随机过程第4章

其中Fn(x) 是Tn的分布函数，它是F(x)自身的n次卷积。
2、更新函数 令m(t)=E[N(t)]，称m(t)为更新函数。显然m(t)是单调递 增的，因而其反函数m-1(t)存在 Theorem： m t Fn t
n 1
Pr oof : m t E N t nP N t n
0 t
是方程 最后证明解的惟一性，设 K
K (t ) H (t ) K (t s)dF (s)
0 t
的解，且满足有界性条件，则
H F K K
连续代换有
H F (H F K ) H F H F (F K ) K H F H F H F K H F H F K
定理二：如果对于计数过程任意相继出现的两个 质点的点间间距 Xn是相互独立，且服从同一个指数分布：
et t 0 f t t0 0
则计数过程构成强度为λ 的泊松过程
自然延伸—更新过程
令{N (t ), t 0}是一个计数过程，而以 X n记这个过程的第 n 1个和第 n个事件（质点）之间的 时间，n 1.
0 t t t


定义（更新方程）如下形式的积分方程称 为更新方程
K (t ) H (t ) K (t s)dF (s)
0
t
其中H(t)，F(t)为已知，且当t<0时， H(t)，F(t) 均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为 适定更新方程，简称更新方程。
二、更新方程的解
n2

H (t ) F H (t ) ( ( Fn 1 F )) H (t )
n2
H (t ) F [ H (t ) ( Fn ) H (t )]
n 1
H (t ) F K (t ) H (t ) K (t s )dF ( s )
定义1：如果非负随机变量列{ X1 , X 2 ,}是独立同分布的，那么计数过程 {N (t ), t 0}称为更新过程。
理解：一个更新过程，其直到第一个事件发生的时间具有某个分布F，第 一个和第二个事件之间的时间独立于的一个事件的时间，且具有相同分 布F ,以此类推，当一个事件发生时，我们说发生了更新。
更新过程及理论
关键词：更新函数， 极限定理， 更新报酬过程， 再生过程
§1 引言与基本定义
以N (t ) t 0表示在时间间隔 0, t 内出现得质点数(事件A发生次数）
N (t ), t 0 是一状态取非负整数、时间连续的随机过程，
称为计数过程。
定义：泊松过程
称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1. N(0)=0； 2. N(t)是独立增量过程； 回顾 泊松过程
3. 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分 布，即对任意s,t≥0，有
P{N(t s) N( s) n} e t
( t ) n , n 0,1, n!
定理一：强度为λ 的泊松流(泊松过程)的点间间距是 相互独立的随机变量，且服从同一指数分布。
t 0, m t
Pr oof F 0 1, 即P X n 0 1 0, 使得 P X n 0, 令 0, 若X n Xn 若X n
N t sup n; Tn X 1 X n t
N t I Tn t
n 1

注： 在有限的时间内不可能有无限多次更新发生。因为 If EX k 0 由强大数定律知，依概率1有
Tn n
n
Then Tn
所以，if n ,
从而，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生，即 有限的时间内最多只能发生有限次更新。
k 1
P Xn
即在这些时刻的更新次数是独立同分布的几何随机变量，其均 值为 1
P X n
1 ，于是在[0,t]内的平 在[0,t]内出现更新的时刻个数不超过 均更新次数 t E N t 1 P Xn




