2021届高三艺术班数学一轮复习资料 第二章 第10讲 变化率与导数、导数的计算 学生版

其次章 函数、导数及其应用
第10讲 变化率与导数、导数的计算
一、必记3个学问点
1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0Δy
Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0
，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
. (2)导数的几何意义：
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(3)函数f (x )的导函数：
称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )
Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x
)′＝a x
ln_a ，(e x
)′＝e x
，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x
.
3．导数的运算法则 (1)′＝f ′(x )±g ′(x )；
(2)′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡
⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )
[g (x )]2
(g (x )≠0)． 二、必明3个易误区
1．利用公式求导时要特殊留意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区分，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不愿定只有一个，这和争辩直线与二次曲线相切时有差别．
考点一
利用导数的定义求函数的导数
(1)y ＝x 2； (2)f (x )＝1
x ＋2.
考点二 导数的运算
求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；
(2)y ＝e x ＋1
e x －1
.
已知f (x )＝sin 2x ，记f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N *)，则f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 013⎝⎛⎭⎫π6＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π6＝________.
考点三
导数的几何意义
角度一 求切线方程
1．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝－3x －1
C ．y ＝3x ＋1
D ．y ＝－2x －1 角度二 求切点坐标
2．(2021·辽宁五校其次次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )
A ．(0,1)
B ．(1，－1)
C ．(1,3)
D ．(1,0)
角度三 求参数的值
3．(2022·郑州第一次质量猜想)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2
课后作业
1．(2021·江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 做一做
1．(2021·全国大纲卷)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( ) A ．9 B ．6 C ．－9 D ．－6 2．(2022·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 012＋ln x )，f ′(x 0)＝2 013，则x 0＝( )
A ．e 2
B ．1
C ．ln 2
D ．e
3．若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为( ) A ．(1,1) B ．(2,3) C ．(3,1) D ．(1,4) 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.
5．(2022·黄冈一模)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 6．已知点M 是曲线y ＝1
3
x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：。