著名机构初中数学培优讲义平行四边形.第01讲(A级).教师版

内容
基本要求
略高要求
较高要求
平行四边形 会识别平行四边形
掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质及判定解决简单问题 会运用平行四边形的性质及判定解决
有关问题
一、平行四边形的性质
平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等． 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形． 平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍． 平行四边形的面积：底乘以高．
二、平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
一、平行四边形的性质
【例1】 如图所示，已知四边形ABCD ，从⑴AB DC ∥；⑵AB DC =；⑶AD BC ∥；⑷AD BC =；⑸
A C ∠=∠；⑹
B D ∠=∠中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合。

知识点睛
例题精讲
中考要求
平行四边形
B
C
【解析】 本题6个条件中任取2个，共有15种组合情形，其中能证明是平行四边形的有9种情况： ① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵；
⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹． 【答案】① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵；
⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹．
【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF BC GH AB EF ∥，∥，与GH 相交于点O ，图中共有 个
平行四边形
O H
G
F E
D
C B
A
【解析】省略
【答案】9个
【例3】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 【解析】省略 【答案】B
【例4】 如图，在平行四边ABCD 中，AC 、BD 为对角线，6BC =，BC 边上的高为4，则阴影部分的
面积为（ ）．
A ．3
B ．6
C ．12
D ．24
(1)
D
B
【解析】利用平行线的性质及割补法可得C ．
【答案】C
【例5】 如图，在平行四边ABCD 中，已知8cm AD =，6cm AB =，DE 平分ADC ∠
交BC 边于点E ，则BE 等于 cm ．
E C
B
【解析】过E 作EF AB ∥交AD 于点F ，由于DE 平分ADC ∠，有ADE EDC CED FED ∠=∠=∠=∠
即，6EF FD EC AB ====，即2BE AF AD AF ==-=
F
E D
C
B A
【答案】见解析
【例6】 如图，在平形四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A ∠=︒，则BCE ∠= ．
E
D
C
B
A
【解析】过A 作AF CE ∥交CD 于点F ，可得四边形AECF 为矩形，从而有(BCE AFD HL ∆∆≌）
则1259035o o o BCE FAD ∠=∠=-=
【答案】见解析
【例7】 如图，平行四边形ABCD 的周长是28cm ，ABC △的周长是22cm ，则AC 的长为 ．
D
C
B A
【解析】略 【答案】8cm
【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，35AB BC AC ==，，的垂直平分线交AD 于E ，则CDE △的
周长是
E
D
C
B
A
【解析】由中垂线定理可知AE =EC ，则CDE △的周长为8AD CD += 【答案】8
【例9】 M 为平行四边形ABCD 两个角平分线AM 和BM 的交点，AM 3=，4BM =，平行四边形ABCD 的周
长为18，则BC = ．
M
D
C
B
A
【解析】由于AM 、BM 均为角平分线，故90o AMB ∠=，则由勾股定理可得AB =5
即可得BC =4
【答案】4
【例10】 平行四边形的两个邻边得长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则短边间的距离
为 ． 【解析】由平行四边形面积公式即可得
【答案】10
【例11】 如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，若4,6AE AF ==，平行四边形
的周长为40，则平行四边形ABCD 的面积为 。

F
E
D
C
A
B
【解析】连接AC ，将平行四边形面积分为两个面积相等的三角形的面积和
可设BC x =，则20CD x =-，有46(20)x x =-，可得12BC =，8CD =
则平行四边形的面积为：(124)/2(86)/248⨯+⨯=
【答案】48
【例12】 如图，平行四边形ABCD 中，BE CD ⊥于E ，BF AD ⊥于点F ，2,1,60,CE DF EBF ==∠=︒则
平行四边形ABCD 的面积为 。

F
E
D C
A B
【解析】由于60EBF ∠=︒且BE CD ⊥，则30ABF ∠=o ，60A ∠=o ，30EBC ∠=o
又有2CE =，可得4CB =。

