数学培优竞赛新方法-第23讲 几何定值

第23讲 几何定值
知识纵横
几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。

解几何定值问题的基本方法是：
分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。

例题求解
【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的
3
1
. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的
3
1．
【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥；
（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．
【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．
【例4】如图，扇形OAB 的半径3=OA ，圆心角︒=∠90AOB ，点C 是弧AB 上异于B A ,的动点，过点C 作OA CD ⊥于点D ，作OB CE ⊥于点E ，连接DE ，点H G ,在线段DE 上，且HE GH DG ==.
（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；
（2）当点C 在弧AB 上运动时，在DG CG CD ,,中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度； （3）求证：2
2
3CH CD +是定值．
【例5】 如图，已知等边ABC ∆内接于圆，在劣弧AB 上取异于B A 、的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．
以退为进
【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于B A ,两点，交y 轴于D C ,两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为
()8,0,2=-AE ．
（1）求点C 的坐标；
（2）连接BC MG ,，求证：BC MG ∥；
（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时， PF
OF 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
学力训练
基础夯实
1. 阅读下列材料，然后解答问题．
2. 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的
对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 3. 如图，已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为1S ，正四边形ABCD 的面积
为2S ，以圆心O 为顶点作MON ∠，使︒=∠90MON ，将MON ∠绕点O 旋转，
ON OM ,分别与⊙O 相交于点F E ,，分别与正四边形ABCD 的边相交于点H G ,．设
由,,OF OE 弧EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S . （1）当OM 经过点A 时（如图①），则21,,S S S 之间的关系为：=S （用含
1S 、2S 的代数式表示）；
（2）当AB OM ⊥时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；
（3）当MON ∠旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．
4. 如图，在等腰三角形ABC ∆中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AC AB ,相
切，切点分别为E D ,．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AC AB ,于N M ,．求证：CN BM ⋅为定值。

5.如图，已知等边三角形ABC 的周长为a ，P 为其内任一点，AB PD ⊥于D ，BC PE ⊥于E ，AC PF ⊥于F 。

求证：（1）PF PE PD ++为定值；
（2）CF BE AD ++为定值。

6. 已知半径为R 的⊙'O 经过半径为r 的⊙O 的圆心，⊙O 与⊙'O 交于F E ,两点． （1）如图1，连接'OO 交⊙O 于点C ，并延长交⊙'O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线交⊙
O ′于B A ,两点，求OB OA ⋅的值；
（2）若点C 为⊙O 上一动点．
①当点C 运动到⊙'O 内时，如图2，过点C 作⊙O 的切线交⊙O ′，于B A ,两点，则OB OA ⋅的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；
②当点C 运动到⊙'O 外时，过点C 作⊙O 的切线，若能交⊙O 于B A ,两点，如图3，则
OB OA ⋅的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．
能力拓展
7. 如图，内接于圆O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设圆O 的半径为R ，求证：
（1）2
2
2
2
DK CK BK AK +++是定值； （2）2
2
2
2
DA CD BC AB +++是定值。

C
B
A
K
D
O
8.如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD 上任意一点，求证：PB
PC
PA +为定值。

9.如图，已知ABC ∆为直角三角形，BC AC ACB =︒=∠,90，点C A ,在x 轴上，点B 坐标为()()0,3>m m ，线段AB 与y 轴相交于点D ，以()0,1P 为顶点的抛物线过点D B ,． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()EC AC FC +为定值．
10. 如图所示，四边形OABC 是矩形，点C A ,的坐标分别为()()2,0,0,6，点D 是线段BC 上的动点（与端点C B ,不重合），过点D 作直线b x y +-=2
1
交折线OAB 于点E ． （1）记ODE ∆的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；
（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111C B A O ，试探究四边形1111C B A O 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
综合创新
11.如图1所示，以点()0,1-M 为圆心的圆与y 轴，x 轴分别交于点D C B A ,,,，直线
3
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=x y 与⊙M 相切于点H ，交y 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE ，⊙M 的半径r ，CH 的长；
（2）如图2所示，弦HQ 交x 轴于点P ，且2:3:=PH DP ，求QHC ∠cos 的值； （3）如图3所示，点K 为线段EC 上一动点（不与C E ,重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足a MK MN =⋅？如果存在，请求出
a 的值；如果不存在，请说明理由．
12. 小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线()02
<=a ax y 的
性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于B A ,两点，请解答以下问题：
（1）若测得2==OB OA （如图1），求a 的值；
（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作x BF ⊥轴于点F ，测得1=OF ，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标；
（3）对该抛物线，小明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点B A ,的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．。