一维线性谐振子
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一维线性谐振子
一维线性谐振子
势能为
2
22
1)(x x U μω= 能量本征值 ω )2
1
(+=n E n
),2,1,0( =n 能量本征函数 221
2
( ) ,x n n n N e
H x αψα-=
2
2
()(1)e e ,n n n n
d H d ξ
ξξξ
-=- 2301231, H =2, H =4-2 , H =8-12 ,H ξξξξ=
, 2!n n
m N n ω
α
απ
=
=
（）
递推公式
1111()2()2()0()2()2()0
n n n n n n H H nH H x xH x nH x ξξξξαααα+-+--+=⇒-+=
求导公式1
1()()
2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dx
ξαξααξ--=⇒=
**1111
022n
n
n n n n x x dx dx ψψψψψα∞
-+-∞
⎡⎤+==⋅+=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
，
*
22*2
2
2111(21)2221()
112().222n
n n n n V m x dx m n dx
n E n x m ψωψψωψα
ωω
∞
∞-∞-∞=⋅⋅=⋅⋅++=+==
⎰⎰或者 2.2 利用Hermite 多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下
列关系：111
()()()22n n n d n n x x x dx ψαψψ-+⎡⎤+=-
⎢⎥⎣⎦
22222()(1)()(21)()(1)(2)()2
n n n n d x n n x n x n n x dx αψψψψ-+⎡⎤=--++++⎣⎦证明：Hermite 多项式的求导公式
11()()
2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dx
ξαξααξ--=⇒=， 所以
22
22
22
2
12111111()
[()()2()]
()2()
1()()2()
221
()()22x x n n n n n n n n n n n d x N x e H x e
n H x dx
x x n x n n x x n x n n x x ααψαααααψαψαψψαψαψψ-
-
---+--+=-+⋅=-+⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦⎤+=-⎥
⎦
211
2222221()221112222222(1)(21)(1)(2)2
n n n n n n n n n n d d d n n x dx dx dx
n n n n n n n n n n n ψψψααψψαψψαψψψ-+-+-++=-⎡⎤⎤-+++=---⎢⎥⎥
⎣⎦⎦
⎡⎤=--++++⎣⎦
*
*111()()022n
n n n n d n n p i dx i dx dx ψψψαψψ-+⎡⎤+=-=-⋅-=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰
222
*
22
2
2
2
*2211(21)(21)()224222
n n n n
n p d T dx m m dx
E n dx n n m
m ψψααψψω==-=
+=+=+=⎰⎰
2.3 计算一维谐振子
122
221()()2x x x x x n m ω⎡⎤∆=-=-=+⎣⎦ 1
22
221()()2
p p p p p n m ω⎡⎤∆=-=-=+⎣⎦ 1
()2x p n ∆⋅∆=+， 对于基态， 2
x p ∆⋅∆=。
2.4 一维谐振子处在基态222
2
()x i t x e αωαψπ
-
-=，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ
22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。 （解法一）：
*
22*2
00022
01112221.422V m x dx m dx
E x m ψωψψωψα
ωω
∞
∞-∞-∞=⋅⋅=⋅⋅===⎰⎰或者 222
*00222
0221
442
p d T dx m m dx
E m ψψαω==-===⎰ （二 ）（1）⎰
∞
∞
--==dx e x x U x 2
2
22
222121α
π
α
μωμω
μωμωαμωαπαπ
αμω ⋅==⋅=
2
2
222241212121221 ω 4
1
=
⎰
∞
+--⋅⋅⋅⋅=
122)12(5312
a a n dx e x n
n ax n π
(2) ⎰∞∞
-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*
2ψψμμ ⎰∞∞
----=dx e dx
d e x x
2
22
221
2
22
21
)(21αα
μ
πα ⎰∞
∞
---=
dx e x x 2
2)1(22222αααμ
πα ][22
22
222
22⎰⎰∞∞
--∞∞---=
dx e x dx e x x ααααμ
πα ]2[23222απ
ααπαμ
πα⋅-=
μω
μαμαπαμ
πα⋅
===442222222 ω 4
1
=