河南省洛阳市2023-2024学年高一上学期10月月考试题 数学含解析

洛阳强基联盟高一10月联考
数学（答案在最后）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合
{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=
（
）
A .
{|0x x ≤<
B.1
{|
3
x x ≤<C.4|
}1
3
{x x ≤< D.{|34}x x ≤<
2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）
A.0∀∈-=R a ax 无实数解
B.0∃∈-≠R a ax 有实数解
C .
0∀∈-≠R a ax 有实数解
D.0∃∈-=R a ax 无实数解
3.下列表示错误的是()
A.{}{,}
a a
b ∈ B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}
-⊆- D.{1,1}
∅⊆-4.“1a >”是“0a >”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（
）
A.12x x ⎧
⎫>⎨⎬⎩
⎭ B.122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
C.
{|0.5x x ≤或}
2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤
⎨⎬⎩
⎭
6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）
A.{m |2<m ≤3}
B.{m |2≤m <3}
C.{m |2≤m ≤3}
D.{m |2<m <3}
7.若1
2x >，则函数2()21
=+-f x x x 的最小值为（）
A. B.1
+ C.4
D.2.5
8.定义集合运算：2
(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，
15(,)63C x y y x ⎧⎫
==-+⎨⎬⎩
⎭，则()A B C ⊕⋂=（
）
A.∅
B.
(){}
4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬
⎪⎝⎭⎩⎭
D.()24,1,6,
3⎧⎫⎛
⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.
9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）
A .
|a |>|b |
B.
11a b <C.ab <b 2
D.
b a a b
<10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（
）
A.
()U
A
B ð B.
()U B B
⋂ð C.()
U A B ⋂ð D.()
U A A B ⋂⋂ð11.“2
3
R,208
x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）
A.0k =
B.30k -<<
C.31
k -<<- D.30
k -<≤
12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）
A.a 2＋b 2≥12
B.ab ≤
14
C.
11a b
+≤4 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．
14.若2312a b <<<<，
，则2a b -的取值范围是____．15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．
16.已知命题:{11}p m m
m ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A
⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：
a b
c a c b
>--.19.已知集合{}
12A x x =-≤≤，()(){}
10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；
（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
20.设集合{
}22
190A x x ax a =-+-=，{
}2
560B x x x =-+=，{
}
2
230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅
()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.
21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣
传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.
（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？22.已知集合(){}1
2
1
2
1
2
=
,+=2,>0,>0D x x x x x x .
（1）求2
2
12x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明
112
223
+≥++a b a b ．
洛阳强基联盟高一10月联考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合
{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=
（
）
A.{|0x x ≤<
B.1
{|
3
x x ≤<C.4|
}1
3
{x x ≤< D.{|34}
x x ≤<【答案】C
【分析】先解不等式，再利用集合的交集运算即可求解.
【详解】因为{}1{|
2}{|04}|31|3M x x x N x x x x ⎧
⎫=<=≤<=≥=≥⎨⎬⎩
⎭，，所以
1
{|4}.
3
M N x x ⋂=≤<故选:C.
2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）
A.0∀∈-=R a ax 无实数解
B.0∃∈-≠R a ax 有实数解
C.0∀∈-≠R a ax 有实数解
D.0∃∈-=R a ax 无实数解
【答案】D 【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是
“0∃∈-=R a ax 无实数解”．故选:D ．
3.下列表示错误的是()
A.{}{,}a a b ∈
B.{,}{,}
a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}
-⊆- D.{1,1}
∅⊆-【答案】A 【解析】
【分析】根据集合间的关系逐项判断即可﹒
【详解】A ：集合之间应该是包含或被包含的关系，∈是元素与集合的关系，故A 错误；B ：集合里面的元素具有无序性，一个集合是它本身的子集，故B 正确；C ：{1,1}-里面的元素都在{1,0,1}-里面，故{1,1}{1,0,1}-⊆-，故C 正确；D ：空集是任何集合的子集，故D 正确﹒故选：A ﹒
4.“1a >”是“0a >”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】
【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】因为11a a >⇔<-或1a >，又1a <-时，不能得出0a >；
0a >时，不能得出1a <-；
所以“1a >”是“0a >”的既不充分也不必要条件.故选:D.
5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）
A.12x x ⎧⎫>
⎨⎬⎩
⎭ B.122x
x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭C.
{|0.5x x ≤或}
2x ≥ D.12x x ⎧⎫
≤
⎨⎬⎩
⎭
【答案】B 【解析】
【分析】直接解一元二次不等式可得答案.【详解】原不等式即为()()2210x x --≤，解得
1
22
x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
.故选：B.
