MATLAB语言与控制系统仿真-参考答案-第7章

7.3控制系统根轨迹分析MATLAB 仿真实训
7.3.1实训目的
1. 掌握运用MATLAB 绘制180度、0度根轨迹图的编程方法;
2. 学会通过根轨迹图获取相关信息的方法；
3. 利用仿真结果对系统根轨迹进行分析；
4.
学会通过根轨迹图分析和解决一些实际问题。

7.3.2实训内容
1. 单位反馈系统的开环传递函数为
试编程绘制闭环系统的根轨迹。

并回答 (1 )闭环系统稳定的 K g 的取值范围； (2 )系统的阶跃响应有超调的 Kg 的取值范围;
(3 )分离点的坐标。

%ggj01.m
z=[-1]； p=[0;-2;-3]; k=[1]; sys=zpk(z,p,k);
系统的阶跃响应有超调的 K g 的取值范围：K g 0.419
分离点的坐标：d 2.47
2. 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) s(s 1)(s 3.5)(s 2 6s 13)
试编程绘制闭环系统的根轨迹。

并回答
G(s)
Kg(S 1) s(s 2)(s 3)
(1 )闭环系统稳定的K的取值范围;
(2) 根轨迹与虚轴的交点坐标； (3) 分离点的坐标。

ggj02.m
%根轨迹仿真实训第 2题 n=1;
d=co nv([1,0],co nv([1,1],co nv([1,3.5],[1,6,13]))); rlocus( n,d)
10 -s
由图上数据可知:
闭环系统稳定的 K 的取值范围：0 K 70.9 ； 根轨迹与虚轴的交点坐标：
j1.02 ；
分离点的坐标：d 0.403。

3. 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G(s)
- s(s 4)( s 4s 20)
试编程绘制闭环系统的根轨迹。

并回答 (1 )闭环系统稳定的
K 的取值范围；
(2) 根轨迹与虚轴的交点坐标； (3) 各个分离点的坐标。

%根轨迹仿真实训第 3题
Root Locus
6
4
0 ■2
-10
-4
0 2
斗
6
Real Axis
Daimninn- -Fl IT10125
System 割g j ： i go
^ainc £4
祁怎比〕：3.15
Pole ： -2 + 7.51e-D06i Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (racVsec): 2
由图上数据可知：
闭环系统稳定的 K 的取值范围：0 K 262 ； 根轨迹与虚轴的交点坐标：
j3.18 ；
分离点的坐标：d,
2，d 2,3
2 j2.45。

4. 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)—
s(s 2)
K 的变化范围为0
，试编程绘制闭环系统的根轨迹。

并回答
(1 )闭环系统稳定的 K 的取值范围； (2) 根轨迹与虚轴的交点坐标； (3)
系统的单位阶跃响应无超调的
K
的取值范围。

解：系统的根轨迹方程
K(1 s), s(s 2)
%根轨迹仿真实训第4题 n=[-1,1]；
d=co nv([1,0],[1,2]);
Root Locus
T Eystemc sys
；仙in 262
! Pole: OB0399+3J81
Systems sys G 亦帀100 Pole- -2 - 2.45i Damping: UB32 Ovarslwort (%): 7 63 Frequency (red/sec): 3.16
Real Axis
£2 xv
﹂﹂®﹂6
rlocus (n,d)
闭环系统稳定的 K 的取值范围：0 K 199; 根轨迹与虚轴的交点坐标： j1.4 ； 系统的单位阶跃响应无超调的
K 的取值范围：0 K 0.536。

5. 设反馈控制系统中
(1)编程绘制闭环系统的根轨迹，并判断闭环系统的稳定性;
(2)如果改变反馈通路传递函数使 H(s) 1 2s ，试判断H(s)改变后系统的稳定性，并
说明H (s)改变所产生的效应； 解：(1)根轨迹方程为 G(s)H (s) 根轨迹绘制的仿真程序如下：
n=1;
d=co nv([1,0,0],co nv([1,2],[1,5])); sys=tf( n, d); rlocus(sys)
:oi Locus
G(S)
K s 2(s 2)(s 5)
H(s) 1
1,
K s 2(s 2)(s 5)
10
s
L
由图知闭环系统在一定范围内( o K 22.7 )稳定；H(s)改变所产生的效应：系统由不
稳定变为在一定范围内稳定，改进了系统的稳定性。