E[
N ( t ) 1

k 1
X k ] E ( X 1 ) E ( N (t ) 1)
E TN (t )1 E X 1 X 2 X N (t ) 1 E[
N ( t ) 1

k 1
X k ] E ( X 1 ) E Nhomakorabea N (t ) 1)
CHAPTER 4 更新过程
第一节 更新过程定义及若干分布
一、更新过程的定义
设{Xn,n≥1}是独立同分布的非负随机变量，分布函数为 F(x)，且F(0)<1（一般情况F(0)=0），令
T0 0, Tn X k
记
k 1
n
N t supn;Tn t 或
称{N(t),t≥0}更新过程。
则
X
n
, n 1
是一个新的更新过程，由于 X n 只取0和 ”第k
两个常数，故过程 N t 只能在 t n , n 0,1, 2, 时刻出现更新。 比如在时刻 出现k次更新，就意味事件“ t Xk 次首次出现，故 P(在时刻
t
的更新次数=k)
P X n
n
F H ( t ) F K (t )] k n
k 1
H (t ) m H (t )
三、瓦尔德（Wald）等式
1，停时：设{Xn,n≥1}为随机变量序列，N为取非负整数的随 机变量。若对一切的n=0,1,2, …，事件{N=n}仅依赖于X1, X2, …, Xn，而与Xn+1 Xn+2,…独立，则称N关于{Xn,n≥1}为停时(Stopping time),或称马尔可夫时(Markov time)。 直观意义：当我们观察诸Xn ，以N表示停止观察前所观察的次数， 如果N=n ，那么，我们是在已经观察X1, X2, …, Xn后，还未观察 Xn+1 Xn+2,…前停止观察。 掷硬币试验的停时：设xn n=1,2,3…相互独立且使得 P(xn=0)=P(xn=1)=0.5,1表示正面，0表示反面。 N=min{n,x1+…xn=10}则N是一个停时。即在连续掷硬币试验过 程中当正面出现10次停止试验。
n 1

P N t n P Tn t
n 1 n 1


Fn t
n 1
Theorem： t 0, F t 1, 有
F t F t m t 1 F t F t
Theorem：N(t)有有限的期望值，即

m(t ) Fn (t )
n 1
M (t ) m(t ) f n (t )
n 1

其中 f n (t ) 是 Fn (t ) 的密度函数。
定理：m(t)和M(t)分别下面的积分方程
m(t ) F t m t s dF s ,
0
t
t0 t 0
M (t ) f t M t s f s ds,
0
t
其中：
f s F s
n 1 n2
Pr oof 1 m t Fn t F t Fn t F t Fn 1 t * F t F t Fn t * F t n2 n 1 F t m t * F t m t F t m t s dF s
0t T 0 0 s T 0t T
sup H (t ) (1 m(T ))
再证K(t)满足更新方程，
K (t ) H (t ) m H (t ) H (t ) ( Fn ) H (t )
n 1
H (t ) F H (t ) ( Fn ) H (t )
t
Xn Xn,
N t N t
E N t E N t
因为，几何分布的各阶矩都存在，所以，我们实际上已证明了
r t 0, r 0, E N t
第二节
更新方程
一、更新方程 设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为 M(t)，则
2 2 3
H ( Fk ) H Fn K
k 1
n 1
因为
(t ) Fn K
0 x t

t
0
(t x)dF ( x) K n

(t x) F (t ) sup K n
m(t ) Fn (t ) , 并且 sup K ( t x ) , 已知 n 1
证明：对第一次更新时刻X1取条件
E TN (t )1 xt x, X1 x x E (TN (t x )1 ), x t
TN (t )1
0
t
x
TN (t )1
0
x
0
t t x
TN (t x)1
记 K (t ) E TN (t )1 , 则
2，Wald等式
Theorem：设{Xn,n≥1}为独立同分布随机变量序列 EX n
N是关于{Xn,n≥1}的停时， EN
N E Xn E N E Xn n1
则
特别， E TN (t ) 1 E X 1 X 2 X N (t ) 1
0 s
0, xt proof 2 E N t X1 x 1 m t x , x t m t E N t E E N t X1 E N t X1 x dF x 0 1 m t x dF x 0 F t m t x dF x
定理：设更新方程中H(t)为有界函数，则
方程存在惟一的在有限区间内有界的解
K (t ) H (t ) H (t s)dm(s)
0
t
证明：先证K(t)有界，因为H(t)有界， m(t) 有界不减，所以，对任何T>0有
0t T T
sup K (t ) sup H (t ) sup H (t s)dm( s)
0 x t
Fn (t ) 0, 所以， lim n
从而
k
(t ) 0, lim Fn K
n
而 lim(
n
F H (t )) F H (t ) m H (t )
k 1 k k 1 n 1
n 1
(t ) H (t ) lim[ 所以， K
N t supn;Tn t max n; Tn t
二、 N(t)的分布及E[N(t)]的一些性质
1、N(t)的分布 因为
N t n Tn t
所以
P N t n P N t n P N t n 1 P Tn t P Tn1 t Fn t Fn1 t