高等数学利用导数知识证明不等式的常用方法

利用导数知识证明不等式的常用方法

一．导数知识包括微分中值定理和导数应用。微分中值定理主要有：Rolle 定理，lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理。它们可以用于以后的定理推证，这里主要用于证明恒等式、不等式、证中值的存在性、根的存在性等问题。导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值、凸性。本次习题课主要讲用它们证明不等式。

一、 例题

1． 利用lagrange 中值公式

例1 证明不等式

ln ,(0)b a b b a a b b a a

--<<<<。 分析 把不等式可以改写成 1()b a b -<ln b -ln a <1a ()b a - 可见中项是函数ln x 在区间[,]a b 两端值之差，而()b a -是该区间的长度，于是可对ln x 在

[,]a b 上使用拉格朗日中值定理。

证 设()f x =ln x ，则'()f x =1x

.在[,]a b 上运用拉格朗日中值公式,有ln b a

=ln b -ln a =1ξ()b a -，()a b ξ<< 又因

111b a ξ<<，于是，有()b a b -<ln b -ln a <b a a - 即 ()b a b -<ln b a <b a a

- ２．－()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．利用函数的单调性

我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调增加，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ϕ，

要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x

例2 试证 x >sin x >2

x π，(0)2

x π<<

分析 改写不等式为 １＞sin x x ＞2π，当x →０时，sin x x →1，当x ＝2

π，sin x x 之值为2π．于是要证的不等式相当于要证函数()f x ＝sin x x 之值介于2π与１之间． 证 考虑函数 ()f x ＝sin ,021,0x x x x π⎧<<⎪⎨⎪=⎩

，

当02x π

<<时，有'()f x ＝2cos sin x x x -＝2cos x x

(tg )x x -0<． 所以，()f x 在(0,)2π内单调减少，又()f x 在[0,]2π

上连续，所以有 (0)()()2

f f x f π>> 即 １＞sin x x ＞2π

或 2sin x x x π>>． 本例也可将联立不等式分为sin x x >与2sin x x π

>两步证明． 2． 利用函数的最值

如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．

例４ 证明不等式

a

x ax -≤1a -(0,01)x a ><<

证：设()f x ＝a x ax --（1a -）则 11()(1)a a f x ax a a x --'=-=-11()(1)a a f x ax a a x --'=-=-()0f x '=

令()0f x '=，得唯一驻点1x =，又当时01x <<，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，从而(1)f 是()f x ，在上(0,)+∞的最大值，即有

()f x ≤(1)f ＝0

所以

a x ax --（1a -）≤0或a x ax -≤1a -(0,01)x a ><<．

５．利用函数图形的凸性

我们知道，在(,)a b 内，若()0f x ''>，则函数()y f x =的图形下凸，即位于区间12[,]x x 中点122

x x -处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有： 1212()()()22

x x f x f x f -+≤ 其中1x ，2x 为(,)a b 内任意两点．等号仅在1x ＝2x 时成立．

例５ 设0,0x y >>，证明不等式ln ln ()ln

2

x y x x y y x y ++≥+ 且等号仅在x y =时成立。

分析 将不等式两边同时除以2，变形为为

ln ln ()ln 222x x y y x y x y +++≥ 便可看出，左边是函数()ln f t t t =在两点x ，y 处的值的平均值，而右边是它在中点2

x y

+处的函数值 这时只需()0f t ''≥即可得证。

证 设()ln f t t t =,即'()f t ＝1+ln t ,1''()0f t t

=>,故由 1[()()]()22

x y f x f y f ++= 得

ln ln ()ln 222x x y y x y x y +++≥， 即ln ln ()ln

2

x y x x y y x y ++≥+ 等号仅在x y =时成立。

导数为不等式得证明提供了不少有效的方法，使用时究竟用哪种方法更合适，很难作出肯定的回答，需要根据不等式的就、具体形式来加以选择，有的可以用多种方法证明。

3． 课堂练习 （1）33x tgx x >+ (0)2

x π<< （2

）13x

>- (1)x > (3) 3

sin 6

x x x x ->> (0)x < (4) 2

ln(1)2

x x x x -<+< (0)x >