6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）
A.{m |2<m ≤3}
B.{m |2≤m <3}
C.{m |2≤m ≤3}
D.{m |2<m <3}
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A 的元素个数，再求m 的取值范围.【详解】因为A 有8个子集，所以集合A 中含有3个元素，则2<m ≤3.故选:A.
7.若1
2x >，则函数2()21
=+-f x x x 的最小值为（）
A. B.1
+ C.4
D.2.5
【答案】D 【解析】
【分析】由1
2x >，则210x ->，又()121()212212
f x x x =-+
+-，从而利用均值不等式即可求解.【详解】解：因为1
2
x >，所以210x ->，
所以()212115
()2121221222
f x x x x x =+
=-++≥=--，当且仅当()12
21221
x x -=
-，即32x =时等号成立，所以函数2
()21
=+-f x x x 的最小值为2.5，故选：D.
8.定义集合运算：2
(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，
15(,)63C x y y x ⎧⎫
==-+⎨⎬⎩
⎭，则()A B C ⊕⋂=（
）
A.∅
B.
(){}
4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
D.()24,1,6,
3⎧⎫⎛
⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭
【答案】D 【解析】
【分析】求解集合,A B ，令
22
x
=或3，22y =或3，计算,x y 的值，求解A B ⊕，即可计算结果.
【详解】∵{}
14A B x x ==∈<<N ，∴{2,3}A B ==，令
22
x
=或3，22y =或3，则4x =或6,1
y =或32，则22(4,1),4,,(6,1),6,33A B ⎧⎫
⎛⎫⎛⎫⊕=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，因为
15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎩⎭
，故
2()(4,1),6,
3A B C ⎧⎫
⎛
⎫⊕⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭
．故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.
9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）
A.|a |>|b |
B.
11a b <C.ab <b 2 D.
b a a b
<【答案】AD 【解析】
【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答.【详解】因0a b <<，则0a b ->->，即||||a b >，A 正确；因0a b <<，即有0ab >，则
a b
ab ab
<，即11a b >，B 不正确；
因0a b <<，则20ab b >>，C 不正确；
由选项A 知，||||0a b >>，则2
2
b a <，又0ab >，于是得22
b a ab ab
<
，即b a a b <，D 正确.故选：AD
10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（
）
A.
()U
A
B ð B.
()U B B
⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()
U A A B ⋂⋂ð【答案】AD 【解析】
【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，分析元素x 与集合A 、B 、A B ⋂的关系，可得出结果.
【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，则x A ∈且x B ∉，或x A ∈且()
x A B ∉
故阴影部分区域所表示的集合为()
U A B ð或()U A A B ⋂⋂ð.
故选：AD.
11.“2
3
R,208
x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）
A.0k =
B.30k -<<
C.31k -<<-
D.30
k -<≤【答案】ABC 【解析】
【分析】求出不等式恒成立时k 的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解.【详解】由2
3R,208x kx kx ∀∈+-<知，当0k =时，3
08
-<恒成立，则0k =，当0k ≠时，2
Δ30
k k k <⎧⎨
=+<⎩，解得30k -<<，则30k -<<，因此30k -<≤，显然{0}{|30}k k -<≤，{|30}
k k -<<{|30}k k -<≤，{|31}
k k -<<-{|30}k k -<≤，ABC
正确；
而{|30}{|30}k k k k -<≤=-<≤，D 错误.故选：ABC
12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）
A.a 2＋b 2≥12
B.ab ≤
14
C.
11a b
+≤4 D.
【答案】ABD 【解析】
【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：因为(
)()
2
22
21a b a b +≥+=，故可得221
2
a b +≥
，当且仅当1
2a b ==
时取得最小值，故A 正确；对B ：因为()2
1144ab a b ≤+=，当且仅当12
a b ==时，取得最大值，故B 正确；
对C ：0,0a b >>，又
()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，
当且仅当1
2
a b ==
时取得最小值，故C 错误；
对D ：0,0a b >>，又2
2
2
22⎛⎫=+≥ ⎪⎝
⎭
，
+≤，当且仅当1
2
a b ==
时取得最大值，故D 正确；故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．【答案】充分【解析】
【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.【详解】解：因为A B ⊆，所以当x A ∈时，则x B ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件．故答案为：充分
14.若2312a b <<<<，
，则2a b -的取值范围是____．【答案】()25，
【解析】
【分析】直接利用不等式的性质计算即可.【详解】23a << ，426a ∴<<①，又12b << ，21b ∴-<-<-②，①+②可得225
a b <-<即2a b -的取值范围是()25，故答案为：()25，
15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．【答案】9【解析】
【分析】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构
成的集合，利用韦恩图法可求得结果.
【详解】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，如下图所示：
由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为()501515119-++=.故答案为：9.