6.实系数多项式函数
A(s) s3 5s2(6 a)s a
欲使A(s) 0的根皆为实数，试确定参数a的范围并进行验证。

解：由A(s) s3 5s2(6 a)s a 0整理可得
-10 -S-B -4 -2 0 24B
Real Axis
由图知闭环系统不稳定；
即K
s2 (s
(2s 1) ,
1
2)(s 5)
(2)根轨迹方程为G(s)H(s) 1,
n=[2,1];
d=con v([1,0,0],co nv([1,2],[1,5]));
sys=tf(n ,d);
rlocus(sys)
8
8
Rooi Locus
4
2
>
﹂
«5
匚
*
E
-
root Locus
Reel A A I S
0 2 4
幻
左
匚
ff
t
-
4
Syslem: sys：
Cant Q.419
Pole- -2.47
Donring: 1
Overshoot (%); 0
Frequency (rad/sec): 2.47
由图可知，当a [0, 0.419]时方程A(s) s3 5s2 (6 a)s a 0的根均为实数根；
验证：当a 0.3时，方程A(s) s3 5s2(6 a)s a s35s2 6.3s 0.3 0 的根
应该均为实数根，具体通过解方程验证如下：
>> d=[1,5,6.3,0.3];
>> roots(d) ans =
-2.7436
-2.2068
-0.0495
当a 0.5时，方程为A(s) s3 5s2(6 a)s a
图上看存在2个复数根。

具体通过解方程验证如下：
>> d2=[1,5,6.5,0.5];
>> roots(d2) ans =
-2.4590 + 0.2236i
-2.4590 - 0.2236i
(s 1)
a -3 2 1
s3 5 s26s
绘制根轨迹：n=[1,1];
d=[1,5,6,0]; sys=tf(n, d);
rlocus( n, d);
Root Locus
s3 5s2 6.5s 0.5 0,从根轨迹■8------------------- 1----------------- ------------------- 1 ------------------ ' ------------------ 1 ------------------
■3-2.5 -2 -1 5 -1 -0.5 0
Real Axis
-0.0820
7.已知反馈控制系统的开环传递函数为
稳定性：K [0, 16.4)时闭环系统稳定；
1
假设为正反馈，则根轨迹方程为
K 「
丄于
(s 2 2s 2)(s 2s 5)
— -
(s 2 2s 2)(s 2 2s 5)
n=_1;
d=con v([1,2,2],[1,2,5]); sys=tf( n, d); rlocus(sys)
G(s)H(s)
K
(s 2 2s 2)(s 2 2s 5)
但反馈极性未知，欲保证闭环系统稳定，试确定根轨迹增益 K 的范围;
解:假设为负反馈，则根轨迹方程为
K = 2
1
(s 2s 2)(s 2s 5)
n=1;
d=con v([1,2,2],[1,2,5]); sys=tf(n, d);
1，整理可得:
1，仿真程序如下:
-2 -I 0 Real
1
roiMLixuis
3
1 Q 1
-
Root Locus
Syslem: sys ：
:俳ti ； 1Q
Pole ： 0.00118 :Dmphg: -1
! Overshoot^); 0
Frsquency (radAec): 0.00113
稳定
性：K [0,
10)时闭环系统稳定；
欲保证闭环系统稳定，不管系统为正反馈或负反馈，当 K [0, 10)时闭环系统必然是稳
定的。