又由1DF =
，可得BF =
则平行四边形的面积为：4⨯
【答案】
【例13】 如图，点E F ，是平行四边形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =，那么AF 和CE 相等吗？请说
明理由
2
1
F
E
D
C
B A
【解析】因为ABCD 是平行四边形 所以AD BC AD BC =，∥
所以12∠=∠，又因为1180ADF ∠+∠=︒，2180EBC ∠+∠=︒ 所以ADF EBC ∠=∠ 又因为BE DF =，
所以ADF CBE ∆∠≌，所以AF CE =
【答案】AF CE =
【例14】 已知如图：平行四边形ABCD 中，CN AM =，AE CF =，求证：四边形MENF 是平行四边形．
F E
N
M D C
B
A
【解析】AME △CFN ≌△，得到,NF EM EF EM =∥，即四边形MENF 是平行四边形 【答案】略
【例15】 已知如图：BAD DAC ∠=∠，BE MN ∥，BN EM ∥，求证：AM BN =．
N
M
E
D
C
B
A
【解析】BE MN ∥，BN EM ∥，四边形BNME 为平行四边形，平行加角平分线得出AME △为等腰三角
形，然后根据NB ME =，故AM BN = 【答案】略
【例16】 如图，,E F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF =.
求证：（1）ADF
∆≌CBE
∆；
（2）EB DF
∥.
A
F
E
D C
B
【解析】（1）∵AE CF
=，
∴AE EF CF FE
+=+，即AF CE
=.
又∵ABCD是平行四边形，
∴,
AD CB AD BC
=∥.
∴DAF BCE
∠=∠.
∴ADF
∆≌CBE
∆
（2）∵ADF
∆≌CBE
∆
∴DFA BEC
∠=∠.
∴DF EB
∥.
【答案】（1）∵AE CF
=，
∴AE EF CF FE
+=+，即AF CE
=.
又∵ABCD是平行四边形，
∴,
AD CB AD BC
=∥.
∴DAF BCE
∠=∠.
∴ADF
∆≌CBE
∆
（2）∵ADF
∆≌CBE
∆
∴DFA BEC
∠=∠.
∴DF EB
∥.
【例17】如图，已知：在平行四边形ABCD中，BCD
∠的平分线CE交边AD于E，ABC
∠的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE DG
=．
F G
E D
C
B
A
【解析】⑴①（答案不惟一）
⑵∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AD BC
∥，AB CD
=（平行四边形的对边平行且相等）
∴GBC BGA
∠=∠，BCE CED
∠=∠（两直线平行，内错角相等）
又∵BG平分ABC
∠，CE平分BCD
∠（已知）
∴ABG GBC
∠=∠，BCE ECD
∠=∠（角平分线定义）
∴ABG AGB
∠=∠，ECD CED
∠=∠．
∴AB AG
=，CE DE
=（在同一个三角形中，等角对等边）
∴AG DE
=
∴AG EG DE EG
-=-，即AE DG
=
【答案】⑴①（答案不惟一）
⑵ ∵四边形ABCD 是平行四边形（已知）
∴AD BC ∥，AB CD =（平行四边形的对边平行且相等） ∴GBC BGA ∠=∠，BCE CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 又∵BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠（已知） ∴ABG GBC ∠=∠，BCE ECD ∠=∠（角平分线定义） ∴ABG AGB ∠=∠，ECD CED ∠=∠．
∴AB AG =，CE DE =（在同一个三角形中，等角对等边） ∴AG DE =
∴AG EG DE EG -=-，即AE DG =
【习题1】如图，四边形ABCD 为平行四边形，即AB CD ∥，AD BC ∥．通过证明三角形全等来说明：
⑴AB CD =，AD BC =．（对边相等） ⑵AO CO =，BO DO =．（对角线互相平分）
O
D
C
B
A
【解析】省略
【答案】⑴ ∵AB CD ∥，AD BC ∥
∴ABD CDB ∠=∠，ADB CBD ∠=∠ 在ABD ∆和CDB ∆中， ABD CDB
BD DB
ADB CBD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ABD CDB ∆∆≌ ∴AB CD =，AD BC =． ⑵ 在ABO ∆和CDO ∆中，
ABO CDO AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴AO CO =，BO DO =．
【习题2】在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，
点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）
A ．2
B ．35
C ．5
3
D ．15
课后作业
【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得C ． 【答案】C
【习题3】如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ∥，在AB 上截取BF AE =，连接DE EF ，
，求证：四边形BDEF 是平行四边形
F
E
D
C
B
A
【解析】省略
【答案】因为AD 平分BAC ∠ 所以BAD CAD ∠=∠
因为DE AB ∥，所以BAD ADE ∠=∠ 所以EAD ADE DE AE ∠=∠=， 因为BF AE =，所以DE BF =
因为DE BF ∥，所以BDEF 是平行四边形
【习题4】如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 是AC 上任意一点，EF ∥AB ，DF ∥BE ．求证：DF
与AE 互相平分．
F
E
D
C
B A
F
E
D
C
B A
【解析】省略
【答案】连结AF 、DE ．
∵EF ∥AB ，DF ∥BE ，∴四边形BDFE 是平行四边形 ∴EF BD =
∵AD BD =，∴AD EF =
∵AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形
∴DF与AE互相平分。