Tsai氏并联机构工作空间解析及尺度综合

Tsai氏并联机构工作空间解析及尺度综合
陈桂兰;曹毅;王强
【摘要】以Tsai氏异型DELTA并联机构为研究对象，利用螺旋理论进行自由度分析，简化机构并以无量纲参数对其进行运动学分析、空间解析及尺度综合。

利用曲面包络理论求得机构可达工作空间，导出最大内切球优化空间位置与无量纲参数的约束关系。

以雅可比矩阵各列单位化所构成新矩阵乘其转置的行列式作为机构操作性能的衡量指标进行尺度综合，最后得到使机构操作性能最优的无量纲尺度参数。

%The spiral theory is used to do the DOF analysis, simplifying organization, dimensionless parameter kinematic analysis, workspace resolution and dimensional synthesis of Tsai al otype DELTA paral el mechanism. The reachable workspace is obtained based on the curve envelope theory. The constraint relationship between the maximal spherical workspace and the dimensionless pa-rameter is obtained. This paper takes the spheroid as the design space and the determinant of the normalized Jacobian matrix post-multiplied and transposed as the mechanism performance index for the dimensional synthesis, and then the optimal dimensions for the Tsai al otype paral el mechanism are obtained.【期刊名称】《机械制造与自动化》
【年(卷),期】2016(000)005
【总页数】5页(P8-12)
【关键词】并联机构;无量纲参数;工作空间;尺度综合
【作者】陈桂兰;曹毅;王强
【作者单位】江南大学机械工程学院江苏无锡214122;江南大学机械工程学院江苏无锡214122; 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室上海200240;江南大学机械工程学院江苏无锡214122
【正文语种】中文
【中图分类】TH112
相对于传统的串联机构，并联机构在承载能力、刚度、精度和响应速度等方面具有一定的优势[1-2]，但并联机构受到运动副约束、支链干涉、奇异位形、位姿耦合等因素的影响，存在工作空间小的缺点。

Tsai氏并联机构只有3个移动自由度，具有工作空间大、正解运动学简单、定位精度高等优点。

工作空间解析与尺度综合是并联机构运动学原理设计的核心问题[3]。

工作空间解析的方法有几何法和代数法，尺度综合是保证并联机构实现预定工作空间前提下，以操作性能最优为目标确定机构的尺度参数[4]。

针对Tsai氏并联机构的结构特点，以无量纲参数形式，在几何分析、自由度分析及运动学分析基础上，得到工作空间边界曲面解析表达式和最大内切球优化空间位置与无量纲参数的约束关系，然后以此球体为设计空间进行尺度综合，得到机构最优尺度参数。

本文以由Tsai提出的异型DELTA并联机构为例进行研究。

该机构运动数学模型如图1所示。

Tsai氏机构由上下2个正三角形平台和3条完全相同的支链组成。

每条支链由1个定杆和1个平行四边形构成。

在每条支链上，定杆上端与上面的静平台以转动副连接，平行四边形机构及定杆和下面的动平台均以转动副连接。

Tsai氏机构中的4R平行四边形闭环链可用一个单自由度的等效广义移动副替代，
则该机构的支链可看作由4个运动副RRPR组成。

如图1建立支链坐标系，以闭
环点B1为原点，x轴沿B1B2方向，y轴沿四杆闭环面的法线方向。

根据螺旋理
论[5]，得到机构的等效支链运动螺旋系为：
支链约束反螺旋系为：
上式表明，该4R闭环链的每个支链对动平台都施加2个约束力偶，且都垂直于定平台上的转动副轴线。

全部3个支链对动平台共施加6个约束力偶，其中3个是
过约束。

Tsai氏机构有17杆21个运动副，为确定机构存在的全部过约束，对于每个4R
闭环机构，有3个过约束，则3个4R闭环机构有9个过约束，那么3个支链对
动平台共施加12个过约束，μ=12。

根据自由度的修正公式[5]计算自由度：
考虑到3个支链对动平台共施加了3个力偶，约束了动平台的3个转动自由度，
故Tsai氏机构有3个移动自由度。

1) 机构简化
如图1所示，将该Tsai氏机构模型稍加改造，在3个4R闭环链上下两边中点之
间加入3根虚拟杆。

在静、动平台分别建立定坐标系O-xyz和动坐标系O’-
x’y’z’，以静动平台几何中心为原点，Ox轴和O’x’轴分别平行于A1A2和C1C2，Oy轴和O’y’轴分别垂直于A1A2和C1C2。

静、动平台外接圆半径分别为R、r，主动臂AiBi长度为la，从动臂BiCi长度为lb，OAi与x轴夹角为αi，OAi到AiBi转角为θi。

为便于分析，将上述虚拟杆BiCi分别沿O’Ci平移，并交于动平台几何中心，该点记为P，同时主动臂AiBi也沿着O’Ci平移，得到如图2所示的简化模型示意图，同时，以主动臂la为基准，进行无量纲参数分析。

