新教材高中数学第6章平面向量及其应用第1课时余弦定理课件新人教A版必修第二册ppt

NO.3
1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A． 3
B． 2
C． 5
D．5
A [由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2 cos 60°＝3，所以c＝ 3．]
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2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于 ()
A．30° B．60° C．120° D．150° B [由题意知，(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝21，∴A＝60°．]
[跟进训练] 2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶( 3 ＋1)，求△ABC中各 角的度数．
[解] 已知a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令a＝2k，b＝ 6k，c＝ ( 3＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cos A＝b2＋2cb2c－a2 ＝ 6k2×2＋[6 k×3＋ 13k＋]21－k2k2＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°．
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4．
∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，
∴A＝π6，B＝172π，C＝π4．
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应 角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清 晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直 接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
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3．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________． 等腰三角形 [∵a＝2bcos C＝2b·a2＋2ba2b－c2＝a2＋ba2－c2， ∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c， ∴△ABC为等腰三角形．]
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4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝ C,2b＝ 3a，则cos A＝________．
已知三角形的两边及一角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其 余角．
[跟进训练] 1．在△ABC中，a＝2 3 ，c＝ 6 ＋ 2 ，B＝45°，解这个三角 形．
[解] 根据余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3 )2＋( 6 ＋ 2 )2－2×2 3 ×( 6 ＋ 2)×cos 45°＝8，∴b＝2 2， 又∵cos A＝b2＋2cb2c－a2 ＝8＋2× 26＋2×22－6＋2 232＝12， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．
类型2 已知三边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3，求
A，B，C． [解] 根据余弦定理，cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝6＋22×362＋＋24
32－2 3×4 3
62＝ 23．
∵A∈(0，π)，∴A＝π6．
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
1．(变条件)将例题中的条件“(a－ccos B)·b＝(b－ccos A)·a”换 为“acos A＋bcos B＝ccos C”其它条件不变，试判断三角形的形 状．
[解] 由余弦定理知cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝c2＋2ac2a－b2，cos
C＝
a2＋b2－c2 2ab
，代入已知条件得a·
1 2
[∵a2－c2＋b2＝ab，
∴c2＝a2＋b2－ab．
又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴2cos C＝1．∴cos C＝21．]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型1 已知两边与一角解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A＝
π6，则a＝________cm；
c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150°＝ 147＝7 3．]
3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．30° C [由cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－21，∴A＝120°．]
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________．
(2)在△ABC中，若AB＝
5 ，AC＝5，且cos
C＝
9 10
，则BC＝
________．
(1)60 (2)4或5 [(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6 ＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]
2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccos B)·b＝(b－ccos A)·a”换 为“lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2且B为锐角”判断△ABC的形状．
[解] 由lg sin B＝－lg 2＝lg 22， 可得sin B＝ 22，又B为锐角，∴B＝45°． 由lg a－lg c＝－lg 2，得ac＝ 22，∴c＝ 2a．
知识点2 解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C 和它们的 对边a，b，c 叫 做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫做解三角形．
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2 3，C＝150°，则c等于
() A． 39
B．8 3
C．10 2
D．7 3
D [由余弦定理得
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根据余弦定理， c2＝a2＋b2－2abcos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16， ∴c＝4，即第三边长为4．]
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回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)余弦定理的内容是什么？其适用于什么形状的三角形？ (2)解三角形的概念是什么？ (3)如何利用余弦定理判断三角形的形状？
在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝π2成立吗？反之若C＝π2，则c2 ＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示] 成立.因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的 变形cos C＝a2＋2ba2b－c2＝0，即cos C＝0，所以C＝π2；反之若C＝π2，则 cos C＝0，即a2＋2ba2b－c2＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特
例．
()
(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．
(3)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．
() ()
(4)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[解] ∵(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a， ∴由余弦定理可得： a－c·a2＋2ca2c－b2·b＝b－c·b2＋2cb2c－a2·a， 整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2． ∴a2＋b2＝c2或a＝b． 故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
又∵b2＝a2＋c2－2accos B， ∴b2＝a2＋2a2－2 2a2× 22＝a2， ∴a＝b，即A＝B．又B＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形．
如何利用余弦定理判断三角形的形状？ [提示] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思 考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配 方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
cos B＝a2＋2ca2c－b2 ＝2k2＋2×[2k3×＋13k＋]2－1k 6k2＝21， ∵0°<B<180°，∴B＝60°． ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．
类型3 余弦定理的综合应用 【例3】 在△ABC中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断 △ABC的形状．
问题：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？
知识点1 余弦定理
文字表述
三角形中任何一边的平方，等于_其__他__两__边__平__方__的__和__ 减去这两边与它们 夹角的余弦的积 的两倍
符号语言
a2＝_b_2_＋__c2_－__2_b_c_c_o_s_A_； b2＝_a_2_＋__c2_－__2_a_c_c_o_s_B__； c2＝_a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C___
b2＋c2－a2 2bc
＋b·
c2＋a2－b2 2ca
＋
c2－a2－b2 c· 2ab
＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－
b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4．∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2
＝a2＋c2．
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
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[由B＝C,2b＝ 3a，
可得b＝c＝ 23a， 所以cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝234×a2＋2343aa×2－2a32a＝31．]
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5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x －6＝0的根，则第三边c的长为________．
4 [5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0， ∴x1＝35，x2＝－2(舍去)， ∴cos C＝35．
6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理
学习任务
核心素养
1．掌握余弦定理及其推论．(重点) 1．借助余弦定理的推导过程，
2Байду номын сангаас掌握余弦定理的综合应用．(难点) 提升逻辑推理素养．
3．能应用余弦定理判断三角形的形 2．通过余弦定理的应用，培养
状．(易错点)
数学运算素养．
NO.1
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧 道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在 地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的 距离，其中AB＝ 3 km，AC＝1 km，再利用经 纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°．
推论
cos A＝；b2＋c2－a2 2bc
cos B＝；a2＋c2－b2 2ac
cos
C＝
a2＋b2－c2 2ab
在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？ [提示] 不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC 不一定是锐角三角形．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)