部编人教版九年级数学下册《比例性质、黄金分割》教案-新版

27.1 比例性质、黄金分割
一、教学目标 1．核心素养
通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力． 2. 学习目标
（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题． （2）知道黄金分割的定义，并能运用. 3．学习重点
（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质． （2）了解黄金分割的意义，并能运用. 4．学习难点
运用比例的基本性质解决有关问题；黄金比，找黄金分割点. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务
任务1 上网学习，思考：什么是比例的基本性质？什么是合比性质？什么是等比性质？怎么推导？
任务2 上网学习，思考：什么是黄金分割？黄金比是多少，怎么得来？黄金分割有怎样的应用？ 2．预习自测
1.已知
23a b =，则a b b +的值为（ ） A.23 B.34 C.53 D.35
【知识点:比例性质】 答案：C 解析：略
2.已知点M 是线段AB 的黄金分割点(AM>BM)，若AB=8cm ，则AM 的长为（ ） A.(4 5 –4)cm B.(12-4 5 )cm C.(2 5 –2)cm D.(6-2 5 )cm 【知识点:黄金分割】
答案：A 解析：略
3.若x ：6=(5+x)：8,则x=______. 【知识点:比例基本性质】 答案：x=15 解析：略 （二）课堂设计 1．知识回顾
（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.
（2）比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

（3）比例：表示两个比相等的式子叫做比例. 2．问题探究
问题探究一 什么是比例的基本性质？
●活动1 交流学习，合作探究
探究：已知80：2=200∶5，仔细观察：两个外项和两个内项，你发现了什么？ 两外项积是：80×5＝400 两内项积是：2×200＝400
验证：6:10=9:15，463121：
：=，6
4
4530=，2.4：3=5.6：7. 归纳：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．这叫做比例的基本性质. 比例的基本性质：若四条线段满足
a c
b d
=，则有ad=bc ． ●活动2 探究：已知 a·d=b·c ，你能得到哪些比例式?
a c a
b b d
c
d d b d c c a b a c d c a a b d b b d b a a c d
c
==
====== 对调内项或外项后，比例依然成立!!
80 × 5=2 ×200
归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b
c d a c d c
b d b a
d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩
交换内项交换外项同时交换内外项
反比性质(把比的前项、后项交换)：
a c
b d b d a c
=⇔=． ●活动3 例题讲解，比例基本性质的应用 例1：判断：5x=6y ，则x ：y=5：6（ ） 【知识点:比例基本性质】
解：× 由比例的基本性质得6x=5y ，与已知5x=6y 不符，所以错误.
点拨：在改写比例时，x 作外项，和x 相乘的5一定也作外项。

把ax=by 改写成比例式后，a 和x 必须同时为外项，或同时为内项。

例2.已知1.3：x=5.2：(x+30), 则x=________. 【知识点:比例基本性质】
解：由比例的基本性质得5.2x=1.3(x+30)，解得x=10. 点拨：由比例的基本性质转化为解方程. ●活动3 应用练习
1.把1.6、6.4、20和5四个数组成比例式，应为______________. 【知识点:比例基本性质】
解：答案不唯一，如1.6：6.4=5：20. 2.已知
3
5x
=6y ，则y ：x=________ ． 【知识点:比例基本性质】 解：5：18 由
53
x
=6y ，得5x=18y ，由比例的基本性质y ：x=5：18. 问题探究二 什么是合比性质？什么是等比性质？
●活动1 让学生通过计算、推理证明，得出合比性质. 合作探究：
（1）已知
d c b a ==3,求
b b a +和d d
c +； （2）如果
d c b a ==k （k 为常数），那么d d
c b b a +=
+成立吗？为什么？ （3）如果d c b a =，那么d
d
c b b a -=
-成立吗？为什么？
在学生的分析、讨论下，可得出;
（1）∵
d
c
b a ==3，∴a=3b ，c=3d ，则43=+=+b b b b b a ，43=+=+d d d d d
c ． （2）∵d
c
b a ==k ，∴a=kb ，c=kd ，∴1+=+=+k b b kb b b a ，1+=+=+k d d kd d d
c ， ∴d
d c b b a +=
+． （3）∵d
c
b a ==k ，∴a=kb ，c=kd ，∴1-=-=-k b b kb b b a ，1-=-=-k d d kd d d
c ， ∴
d
d
c b b a -=-． 归纳：合比性质：如果
d
c
b a =，那么d d
c b b a ±=±． ●活动2 引导学生探究，得出等比性质. 探究1：如图
HG AD FG CD EF BC HE AB ,,,的值相等吗？HG
FG EF HE AD
CD BC AB ++++++的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
分析：由已知可得
2====HG
AD
FG CD EF BC HE AB ，所以 2)
(22222=++++++=++++++=++++++HG
FG EF HE HG FG EF HE HG FG EF HE HG FG EF HE HG FG EF HE AD CD BC AB ．
发现：若干个比的比值相等，且所有分母的和不为0,则所有分子的和与所有分母的和之比值与原来这些比的比值相等。