8. 设反馈控制系统中
.2 2 2 ，
(s 2s 2)( s 2s 4)
(1) 编程绘制闭环系统的根轨迹，并分析闭环系统的稳定性。

(2)
确定分离点的坐标。

解：根轨迹方程为 K 2 (s 2 2s
sys 仁tf([1],[1,2,2]); %sys1 sys2=tf([1],[1,2,4]); %sys2 sys3=tf([1],[1,2,4]); %sys3
1 2)(s
2 2s 4)2 sys=sys1*sys2*sys
3 rlocus(sys)
1
2 s
2s
1 2
2 s
2s
1
4
2 s 2s 4
%
sys
1 _____________ (s
2 2s 2)(s 2 2s 4)2
-1
G(s)
H(s) 1
3
1
0 -5
■1
Real Axis
Root Locus
S/stem: sys
Gain: 1.19
129i
0.812
4 (%)； 8.77
w 1 哥
System：每粋
Gaine 31 3
:P Je: -0.00447 -1 Ji
I Lumping 0LJUJ44
；Overiheot 0B.9
J F^quenjy 1.3■6-5 -4 -3 -2 ・i 0
Real Ax®
稳定性：K [0, 31.3）时闭环系统稳定；
分离点坐标：1 j1.29
9.绘制以下系统根轨迹(注意180度根轨迹和0度根轨迹的区分)
1
(1)K * 1
s(s 2)
n=1;
d=con v([1,0],[1,2]);
sys=tf( n, d);
rlocus(sys);
Roof Locus
OB
OB
Rote： -1 *
DMiplng.
Frp-qiipn
Root Locus
-0.3
-2 -1.3 -1 6 -1.4 -12 -1 -0 0 -0J6 -0 4 -02
Re^l Axi^
整理为：K *
1
(s 1)(s 3)(s 4)
n=-1;
d=con v([1,1],co nv([1,3],[1,-4])); sys=tf(n, d);
rlocus(sys);
(3) K * 1
s(s 1)(s 2)(s 4)
n=1;
d=con v([1,0],co nv([1,1],co nv([1,2],[1,4])));
sys=tf(n, d);
rlocus(sys);
(2) K *
1
(s 1)(s 3)(s 4)
Real A XE
5
5
4
Root Locus
10
2 0^-
«
g A
﹂
Rtsl Axis
Roar Lccu$
6
4
u
闻
一
迸
£?fl
u
可
归
(S 1)(S 4) (4) K *
s2(s 3)(s 6)(s 5)
1 * (s 1)(s
4) . 整理为：K * p
1
s 2(s
3)(s 6)(s 5)
n=-1*co nv([1,1],[1,4]);
d=con v([1,0,0],co nv([1,3],co nv([1,-6],[1,5]))); sys=tf( n, d); rlocus(sys);
(5)K* 2
(s
1)(s 8)2
1
s (s 3)(s 5)
z=[-1;-8]; p=[0;0;-3;-5;-5]; k=[1];
sys=zpk(z,p,k); rlocus(sys);
啊一盏 A
﹂
-14 12 ■mi
4
-
2
(s (6) K* \ 1)(s 8)2
1
s 3(s 3)(s 5)
整理为：K *
1* (s 3
1)(s 8)2
1
s (s
3)(s 5)
z=[-1;-8;-8]; p=[0;0;0;-3;-5]; k=[-1]; sys=zpk(z,p,k); rlocus(sys);
(7) K *
(S 1)
1
s(s 2)(s 3)(s 4)
z=[-1;-1]; p=[0;-2;-3;-4]; k=[1];
sys=zpk(z,p,k); rlocus(sys);
1U
Rnot Lotus-
5 D E
o
r
< -
\
J
-J
\
n \
r
i \ / j
00
-20
10
ID 3 30
B p 'c 尹
E _g £
Root Locus
林
爰
A
﹂
C U
_
-2.5 *2 -1 Real Axis
-0.5
⑻ K *(s 2 2s 2)2(s 1)(s 2) 1* (s 3)
整理为：K* 2
(s 2 2s 2)2(s %sys1
sys2=tf([1,3],[1,2,2]);
%sys2 1)(s 2) 1 s 2 2s 2 s 3 s 2 2s sys3=tf([1],con v([1,1],[1,2])); %sys3 sys=sys1*sys2*sys3 % sys
(s 1)(s 2) 1* (s 3)
(s 2 2s 2)2(s 1)(s 2)
rlocus(sys)
10. 在空间站，为有利于产生能量和进行通讯，必须保持空间站对太阳和地球的合适指向。

空间站的方位控
制系统可由带有执行机构和控制器的单位负反馈控制系统来表征， 其开
环传递函数为
K (s 20) s(s 2 24 s 144)
试画出K 值增大时的系统根轨迹图，并求出使系统产生振荡的 K 的取值范围，并通
过系统的单位阶跃响应进行验证。

解：仿真程序如下
n=[1,20];
d=co nv([1,0],[1,24,144]); sys=tf( n, d); rlocus(sys);
-5
-4
-3
-2
-1 Q 1
2
3
4
5
Real Axis
4
3
Root Locus
D
-5
使系统产生振荡的 K 的取值范围：K* 16.4;取K* 28做系统的单位阶跃响应，
仿
30
10
Root Locus
System: sys Gain; 1G4
Fold ： -4.75 +1.4&CO7I
Damping; 1
Overs honl (%): 0 Frequency
(radfeec): 4.75
-13 ^16 -14
-12 -10 -6 止 -4
-2 Real Axis
MATLAB 语言与控制系统仿真实训教程 -参考答案-第7章
21
真程序如下：
n o=co nv([28],[1,20]);
do=co nv([1,0],[1,24,144]);
[n c,dc]=cloop( no ,do)
sysc=tf( nc,dc);
step(sysc);
i.
1
Tbna 忖吨 由阶跃响应曲线可以看出为
震荡形式；
04
芒£
d。