系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：点，，在双曲线上，
，分布在第二象限，在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
．
故选：D．
先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
11.如图，已知▱ABCD中，于点E，以点B为中心，
取旋转角等于，把顺时针旋转，得到
，连接若，，
则的大小为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，
，，
，
，
，
于点E，
，
顺时针旋转，得到，
，
．
故选：C．
根据平行四边形对角相等、邻角互补，得，，再由
，可运用三角形外角求出，再根据旋转的性质得到
，从而得到答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出和．
12.当时，函数的最小值为1，则a的值为
A. B. 2 C. 0或2 D. 或2
【答案】D
【解析】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值1，
或，
或，
故选：D．
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值，结合当时函数
有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.把抛物线向左平移1个单位后所得新抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移1个单位后所得新抛物线的解析式为：
．
故答案是：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14.如图所示，点A是反比例函数图象上一点，作
轴，垂足为点B，若的面积为2，则k的
值是______．
【答案】4
【解析】解：点A是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为点B，
；
又函数图象位于一、三象限，
，
故答案为4．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15.如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线
上一点，连接AE，交CD于点F，连接写出图中
任意一对相似三角形：______．
【答案】 ∽
【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，
，
∽ ．
故答案为 ∽ ．
利用平行四边形的性质得到，则根据相似三角形的判定方法可判断 ∽ ．
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了平行四边形的性质．
16.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是的
内接多边形，则______．
【答案】
【解析】解：连接OA，
五边形ABCDE是正五边形，
，
是正三角形，
，
，
故答案为：．
连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
17.如图，在中，，，，将
绕点A逆时针旋转得到，连接，则
的长为______．
【答案】
【解析】解：将绕点A逆时针旋转得到，
，，
，
，
故答案为：
由旋转的性质可得，，可得，根据勾股定理可求的长．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
18.矩形ABCD中，，．
Ⅰ矩形对角线BD的长为______；
Ⅱ点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足 ∽ ，点P，E的对应点分别是点D，C，若是等腰三角形，则PE的长为______．
【答案】10 或3
【解析】解：Ⅰ四边形ABCD为矩形，
，
，
Ⅱ当时，，
∽ ，
，即，
解得，，
当时，点为BD的中点，
，
故答案为：10；或3．
Ⅰ根据勾股定理求出BD即可；
Ⅱ分、两种情况，根据相似三角形的性质计算．
本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19.某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每
天可销售40件商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件若每件商品降价x元，每天的利润为y 元，请完成以下问题的解答．
Ⅰ用含x的式子表示：每件商品的售价为______元；每天的销售量为______件；
Ⅱ求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
【答案】
【解析】解：由题意可知：：每件商品的售价为：元；每天的销售量为：件；
故答案为：，；
根据题意可得：，
，
，
，
函数有最大值，
当时，y有最大值为3200元，此时售价为元，
售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．
根据售价原售价降价可得销量每件商品的售价，根据降价后减少的量可得每天的销售量；
根据每天售出的件数每件盈利利润，即可得到的y与x之间的函数关系式，即可得出结论．
此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．
四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）
20.已知反比例函数的图象位于第一、第三象限．
Ⅰ求m的取值范围；
Ⅱ若点在该反比例函数图象上，求此反比例函数的解析式．
【答案】解：Ⅰ反比例函数的图象位于第一、第三象限．
Ⅱ点在该反比例函数图象上，
反比例函数的解析式为：
【解析】Ⅰ由反比例函数的性质可求m的取值范围；
Ⅱ将点P坐标代入解析式可求m的值，即可求反比例函数的解析式．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，用待定系数法求解析式，熟练运用反比例函数的性质是本题的关键．
21.已知一个不透明的口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个黑球第
一次随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球．
Ⅰ求第一次摸到黑球的概率；
Ⅱ请用列表或画树状图等方法求两次都摸到黑球的概率．
【答案】解：Ⅰ一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个黑球，取出一个黑球；
Ⅱ画树状图得：
共有20种等可能的结果，两次都摸出黑球的6种情况，
两次都摸出黑球的概率为：．
【解析】Ⅰ由一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个黑球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
Ⅱ首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸出黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.如图，在中，，，，，BD是的平分线，
BD交AC于点E．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求AE的长．
【答案】证明：是的平分线，
．
，
，
，
；
解：，
∽ ，
．
，，
，
，
又，
．
【解析】由角平分线的定义可得出，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，进而得出，再由等角对等边可证出；
由可得出 ∽ ，利用相似三角形的性质结合AB，CD的长度可得出，再结合即可求出AE的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是：利用角平分线的定义结合平行线的性质，找出
；利用相似三角形的性质找出．
23.如图，BE是O的直径，点A和点D是上的两点，过点A作的切线交BE
延长线于点C．
若，求的度数；
若，，求半径的长．
【答案】解：连接OA，
是的切线，OA是的半径，
，
，
，，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为r，
，
，
解得：，
的半径为2．
【解析】连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
根据直角三角形的性质解答即可．
此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．
24.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，OA在x轴的负半轴
上，OC在y轴的正半轴上．
Ⅰ若，．
如图1，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转得到矩形，当点A的对应点落在BC边上时，求点的坐标；
如图，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转得到矩形，当点B的对应点落在轴的正半轴上时，求点的坐标；
Ⅱ若，，如图3，设边与BC交于点E，若，请直接写出的值．
【答案】解：Ⅰ如图1中，
四边形ABCD是矩形，
，，，
在中，，
．
如图2中，作轴于H．
，
，
，
，
Ⅱ
，，
∽ ，
，
，
，
在中，，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
．
【解析】Ⅰ如图1，解直角三角形求出即可解决问题．
如图，如图2中，作轴于想办法求出，OH即可．
Ⅱ利用相似三角形的性质求出EC，根据，构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25.如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连
接AB，AC，BC．
求抛物线的表达式；
求证：AB平分；
抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：将，代入得：，解得：，．
抛物线的解析式为．
，，
．
取，则．
由两点间的距离公式可知．
，，
．
．
在和中，，，， ≌ ，
，
平分；
如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为，则．
，，
．
．
．
，
．
同理：．
又，
，
．
点M的坐标为或．
【解析】将，代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
先求得AC的长，然后取，则，连接BD，接下来，证明，然后依据SSS可证明 ≌ ，接下来，依据全等三角形的性质可得到
；
作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作，作，分别交抛物线的对称轴与、M，依据点A和点B的坐标可得到，从而可
得到或，从而可得到FM和的长，故此可得到点和点M的坐标．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和的长是解题的关键．。