恒成立问题

一、一次函数型
对于一次函数 有：
例1对于满足 ≤2的所有实数p,求使不等式 恒成立的x的取值范围.
分析:在不等式出现了两个字母x及p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可将p视作自变量,则上述问题可转化为在[-2 ,2]内关于p的一次函数大于0恒成立问题.
解:原不等式可化为(x−1)p+ −2x+1>0 .设f(p)= (x−1)p+ −2x+1,则f(p)在[−2 ,2]上恒大于0,故有 即
第(Ⅱ问是一个恰成立问题,
这相当于 的解集是 .
当 时,由于 时,
,与其值域是 矛盾,
当 时, 是 上的增函数,
所以, 的最小值为 ,
令 ,即
例7、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。
（1）对任意x [-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
解:根据题意得,x+ −2>1在x∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>− +3x在x∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=- +3x .则f(x)=− + ,当x=2时, =2 ,所以a>2
2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.
（2） 时，只需 ，所以， 。
三、利用函数的最值（或值域）
1在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a≥ ;若a≤f(x)恒成立,只须求出 ,则a≤ 转化为函数求最值.
例3：已知函数f(x)= ,若任意x∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
例4、不等式 有解，求 的取值范围。
解：不等式 有解 有解 有解 ，
所以 。
例5、对于不等式 ，存在实数 ，使此不等式成立的实数 的集合是 ；对于任意 ，使此不等式恒成立的实数 的集合为 ，求集合 ．
解：由
又 有解 ，
所以 ．
令 恒成立 ．
所以
、恰好成立
例6、已知 当 的值域是 ,试求实数 的值.
.
解得
二、二次函数型
类型1：设 ，（1） 上恒成立 ；（2） 上恒成立 。
类型2：设
（1）当 时， 上恒成立 ，
上恒成立
（2）当 时， 上恒成立
上恒成立
例2：若不等式 的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
解析本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则 对于所有的 恒成立 对于所有的 恒成立，即 对于所有的 恒成立，令 ，只要 ， ．
易混题
、能成立问题
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；
由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
其
练习题：1、若不等式 对于一切x∈(0 , ]恒成立,求a的取值范围.
2、设 上有意义，求实数a的取值范围. 。
3、当 恒成立，则实数a的范围是____。
4已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若 ，若 对于所有的 恒成立，求实数t的取值范围.
∴ < ,∴− <a<
练习1．已知函数 的定义域为R，求实数 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有 解得 。
所以实数 的取值范围为 。
若二次不等式中 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
2．设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2 [-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：
，由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=- 或-1，易得 ，又f(x)=8(x+1)2-8-k， .故 令120-k≤-21，得k≥141。
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
练习函数 ，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：若对任意 ， 恒成立，
即对 ， 恒成立，
考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得
而抛物线 在 的最小值 得
注：本题还可将 变形为 ，讨论其单调性从而求出 最小值。
四：数形结合法
点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h (x)=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.
（2）据题意：存在x [-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x [-3，3]有解，故h (x)≥0，由（1）知h （x）=k+7，于是得k≥-7。
不等式中恒成立问题的解法研究张磊
高中数学中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离转化为最值型；④数形结合型。
例3、已知函数 ， ， .若 ，且 存在单调递减区间，求a的取值范围；
分析及解只研究第（I）问. ，
则
因为函数 存在单调递减区间，所以 有解.
由题设可知, 的定义域是 ,
而 在 上有解,就等价于 在区间 能成立,
即 , 成立,进而等价于 成立,其中 .
由 得, .于是, ,
由题设 ,所以a的取值范围是
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x (1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1, 1<a 2.
数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。
例4 已知x∈(−∞,1]时,不等式1+ +(a− ) >0恒成立,求a的取值范围.
解令 =t ,∵x∈(−∞,1]∴t∈(0 ,2].所以原不等式可化为 < ,要使上式在t∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)= 在t∈(0 ,2]上的最小值即可.
∵f(t)= = + = − 又t∈(0 ,2]∴ ∈[ )∴ =f(2)=
例6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
当 时，由图可知， 的图象必须过点 或在这个点的上方，则，
综上得：
练习
已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才可以，所以 。
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .
例1、已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围______（答： ）
例2、若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是．
第二个填空是不等式能成立的问题.设 .则关于 的不等式 的解集不是空集 在 上能成立 ,
即 解得 或
（2）存在x [-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
（3）对任意x1、x2 [-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。
解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x [-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h (x)≥0.令h′(x)=6x26x-12=0，得x=-1或2。
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
例5、当x (1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。