(2013海淀一模)2013北京海淀区高三一模数学(理)试题(含答案)

2013北京海淀区高三一模
数 学 （理科）
2013.4
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B = A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{|36}x x <≤ D.{|36}x x ≤<
2.在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为 Ａ.π B.4 Ｃ.4π Ｄ.16
3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ.2- B. 1- C.
1
2
D.2 4.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≤⎩
表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为
Ａ.2- B. 1- C. 0 D.1 5. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A.12-
B.1
2
C.1-
D. 1 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种
7. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||
||
PF PA 的最小值是 A.12
8. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论： ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；
③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
其中，所有正确结论的序号是
A. ①
B.①②
C. ①③
D. ②③
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面上，若复数+ i a b （,a b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 11.如图，AP 与O 切于点A ，交弦DB 的延长线于点P ，
过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒，3,4BC CP ==， 则弦DB 的长为_______.
12.在ABC ∆中，若4,2,a b ==1
cos 4
A =-，则_____,sin ____.c C ==
13.已知函数22, 0,
()3, 0
x
a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.
14.已知函数π
()sin
2
f x x =，任取t ∈R ，定义集合： {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x
满足||PQ ≤.
设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；
（2）函数()h t 的单调递增区间为________.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数2()2cos )f x x x =--. （Ⅰ）求π
()4
f 的值和()f x 的最小正周期；
D C
B
P
A O
（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63
ππ
-上的最大值和最小值.
16.（本小题满分13分）
在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；
（II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10
人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.
17.（本小题满分14分）
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，
AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，
120CDA ∠= ，点N 在线段PB
上，且PN = （Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．
18.（本小题满分13分）
已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值. (I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；
(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.
19.（本小题满分14分）
已知圆M ：2
2
2
(x y r +=（0r >）.若椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的右顶点
为圆M （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，
H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.
20.（本小题满分13分）
设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令
B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，
记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：
1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.
（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；
（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0
n
i i T x ==∑，求T 的最大值.
2013北京海淀区高三一模
数 学 （理） 参考答案及评分标准
2013．4
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
二、填空题（本大题共6小题
,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）
解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--
22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin )x x =-+………………2分 2= 12sin x x -
9．0 10．14 11.
245
12．3, 13．
4
9
1a <≤ 14．2,(21,2), Z k k k -∈
cos2x x =………………4分 π
= 2sin(2)6
x + (6)
分所以
πππ2π()2sin(2)2sin 4463
f =⋅+==分 所以 ()f x 的周期为2π2π
= π||2
T ω=
=………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-
时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666
x +∈- 所以当π6x =-
时，函数取得最小值π
()16
f -=-………………11分 当π6x =
时，函数取得最大值π
()26
f =………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………1分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为
40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)
2.940
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
………………7分
（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分
2621015(16)45C P C ξ===， 116221012
(17)45C C P C ξ===
11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222
104
(19)45C C P C ξ=== 222101
(20)45
C P C ξ===
所以ξ的分布列为
………………11分 所以1512134186161718192045454545455
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯
+⨯= 所以ξ的数学期望为
86
5
………………13分 17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥
………………1分
又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A = ，所以BD
⊥平面PAC ………………3分
又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，
BM =分
在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =
120CDA ∠= ，所以DM =
:3:1BM MD =………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，
PB =
所以:3:1
BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ，
所以AB AD
⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立
如图的空间直角坐标系，
所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P
由（Ⅱ）可知，
y
x
(4,3
DB =- 为平面PAC 的法向量………………10分
4)PC =- ，(4,0,4)PB =-
设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =
,
则00
n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 令3,z =则平面PBC
的一个法向量为n =
………………12分
设二面角A PC B --的大小为θ，
则cos n DB n DB
θ⋅==⋅
所以二面角A PC B --
余弦值为
7
………………14分
18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1
()2f x ax b x
'=++………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值
(1)120f a b '=++=………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x
-+'=，
'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：
………………5分
所以()f x 的单调递增区间为1
(0,)2
,1+∞（
，） 单调递减区间为1(,1)2
………………6分
(II)因为222(1)1(21)(1)
()ax a x ax x f x x x
-++--'==
令()0f x '=,121
1,2x x a
==
………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以211
12x x a
=≠= 当
1
02a
<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，21
02x a
=
> 当
112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1
(,1)2a
上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在1
2x a
=
或e x =处取得 而2111111(
)ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a
=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1
e 2
a =
-………………11分 当11e 2a ≤
<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1
(,e)2a
上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =
-，与21
1e 2x a
<=
<矛盾………………12分 当21
e 2x a
=
≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾
A
B
G H 综上所述，1
2
a e =
-或2a =-. ………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，
因为a =
，
c a =
1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2
212
x y +=………………4分
（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )
由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22
220
y kx
x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122
2
12x x k =-
+………………6分
所以AB ==分
点M
0）到直线l
的距离d =
则GH =分
显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，
所以要使AG BH =，只要AB GH =
所以222
22
8(1)24()121k k r k k +=-++
22424
2
224242
22(1)2(331)2(1)112231231
k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分 当0k =
时，r =分
当0k ≠时，
211
2(1)2(1)3
1322
r k k =+
<+=++
又显然242
12(1)2132r k k =+>++,
<
r ≤<
分 20.解：（Ⅰ）因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数） 故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个………………2分 又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=
所以这些可能值对应的点在以0P
………………4分 （Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合
则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=， 1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，
1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------
两式相加得
1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，
故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，
于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n 一定为偶数………………8分
（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，
依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，
因为0n i i T x
===∑012n x x x x ++++
112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆ ………………10分
因为有3i i x y ∆∆=+，且i i x y ∆∆，为非零整数，
所以当2i x ∆=的个数越多，则T 的值越大，
而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，
则1012(12100)10201T =++++= .
当100n >时，
若*2(50,)n k k k =>∈N ，
此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++ .
若*
21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，
则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+
当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤
则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+- ((100)(99)1)n n +-+-+ 2205100982
n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩
且为偶数，且为奇数.………………13分。