探究2：如果
d c b a ==f
e =…=n m
（b +d +f…+n ≠0）, 那么
b
a n f d
b m e
c a =++++++ 吗？ 解：设比值法：
,,,.
a c
m
k a bk c dk m nk b d
n
==
=
====设：那么
()a c m bk dk nk k b d n a
k b d n b d n b d n b
+++++++++====+++++++++代入得：
归纳：等比性质：如果d c b a ==f e =…=n m
（b +d +f…+n ≠0）,那么
b a n f d b m e
c a =++++++ ． ●活动3 例题讲解
例1.若
1119=+y y x ，则_____=y x ；_____=-y
y
x ． 【知识点:合比性质】 解：∵1119=+y y x ，由合比性质，得118=y x ，113
11118-=-=-y y x ． 例2.若
3===f e d c b a ，则.____22_____,=+-+-=++++f
d b
e c a
f d b e c a 【知识点:等比性质】 解：∵
3===f e d c b a ，∴.322,3=+-+-=++++f
d b
e c a
f d b e c a ●活动3 应用练习 1.已知
57=b a ，则_____=+b b a ，_____3=-b
b a ． 【知识点:合比性质】 解：
512557=+=+b b a ，3735855
a b b --⨯==-. 2.若
43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a ，______3232=-+-+f
d b
e c a . 【知识点:等比性质】
解：4
343，.
问题探究三 什么是黄金分割？怎么求黄金比？ ●活动1. 探究黄金比. 动手操作，然后算一算，完成下面的填空： 度量线段AC 、BC 的长度，线段AC=____，BC=____，计算AB AC =____,AC BC =____, AB AC 与AC
BC
的值相等吗？
活动2 计算黄金比. 你能求出黄金比吗？引导学生通过列方程求出黄金比。

2.AC BC
AC AB BC AB AC ==⋅解：由
，得
11.AB AC x BC x ===-设，，则
221(1),10.x x x x ∴=⨯-+-=即
12.x x 解这个方程，得
0.618.AC
AB
=≈所以，黄金比
归纳：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC
BC
AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其中
AB AC =215-≈0.618. 即21
5-==AC
BC AB AC ，简记为：2
15-==长短全长． 说明：黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个. 黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为2
1
5-，精确到0.001为0.618. ●活动3 确定黄金分割点.
提出问题：如何找到一条线段的黄金分割点？引导学生用尺规作图找出一条线段的黄金分割点。

合作探究，用尺归作图作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=2
1
AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB. （3）在AB 上截取AC=AE. 点C 即为线段AB 的黄金分割点. ●活动4 黄金比的应用
例： 如图，已知等腰ΔABC 中，AB=AC ，36BAC ∠=，BD 平分ABC ∠交BC 于点D ，求证：
2
1
5-=
AC BC 。

分析：由题意可证得BC=BD=AD 。

易证ΔBDC ∽ΔABC ，可得
BC DC AC BC =，即AD
DC
AC AD =，
∴点D 是AC 的黄金分割点，∴
215-=AC AD ，故21
5-=
AC BC 。