16.已知命题:{11}p m m
m ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.
【答案】{|0a a ≤或5}
a ≥【解析】
【分析】
根据命题p 为假命题，转化为{11}m m
m ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，即可求解.【详解】因为命题“:{11}p m m
m ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+”且命题p 是假命题，可得命题“:{|11}p m m m ⌝∀∈-≤≤，2532a a m -+≥+”为真命题，
即{11}m m
m ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，可得2533a a -+≥，即250a a -≥，解得0a ≤或5a ≥，
即实数a 的取值范围是{|0a a ≤或5}a ≥.
故答案为：{|0a a ≤或5}a ≥.
【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，
（1）分别求(),()R R A B B A
⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围
【答案】（1）(){
R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥；（2）[3,8]a ∈.【解析】
【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；
（2）根据集合的包含关系得到319
a a ≥⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】解：（1）因为{36}A B x x ⋂=<<，所以(){
R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，因为{
R 3B x x =≤ð或}9x ≥，，所以{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥.（2）因为C B ⊆，所以319
a a ≥⎧⎨+≤⎩，解之得38a ≤≤，所以[3,8]a ∈．18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；
（2）已知0c a b >>>，求证：a b c a c b >--.
【答案】（1）2222x x x x ->+-；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过做差来比较大小即可；
（2）通过做差来证明即可.
【详解】（1）()()222
22221021x x x x x x x --=-+--+=+>,2222x x x x ∴+-->；
（2）()()()()()()()
a c
b b
c a c a b a b c a c b c a c b c a c b -----==------，0c a b >>> ，
0,0,0c a c b a b ∴->->->，
0a b c a c b ∴
->--，即a b c a c b
>--，证毕.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}
10B x x a x a =---<，a ∈R.
（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；
（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()
0,1（2）[]
1,1-【解析】
【分析】（1）将元素1代入集合B 中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【小问1详解】
若1B ∈，则()10a a --<，解得01a <<，即实数a 的取值范围()
0,1【小问2详解】由题知，{}12A x x =-≤≤，()(){}{}
101B x x a x a x a x a =---<=<<+，因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，
即112a a ≥-⎧⎨+≤⎩
，解得11a -≤≤.即实数a 的取值范围是[]1,1-.
20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；
（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.
【答案】（1）5
（2）3-【解析】
【分析】（1）首先求出集合B ，依题意可得A B =，从而得到2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，利用韦达定理计算可得；
（2）首先求出集合C ，依题意可得A B ⋂≠
∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即可求出a 的值，再检验即可.
【小问1详解】由题可得{}
{}25602,3B x x x =-+==，由A B A B = ，得A B =.从而2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，即2232319a a +=⎧⎨⨯=-⎩
，解得5a =.
【小问2详解】
因为{}2,3B =，{}
{}22301,3C x x x =--==-.因为∅()A B ，所以A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，
即242190a a -+-=，22150a a --=，解得5a =或3a =-.
当5a =时，{}2,3A =，则A C ⋂≠∅，不符合题意；
当3a =-时，{}5,2A =-，则∅
{}2A B ⋂=且A C ⋂=∅，故3a =-符合题意，
综上，实数a 的值为3-.
21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.
（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？
【答案】（1）900cm
（2）选择长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少
【解析】
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及60x =可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形ABCD 的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【小问1详解】
设阴影部分直角三角形的高为y cm ，
所以阴影部分的面积163360002
S xy xy =⨯
==，所以12000xy =，又60x =，故200y =，
由图可知20220AD y =+=cm ，350230AB x =+=cm.
海报纸的周长为()2220230900⨯+=cm.
故海报纸的周长为900cm.
【小问2详解】
由（1）知12000xy =，0x >，0y >，
()()
350203605010003100049000ABCD S x y xy x y xy =++=+++≥++=，当且仅当65x y =，即100x =cm ，120y =cm 时等号成立，
此时，350AB =cm ，140AD =cm.
故选择矩形的长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少.
22.已知集合(){}121212=
,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；
（2）对任意(),a b D ∈，证明
112223+≥++a b a b ．【答案】（1）2
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式可求得2212x x +的最小值；
（2）分析可知()()12216
a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，将代数式1122a b a b +++与()()1226a b a b +++⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立.
【小问1详解】
解：因为10x >，20x >且122x x +=，
所以，()2
2221212121224222x x x x x x x x +⎛⎫+=+-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==时，等号成立，故2212x x +的最小值为2.
【小问2详解】
解：由题意可知0a >，0b >且2a b +=，所以，()()12216
a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，
故()()111112222622a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
12212
2262263a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，
当且仅当==1a b 时，等号成立，故原不等式得证.。