2017版《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：3.1导数的概念及运算

第一节 导数的概念及运算
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2014·大纲全国，7)曲线y ＝x e x
－1
在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A.2e
B.e
C.2
D.1
2.(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2014·陕西，3)定积分⎠⎛0
1(2x ＋e x )d x 的值为( )
A.e ＋2
B.e ＋1
C.e
D.e －1 4.(2014·江西，8)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( )
A.－1
B.－13
C.1
3
D.1
5.(2014·山东，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2 B.4 2 C.2 D.4
6.(2014·湖南，9)已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且2π
30
()d f x x ⎰
＝0，则函数f (x )的图象的一条对称
轴是( )
A.x ＝5π6
B.x ＝7π12
C.x ＝π3
D.x ＝π
6
7.(2014·湖北，6)若函数f (x )，g (x )满足1
1
()()d f x g x x -⎰
＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的
一组正交函数.给出三组函数：
①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 1
2
x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
8.(2016·全国Ⅲ，15)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________.
9.(2016·全国Ⅱ，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.
10.(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，
则P 的坐标为________.
11.(2015·湖南，11) ⎠⎛0
2(x －1)d x ＝________.
12.(2015·天津，11)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________.
13.(2015·陕西，16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.
14.(2014·江西，13)若曲线y ＝e －
x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·陕西安康模拟)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A.e 2
B.e
C.ln 2
2
D.ln 2
2.(2016·广东惠州模拟)过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的切线方程为( ) A. x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B. x －y －2＝0
C. x －y ＋2＝0
D. x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0
3.(2016·贵州模拟)若函数f (x )满足f (x )＝1
3x 3－f ′(1)x 2－x ，则f ′(1)的值为( )
A.0
B.2
C.1
D.－1
4.(2015·山东潍坊模拟)已知f (x )＝1
4x 2＋sin ⎝⎛⎭
⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(x )的图象是( )
5.(2015·陕西西安模拟)曲线f (x )＝x 3＋x －2在p 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则p 0点的坐标为( )
A.(1，0)
B.(2，8)
C.(1，0)和(－1，－4)
D.(2，8)和(－1，－4) 6.(2016·河北沧州高三上学期质量检测)已知函数f (x )＝x 33－b 2x 2
＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数
g (x )＝a ln x ＋f ′(x )
a
在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是______.
7.(2016·山东师大附中10月第二次模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e].(其中e 为自然对数的底数)，
则⎠⎛0
e f (x )d x 的值为________.
8.(2015·广东模拟)设球的半径为时间t 的函数R (t )，若球的体积以均匀速度1
2增长，则球的表
面积的增长速度与球半径的乘积为________.
9.(2015·绵阳诊断)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R ). (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围.
10.(2015·湖南十二校联考)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围.
答案精析
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.C [由题意可得y ′＝e x －
1＋x e x －
1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于2，故选C.] 2.D [y ′＝a －1
x ＋1
，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.]
3.C [∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.]
4.B [因为∫10f (x )d x 是常数，所以f ′(x )＝2x ，所以可设f (x )＝x 2＋c (c 为常数)，所以x 2
＋c
＝x 2＋2(13x 3＋cx )|10，解得c ＝－23，∫10f (x )d x ＝∫10(x 2＋c )d x ＝∫10(x 2－23)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－23x |10
＝－13.] 5.D [由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为∫20
(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.] 6.A [由定积分∫2π
3
0sin(x －φ)d x ＝－cos(x －φ)|2π3
0＝12cos φ－3
2sin φ＋cos φ＝0，得tan φ＝
3，所以φ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin(x －π
3－k π)(k ∈Z )，由正弦函数的性质知y ＝sin(x －
π3－k π)与y ＝sin(x －π3)的图象的对称轴相同，令x －π3＝k π＋π2，则x ＝k π＋5π
6(k ∈Z )，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π＋56π(k ∈Z )，当k ＝0，得x ＝5π
6
，选A.]