归纳：黄金三角形：底与腰的比是
2
1
5-的等腰三角形叫做黄金三角形. 黄金矩形：宽与长的比是2
1
5-的矩形叫做黄金矩形. ●活动5 应用练习
⒈已知线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC=________,BC=________. 【知识点：黄金分割，黄金比】 解：15-，53-.
2.点C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，若AB=20cm ，则CD=_______cm. 【知识点：黄金分割，黄金比】 解：40-520.
●活动6 课外在网上去搜索黄金分割的应用. 3．课堂总结 【知识点梳理】
（1）比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积．即若d
c
b
a
=，则ad=bc ． （2）更比性质：交换比例的内项或外项，比例仍成立．即
d b c a d c b a =⇔=． （3）反比性质：把比的前项、后项交换，比例仍成立．即c
d
a b d c b a =⇔=．
（4）合比性质：在一个比例里，第一个比的前后项的和（或差）与它后项的比，等于第二
个比的前后项的和（或差）与它的后项的比.即如果
d c b a =，那么d
d c b b a ±=±． （5）等比性质：如果d c b a ==f
e =…=n m
（b +d +f…+n ≠0）,那么
b
a n f d
b m e
c a =++++++ （6）黄金分割：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC
BC
AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其中
AB AC
=2
15-≈0.618. （7）黄金三角形：底与腰的比是
2
1
5-的等腰三角形叫做黄金三角形.
黄金矩形：宽与长的比是2
1
5-的矩形叫做黄金矩形. 【重难点突破】
（1）比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差
变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d
c d c b a b a c
c
d a a b d c b a 等等．
（2）等比性质的证明可运用“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，引入比值k 的方法是解决有关比例计算变形中的一种重要方法，以后经常会用到．应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
（3）黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个.若点C 、D 是线段AB 的两个不同的黄金分割点，则AB CD )25(-=. 4．随堂检测
（1）把mn=pq 写成比例式写错的是（ ）
n p q m A =.
q n m p B =. p n m q C =. q p n m D =
.
【知识点：比例的基本性质】 答案：D 解析：略
（2）若
35=a b ，则=+a b
a （ ） A ． 32 B ．58 C ．38 D ．5
2
答案：C 解析：略
【知识点：比例的合比性质】 （3）若
234a b c ==，则23a b c
a
++等于（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【知识点：比例的性质】 答案：C 解析：略
（4）若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则
BC
AB 的值为（ ）
2
【知识点：黄金比】 1.答案：C 解析：略 二、填空题
（5）0.618是黄金分割率，当环境温度与人的正常体温（36.5℃）的比值等于黄金分割率时，机体的新陈代谢、生理节奏功能均处于最佳状态，则环境温度为________时，人感到最舒适.
【知识点：黄金分割率】 2.答案：22.6℃ 解析：略
（三）课后作业 基础型 自主突破
1. 已知
52
3=x ，则x 的值是（ ） A.103 B.152 C.310 D.215
【知识点：比例性质】 答案：B 解析：略 2. 若
45x y =，则2x y x y
-+的值为（ ） A.13 B.23 C.1 D.32
【知识点：比例性质】 答案：A 解析：略
3. 若3a =4b ，则下列各式中不正确的是（ ）
A.14a b a -=
B.73a b b +=
C.13a b b -=
D.7b a
b a
+=-
【知识点：比例性质】 答案：D 解析：略
4. 已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2=BC •AB ，则下列式子成立的是（ ）
A.AC BC =
B.AC AB =
C.BC AB =
D.CB AC = 【知识点：黄金分割】 答案：B 解析：略
5. 若线段AB =2，且点C 是AB 的黄金分割点，则BC 等于（ ）
1 B.3 C.1
2
1或【知识点：黄金分割】 答案：D 解析：略 6. 已知，
2a c e b d f ===，则3535a c e
b d f
-+=-+（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 【知识点：比例性质】 答案：C 解析：略 能力型 师生共研
7. 若a 、b 、c 、d 是互不相等的正数，且
a c
b d
=，则下列式子错误的是（ ） A.a b c d b d --= B.a b c d a b c d --=++ C.22
22a c b d = D.1111
a c
b d ++=++ 【知识点：比例性质】 答案：D 解析：略 8. 已知：
234
x y z
k ===，且2x -3y +z =10，则x +y +z =（ ） A ．90 B ．-90 C ．70 D ．-70
【知识点：比例性质】
答案：B
解析:∵234
x y z k ===，∴x=2k,y=3k,z=4k. ∵2x －3y+z=10，2×2k －3×3k+4k=10
解得10k =-，
∴x+v+z ＝2k+3k ＋4k=9k=()910⨯-=﹣90.
故选B
9. 如果
c a b k a b b c c a
===+++，那么k 的值为（ ） A ．-1 B ．12 C ．2或-1 D ．12或-1 【知识点：比例性质；数学思想：分类讨论】
答案：D 解析：∵c a b k a b b c c a
===+++，∴c=k(a+b), a=k(b+c), b=k(a+a). ∴a ＋b ＋c ＝k(a+b)+ k(b+c)+ k(a+a)=2k(a+b+c).
当a ＋b ＋c ＝0时，1c c k a b c
=
==-+- 当a ＋b ＋c ≠0时，2k=1，∴12k = 故选D
10.人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感．某女士身高1.65m ，下半身1m ，她应选择穿多高的高跟鞋看起来更美丽？（精确到0.1cm ）
【知识点：黄金分割，黄金比；数学思想：方程思想】
答案：见解析
解析：设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则
618.0516100=++x
x ，解得：x≈5.2cm ． 经检验知x≈5.2是原方程的解，
故她应选择穿5.2cm 的高跟鞋看起来更美丽
探究型 多维突破
11.宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形的画法：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的
A ．矩形ABFE
B ．矩形EFCD
C ．矩形EFGH
D ．矩形DCGH
【知识点：黄金分割，黄金矩形】
答案：D
解析：∵CG =CF )15(-，GH =2CF ， ∴
2152)15(-=-=CF CF GH CG ． ∴矩形DCGH 是黄金矩形．
故选D ．
12.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且（c-a ）︰（b-2a ）︰（2c-b ）＝4︰1︰7，试判断△ABC 的形状。