2) 机构逆运动学分析
取单支链为研究对象进行无量纲参数分析，如图3所示，γ0为BoiP与水平面的
夹角，可得以下表达式：
根据几何学关系，可得Aoi和Boi点在定坐标系O-xyz中的位置矢量可以表达为：其中
已知末端点的位置矢量P=[x y z] T，根据BoiP=β，经化简后可推导出以下等式：将式(8)代入式(9)得：
整理并化简以上等式，可得一个关于θi的一元二次方程：
其中，
bi=4z
上述等式中，ai，bi，ci为已知量，式(11)为关于ti的一元二次方程，求解该方程得：
因此，当给定机器人运动平台的位姿，根据式(13)直接可求出驱动臂的张角：
3) 机构正运动学分析
为简便分析，如图4所示，将Boi点替换为B、C、D点，在三棱锥P-BCD中，E 为BC边的中点，H为△BCD的外接圆圆心，则EH⊥BC，又△BCP为等腰三角形，则PE⊥BC，由立体几何三垂线定理，得HP⊥BC。

同理HP⊥CD，则HP⊥底面
△BCD，为底面的垂线。

以上证明了底面垂足为底面三角形的外心。

底面垂足H可表示为：
式中OE=(OB+OC)/2。

式中：|EH|为矢量EH的长度，nEH为EH同向单位矢量，表示为：
同时|EH|
式中：|BH|为地面外接圆半径，其求取方法为：
式中。

式中：a、b、c分别为△BCD三边边长。

于是OH求取完毕，同样，垂线矢量：
式中：|HP|为矢量HP的长度，nHP为HP同向单位矢量，则：
这样，求得了OH和HP。

由式(14)可求得三棱锥顶点坐标，即求得了Tsai氏机构在给定输入条件下的动平台正解。

1) 单开链子空间边界曲面方程
对每个支链，式(7)是关于输入角θi的单参数方程，表示以点Aoi(δcosαi，
δcosαi，0)为圆心，半径为1的圆弧，记作Γi；式(8)则表示以Boi(xi，yi，zi)为球心，半径为β的球面，记作∑i。

当θi变化时，动平台中心P的变化范围是球面∑i的球心Boi沿圆弧Γi连续移动所形成的包络体，其外边界为圆环面，轴线过Aoi，轴线方向为转动副轴线方向，圆弧Γi即为各子空间边界圆环面的中心线，这3条中心线相交于点)，如图5所示。

2)各子空间边界圆环面方程
将式(10)简化为：
其中
mi=2z
分析式(22)得到：
即：
式(25)表示一个空间范围，当式(25)取等号即是该空间边界有关x、y、z的三元方程，即为单开链子空间边界圆环面方程。

3)最大内切球体工作空间
并联机构的工作空间是动平台中心点可以到达的工作区域，它是各支链子空间的交集，其边界也由各支链边界曲面围成，各支链边界曲面的交线形成了工作空间不规则的凸起，在这些位形时机构的运动性能都会变差，为了避开这些位形，通常以可达空间的最大内切规则几何体作为并联机构的设计空间。

如图5所示，各支链子空间边界环面中心线相交于点G，则以G为球心、β为半径的球体必内切于各子
空间，为工作空间的最大内切球体[6]。

如图6表示无量纲参数β=1；δ=-0.202 6；z=-0.979 3对应的工作空间截面等高线图。

因此得到最大设计空间约束，如图7所示。

尺度综合是实现并联机构运动学设计的最终目标，需要在兼顾运动平台实现位姿的能力、运动灵活度、精度、支链干涉多种因素，并以在设计空间内机构的操作性能最优为目标，确定机构的尺度参数。

以文献[7]提出的将雅可比矩阵各列单位化所
构成的新矩阵乘以其转置的行列式作为机构操作性能的衡量指标。

1)机构雅可比矩阵
将式(9)对时间t求导，得到雅可比矩阵:
其中。

；。

2) 无量纲尺度参数综合
机构操作性能衡量指标[7-8]定义为：
式中，。

λ是机构位形及无量纲参数的函数。

要求λ的值最大，那么，无量纲参数机构尺度综合问题归结为：给定设计空间的大小(由β决定)及其位置(由η决定)，以机构尺度参数δ为设计变量，求目标函数λ的最大值。

基于机构的对称性，当输入角相同时，动平台位置是在z轴上进行以下简化。

令：根据正运动学得到P点位置，对于Tsai氏机构的雅可比矩阵J，J’为对角阵，|K|是个系数，都对操作性能指标λ无影响，故：
其中x=cosγ0。

根据图3得：
令=0，舍弃其余不符合条件的解，则有/3，为避免支链干涉现象出现，舍弃γ0中解，则/3，根据三角形定理：
将式(26)带入式(33)，如图8所示得到β与δ的函数关系，但是对于0<β≤1，δ>0的根将会使最大球体积约束中η的值相对变小，机构会出现干涉等不良现象。

那么：
因此保证了机构动平台几何中心点在z轴位置时良好的操作性能，同时满足最大球体积约束。

这些约束以无量纲参数β为自变量得到η和δ的函数，从而使机构得
到优化。

所以，在避免机构支链之间几何干涉的情况下，以无量纲参数β为变量，选择合适的β优化工作空间，完成尺度综合。

图9为不同β在满足最大体积空间
和保证操作性能时的Tsai式并联机构对应的可达工作空间及最大球工作空间。

以Tsai氏异型DELTA并联机构为研究对象，利用螺旋理论进行自由度分析，简化机构并进行无量纲参数分析。

其运动学分析简单，空间解析具有直观的几何描述，求得机构可达工作空间，进而导出最大内切球体工作空间及其位置与无量纲参数的约束关系。

将球体作为设计空间，以雅可比矩阵各列单位化所构成新矩阵乘以其转置的行列式作为机构操作性能的衡量指标进行尺度综合，得到使机构操作性能最优的无量纲尺度参数。

【相关文献】
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2005,36(8):103-105.
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