江苏省洪泽外国语中学2025届高一数学第一学期期末监测试题含解析

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故选 D 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或 和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误 3、C 【解析】由函数是幂函数可得 m2 m 1 1，解得 m 1或 2，再讨论单调性即可得出.
【详解】 f x 是幂函数，m2 m 1 1 ，解得 m 1或 2，
（1）若 f ( ) 1 ，求 cos 2 的值；
3
（2）若 f ( ) 1 ，且 2 ，求 sin 的值
63 6
3
21．已知不等式 ax2 5x 2 0 的解集是 M
（1）若 2M 且 3M ，求 a 的取值范围；
（2）若 M
x
|
1 2
x
2
，求不等式 ax2
5x a2
当 m 2 时， f x x3 ；当 m 1时， f x x6
因为函数 f x 在 0, 上是单调递增函数，故 f x x3
又 a b 0，所以 a b ，
所以 f a f b f b ，则 f a f b 0
故选：A 5、C 【解析】利用指数函数与对数函数的单调性，把各数与中间值 0，1 比较即得
A. x R, x2 1 0
B. x R, x2 1 0
C. x R, x2 1 0 D. x R, x2 1 0
9．已知方程 2x m 0,在区间（-2，0）上的解可用二分法求出，则 m 的取值范围是
A.（-4,0）
B.（0,4）
C.[-4,0]
D.[0,4]
10．函数 y ax 2(a 0且a 1) 图象一定过点
当 m 1时， f (x) x1 在 (0, ) 上是减函数，符合题意，
当 m 2 时， f (x) x5 在 (0, ) 上是增函数，不符合题意，
m 1.
故选：C. 4、A
【解析】由已知条件求出 m 的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可
【详解】由函数 f x m2 m 1 xm22m5 是幂函数，可得 m2 m 1 1，解得 m 2 或 m 1
【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要
借助 y ax 过定点 0,1 解答；(2)对数型：主要借助 y loga x 过定点 1,0 解答.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11、 2 ##-0.4 5
【详解】因为命题 p : x R, x2 1 0 ，所以命题 p 的否定是 x R, x2 1 0 ，
故选：A. 9、B
【解析】根据零点存在性定理，可得 m 4 m 0 ，求解即可. 【详解】因为方程 2x m 0在区间（-2，0）上的解可用二分法求出，所以有 m 4 m 0 ，
. 的 m0，n0，则mn的最大值为
1
1
A.
B.
2
4
1
1
C.
D.
8
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3．已知函数 f (x) m2 m 1 xm2m1 是幂函数，且在 (0, ) 上是减函数，则实数 m 的值是（）
A 1或 2
B.2
C. 1
D.1
4．幂函数 f x m2 m 1 xm22m5 在区间 0, 上单调递增，且 a b 0，则 f a f b 的值（）
A.恒大于 0
B.恒小于 0
C.等于 0
D.无法判断
5．若 a 0.53, b 30.5, c log30.5 ，则 a, b, c 的大小关系是（）
A. a b c
C. b a c
6．命题“
，都有
A.
，使得
B. b c a
D. c b a
”的否定为（）
B.
，使得
C.
，都有
D.
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．棱长分别为 1、 3 、2 的长方体的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的体积为
A. 8 2 3
B. 3 2
C. 8 3 3
D. 4 3
2．函数 y loga x 3 1（ a 0 且 a 1） 图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny 1 0上，其中
15、 2015 【解析】由已知先求得 asin 2018 2018b 2017 ，再求得 f (2018) a sin 2018 2018b 2 ，代入可得所需求的
2 5
1 2
1， 10
又
f
5 2
f
9 2
，即
1 2
a
1 10
，解得 a
2， 5
所以
f
2022a
f
2022
2 5
f
808
4 5
f
4 5
24 55
2， 5
故答案为： 2 . 5
12、 2,1
【解析】
根据指数函数过定点 0,1 ,结合函数图像平移变换,即可得 f x a x2,(a 0, a 1) 过的定点.
故答案为：18 18 3 .
14、 x0 0, .x03 x0 0
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.
【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“ x0 0, .x03 x0 0 ”.
【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.
17．已知函数 f x x a b 是奇函数，且 f 1 2 .
x
（1）求函数 f x 的解析式，并判定函数 f x 在区间 0, 上的单调性（无需证明）；
（2）已知函数
F
x
logc
f
x
9 4
(c
0
且c
1) ，已知
F
x
在
x 2, 4的最大值为
2，求 c
的值.
18．证明：
（1） cos cos cos cos sin sin sin sin ；
方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 AB 的长度为 2 ，则该勒洛三角形的面积是
___________.
14．命题“ x0, ，x3 x 0 ”的否定是______.
15．已知 f (x) a sin x bx 2 ，若 f (2018) 2019 ，则 f (2018) __________.