【知识点：比例性质，直角三角形的判定】
答案：见解析
解析：解：由题意，得
72124b c a b a c -=-=-. 设k b c a b a c =-=-=-7
2124， 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-k b c k a b k a c 7224 解得∴⎪⎩
⎪⎨⎧===6.5k 65.2c k b k a 因为2222224
169)6()2.5(c k k k b a ==+=+, 即222c b a =+. 所以此三角形是直角三角形.
自助餐
一、选择题
1.若a ：b =2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A.2a =3b
B.3a =2b
C.23b a =
D.13a b b -=
【知识点：比例性质】
答案：
B
2.若2233
x y y x -=-，则y x 为（ ） A.512 B.125 C.712 D.512-
【知识点：比例性质】
答案：A
解析：略
3.已知线段AB =4，点P 是它的黄金分割点，AP ＞PB ，则PB =（ ）
C.4
D.6-【知识点：黄金分割】
答案：D
解析：略
4.已知：4==a c e b d f
=，且a +c +e =8，则b +d +f 等于（ ） A ．4 B ．8 C ．32 D ．2
【知识点：比例性质】
答案D
解析：略
5.若578
a b c ==，且3a -2b +c =3，则2a +4b -3c 的值是（ ） A ．14 B ．42 C ．7 D ．
143 【知识点：比例性质】
答案：D
解析：略
6.设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果a c c b b a b a
-==+，那么（ ） A ．3b =2c B ．3a =2b C ．2b =c D ．2a =b
【知识点：比例性质】
答案：A
解析：略
7.2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .
【知识点：比例性质】
答案：3
解析：略
8.已知点C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，若CD=20cm ，则AB=_______cm.
【知识点：黄金分割、黄金比】
答案：
解析：略
9.若235==a b c ，则222
________________a b c ab bc ac
++=++. 【知识点：比例性质】 答案：3831
解析：解：设235
a b c k ===，则a=2k, b=3k, c=5k. ∴()()()2222222223538382335253131
k k k a b c k ab bc ac k k k k k k k ++++===++⋅+⋅+⋅. 故答案为3831
10.在△ABC 与△DEF 中，已知
34AB BC CA DE EF FD ===，且△ABC 的周长为18厘米，求△DEF 的周长.
【知识点：比例性质】
答案：见解析 解析：∵34AB BC CA DE EF FD ===，∴34AB BC AC AB DE EF DF DE ++==++.即34
ABC DEF S AB S DE ==△△. 又因为△ABC 的周长为18厘米，所以S △DEC ＝418243
⨯=厘米， 即△DEF 的周长为18厘米.
11.已知线段a ，b ，c ，d 成比例，求证：
d
c d c b a b a -+=-+. 【知识点：比例性质】
答案：见解析
解析：∵a ，b ，c ，d 成比例，∴d c b a =，①
∴d
d c b b a +=+，② d
d c b b a -=-，③ ②÷③，可得d c d c b a b a -+=-+.。