7.C [对于①，∫1－1sin 12x cos 12x d x ＝∫1－112
sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，∫1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝∫1－1(x 2
－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③， ∫1－1x ·x 2d x ＝∫1－1x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数.选C.]
8. 2x ＋y ＋1＝0 [设x ＞0，则－x ＜0,f (－x )＝ln x －3x ,又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，
f ′(x )＝1
x
－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1.]
9. 1－ln 2 [y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1
x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1).
y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2
x 2＋1
，(设切点横坐标为x 2).
∴⎩⎨⎧
1x 1＝1x 2＋1
，ln x 1
＋1＝ln （x 2
＋1）－x
2x 2
＋1，
解得x 1＝12，x 2＝－1
2
，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.]
10.(1，1) [∵(e x )′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有
⎪⎪⎝⎛⎭⎫1x ′x ＝x 0
＝－1
x 20
＝－1， 又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1).] 11.0
[∫20
(x －1)d x ＝⎝⎛⎪⎪
⎭⎫12
x 2－x 2
0＝12×22－2＝0.]
12.16 [曲线y ＝x 2
与直线y ＝x 所围成的封闭图形如图，由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1，1)，
面积
S ＝∫10x d x －∫10x 2d x ＝
12x 2⎪⎪⎪⎪10－13x 210＝12－13＝1
6
.] 13.1.2 [由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，
设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5，2)代入抛物线方程得a ＝225，故抛物线方程为y ＝225x 2,
抛物线的横截面面积为
S 1＝2∫50
⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝
⎛⎭⎫2x －275x 3⎪⎪⎪5
0＝403(m 2)， 而原梯形上底为10－2
tan 45°
×2＝6(m)，
故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16，S 2S 1＝16
40
3
＝1.2.]
14.(－ln 2，2) [由题意有y ′＝－e －
x ，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e －
m ＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e －(－ln 2)
＝2.]
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.B [f ′(x )＝ln x ＋x ·1
x ＝ln x ＋1.∴ln x 0＋1＝2，得ln x 0＝1，即x 0＝e.]
2.A [由于点(1,－1)在y ＝x 3－2x 上,当(1,－1)为切点时,切线斜率为 y ′|x ＝1＝1,切线方程为y ＝x －2.
当(1,－1)不是切点时,设切点为(x 0，x 30－2x 0)，
可得切线方程为y －x 30＋2x 0＝(3x 20－2)·
(x －x 0)， 又切线过点(1，－1)，可得x 0＝－12
，
故切线方程为5x ＋4y ＝1.]
3.A [因为f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1，令x ＝1得f ′(1)＝1－2f ′(1)－1.所以f ′(1)＝0，故选A.]
4.A [因为f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，且f ′⎝⎛⎭⎫π6<0，故选A.]
5.C [设p 0(x 0，y 0)，则3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1，所以p 0点的坐标为(1，0)和(－1，－4).故选C.]
6.2 [因为a ＞0，b ＞0，又g ′(x )＝a x ＋2x －b a ，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋b
a ≥2，
所以斜率的最小值为2.]
7.－23 [⎠⎛0
e f (x )d x ＝⎠⎛0
1x 2d x ＋⎠⎛1
e 1x
d x ＝13x 3|10－ln x |e
1＝13－1＝－23.] 8.1 [设球的体积以均匀速度c 增长，由题意可知球的体积为V (t )＝4
3πR 3(t )，则c ＝
4πR 2(t )R ′(t )，则c
R （t ）R ′（t ）＝4πR (t )，则球的表面积的增长速度为V
表
＝S ′(t )＝(4πR 2(t ))′＝
8πR (t )R ′(t )＝
2c
R （t ）
，即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为V 表·R (t )＝2c ＝1.] 9.解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2).
(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.
(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，
∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0，∴a ≠－1
2
.
∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－1
2，＋∞. 10.解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14， 曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8，
∴曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －14＝8(x －2)，即8x －y －2＝0. (2)由已知得a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2，设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20
x 3，
∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0，∴g (x )在[1，2]上是减函数.g (x )min ＝g (2)＝9
2，
∴a >9
2，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，＋∞.。