，使得
7．如图，三棱柱 A1B1C1 ABC 中，侧棱 AA1 底面
述正确的是
，底面三角形
是正三角形， E 是 BC 中点，则下列叙
A. AC 平面 ABB1A1 B. CC1 与 B1E 是异面直线 C. A1C1 / / B1E D. AE BB1 8．命题 p : x R, x2 1 0 ，则命题 p 的否定是（）
6、A
【解析】根据全称命题的否定表示方法选出答案即可.
【详解】命题“
都有
”的否定为：
“
使得
”，所以选项 A 正确.
故选：A.
7、D
【解析】因为三棱柱 A1B1C1-ABC 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC，底面三角形 ABC 是正三角形，E 是 BC 中点， 所以对于 A,AC 与 AB 夹角为 60°,即两直线不垂直，所以 AC 不可能垂直于平面 ABB1A1；故 A 错误； 对于 B,CC1 与 B1E 都在平面 CC1BB1 中不平行，故相交；所以 B 错误； 对于 C,A1C1，B1E 是异面直线；故 C 错误；
（2） 1 sin 2 1 tan
1 cos 2 sin 2
2
19．已知 x 0 ，向量 a 1, x ， b 3,1 .
（1）当实数 x 为何值时， 2a b 与 a 2b 垂直.
（2）若 x 2 ，求 a 在 b 上的投影.
20．已知
f
( )
cos(
) cos( 2
)
sin(2 )
A.( 0,1）
B.（1,0）
C.（0,3）
D.（3,0）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
x a, 1 x 0
11．设
f
x 是定义在
R
上且周期为
2
的函数，在区间 1,1
上
f
x
2 5
x, 0
x
1
,其中 a R
.若
f
5 2
f
9 2
，则
f
2022a 的值是____________.
【解析】根据函数的周期性及
f
5 2
f
9 2
可得
a
的值，进而利用周期性即可求解
f
2022a 的值.
x a, 1 x 0
【详解】为
2 的函数，在区间1,1 上
f
x
2 5
x, 0
x
1
,
所以
f
5 2
f
1 2
1 2
a，
f
9 2
f
1 2
【详解】因为指数函数 f x ax （ a 0 ,且 a 1）过定点 0,1
f x a x2,(a 0, a 1) 是将 f x ax 向左平移 2 个单位得到
所以 f x a x2,(a 0, a 1) 过定点 2,1 .
故答案为： 2,1 .
13、18 18 3
【解析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正
【详解】利用指数函数 y 0.5x 的单调性知： 0 0.53 0.50 1，即 0 a 1 ；
利用指数函数 y 3x 的单调性知： 30.5 30 ，即 b 1；
利用对数函数 y log3x 的单调性知： log30.5 log31 0 ，即 c 0 ；
所以 b a c
故选：C
12．函数 f x a x2,(a 0, a 1) 的图像恒过定点___________
13．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三
角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、
对于 D,因为几何体是三棱柱,并且侧棱 AA1⊥底面 ABC，底面三角形 ABC 是正三角形，E 是 BC 中点，所以 BB1⊥底 面 ABC,所以 BB1⊥AE,AE⊥BC,得到 AE⊥平面 BCC1B1,所以 AE⊥BB1； 故选 D. 8、A 【解析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定.
16．已知函数 f x 图像关于 x 0 对称，当 x2 x1 0 时， f x2 f x1 x2 x1 0 恒成立，则满足
f
2x 1
f
1 3
的
x
取值范围是_____________
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
解得 0 m 4 .
故选 B 【点睛】本题主要考查零点的存在性定理，熟记定理即可，属于基础题型. 10、C
【解析】根据 y ax 过定点 0,1 ，可得函数 y ax 2 过定点 0,3 .
【详解】因为在函数 y ax 2 中，
当 x 0 时，恒有 y a0 2 3 ,
函数 y ax 2 的图象一定经过点 0,3 ，故选 C.
三角形的面积可求得结果.
【详解】由弧长公式可得 AC 2 ，可得 AC 6 ， 3
所以，由 AB 和线段 AB 所围成的弓形的面积为 1 6 2 3 62 6 9 3 ，
2
4
而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，
因此，该勒洛三角形的面积为 S 3 6 9 3 9 3 18 18 3 .
∴函数 y loga x 3 1（ a 0 且 a 1 ）的图像恒过定点 A4， 1 ，
∵点 A 在直线 mx ny 1 0上，∴ 4m n 1，∵ 4m n 2 4m n ，
当且仅当 4m n= 1 ，即 m 1，n= 1 时取等号，
2
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∴ mn 1 ，∴ mn 最大值为 1 ，
1
0 的解集
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A
【解析】球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为 2 2 ，故体积为 4 2 3 8 2 ，选 A.
3
3
2、D
【解析】∵由 x 3 1得 x 4 ，
江苏省洪泽外国语中学 2025 届高一数学第一学期期末监测试题
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。