江西省新余一中11-12学年高一下学期第一次段考数学试题

A
1
B
1
C
1
A
B
E
C
新余一中2011—2012年高一年级下学期第一次段考 数学试卷（满分：150分 考试时间：120分钟。

）
命题人：蒋冬莲 2012。

3
第一大题：选择题 （每小题5分，共50分） 1。

sin(π6
29-)等于（ )
A ．2
1 B ．2
1- C ．
2
3 D ．2
3-
2. 终边在直线x y =上的角的集合为（ ） A 。

{}Z k k ∈+•=,453600
ββ B. {}4
ππββ+=k
C 。

{}Z k k ∈+=,4
2ππββ D 。

{}Z k k ∈+=,4
ππββ
3。

已知点(1,2,11)A -，(4,2,3)B ，(6,1,4)C -，则△ABC 的形状是( ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 4、已知全集U R =,集合{}{}R x x y y B x y x A ∈==--==,sin ,11，则A B ⋂= （ ）
A. ∅ B 。

(1,2]
C 。

[0,2] D. [0,1]
5. 若
⎪⎩⎪
⎨⎧∈--∈=]1,0[,)3
1()0,1[,3)(x x x f x x ,则[]3(log 2)f f 的值为（ ）
.
A 3
3
.B 33- .C 12
-
.D 2-
6．若直线1
l :01=+-y mx 与直线2
l ：022
=-+y m x 互相垂直，则m 等于( ）
A 。

0 B. 1 C 。

0或1 D. 1或2
7．如图，三棱柱111
ABC A B C -中，侧棱1
AA ⊥ 底面111A B C ，底面三角形111
A B C 是正三角形,
E 是BC 中点,则下列叙述正确的是（ ） A ．1CC 与1
B E 是异面直线
B ．A
C ⊥平面11
ABB A
C ．AE ，11B C 为异面直线，且11
AE B C ⊥
D ．11
//AC 平面1
AB E
8.把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位,再向下平移2个单位后,所得直线正好与圆x 2+y 2+2x —4y=0相切，则实数λ的值为( ）
A.3或13
B.-3或13 C 。

3或-13 D 。

—3或-13
9.方程3)2(42
+-=-x k x 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ）
.A )125,0( .B ]43,31[ .C ),125(+∞ .D ]4
3,125(
10。

若直线1=+b
y
a x 经过点M （cos α,sin α），则 ……( ） A.a 2+
b 2≤1 B 。

a 2+b 2≥1
C 。

1112
2
≤+b a D 。

1112
2
≥+b
a
第二大题：填空题 （每小题5分,共25分）。

11。

设0<a ，角α的终边经过点P （a a 3,4-），那么ααcos sin 2+等于 。

12。

圆,25)2()1(:2
2
=-+-y x C 被直线047)1()12(:=--+++m y m x m l 截得的弦长最短时m 的值等于 。

13.sin ]6
,6[,3
21ππ-∈+-=x m m x ，则m 的取值范围是 。

14。

圆2
2
210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆的方程是2
2
10x y +-=，
则实数a 的值是 ．
15．给出下列命题
A ．一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直；
B ．两条异面直线不能同时垂直于一个平面;
C ．直线倾斜角的取值范围是：0180θ︒<≤︒;
D ．两异面直线所成的角的取值范围是：090θ︒<<︒；
E.正弦函数在第一象限内为增函数；
A
C
F ．x y 2sin =的图像关于点)0,2
(π对称.其中正确的是 （写
出所有正确的序号）。

第三大题：解答题 （16，17，18，19每题12分，20题13分，21题14分。

)
16。

（本小题满分12分)
如图:在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点。

（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ;
（Ⅱ)若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面
17。

(本小题满分12分)
已知α是第三象限角，且)
cos()sin()
sin()23cos(
)2sin()(αππααπαπ
π
αα--⋅---⋅+⋅-
=
f 。

（1）化简)(αf ；
（2)若)2
3cos(πα-=5
1，求)(αf 的值。

18. (本小题满分12分）
圆82
2
=+y x 内有一点(1,2)P -，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦， (1)当α＝135０时，求AB ;
（2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线
AB 的方程； （3）设过P 点的弦的中点为M ，求点
M 的轨迹方程。

19。

（本小题满分12分）
已知幂函数)()(3
22Z m x
x f m m ∈=++-为偶函数，且在),0(+∞上是增函数． （1）求)(x f 的解析式；
（2）若)1,0]()([log )(≠>-=a a ax x f x g a
在区间)3,2(上为增函数，求实数a 的取值范围。

20。

（本小题满分13分）（1)已知b a x a x f +++-=2)6
2sin(2)(π,]4
3,4
[ππ∈x ，是
否存在常数Q b a ∈,时，使得)(x f 的值域为［13,3--］
？若存在，求出b a ,的值,若不存在，说明理由。

(2)若关于x 的方程022)sin(sin 222
=+-+++-a a x x π在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-6,6ππ内有实数根,求
实数a 的范围.
21．（本小题满分14分）已知点(2,0)P 及圆C ：2
2
6440x y x y +-++=。

（Ⅰ）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1,求直线l 的方程；
（Ⅱ)设过点P 的直线1
l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；
（Ⅲ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点,是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2
l 垂直平分弦AB ？若存在,求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分）
11。

5
2- 12。

4
3-
13。

4
1-
≥m 14.2 15. B ，F 。

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16.（ (本小题满分12分)
证明：（Ⅰ)∵EF 是SAC ∆的中位线，
∴EF ∥AC .
又∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴EF ∥平面ABC .……………………………………6分
（Ⅱ）∵SA SC =，AD DC =，
∴SD ⊥
AC 。

∵BA BC =,AD DC =, ∴BD ⊥AC .
又∵SD ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，SD DB D =，
∴AC ⊥平面SBD , 又∵AC ⊂平面ABC ， ∴
平
面
SBD
⊥
平面
ABC (12)
分
17。

(12分）解：（1）()()
αααααααsin cos sin sin sin cos =-⋅⋅⋅-=f ……………………6分
（2）由已知：5
1sin 2
3cos 23cos =-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-ααππα 5
1sin -=∴α
故()5
1-=αf
……………………………12分
18 （12分)解：（1）过点O 做OG AB ⊥于G ，连结OA ，当α=1350时,直线
AB 的斜率为—1,
故直
线
AB
的方程x+y-1=0，∴
OG=d=2
2
2
100=-+， …………2分
又∵r=22，
∴OA =
=，∴
2AB OA == …………4分
(2）当弦AB 被P 平分时，OP AB ⊥，此时K OP =2
1-，
∴AB 的点斜式方程为05212
12=+-+=-y x x y ），即（。

(8)
分
(3）设AB 的中点为(,)M x y ，AB 的斜率为K ，OM AB ⊥,则⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=-x k y x k y 1
1
2）（， 消去K ，得：0222
=+-+x y y x
，当AB 的斜率
K 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点的轨迹方程为:0222
=+-+x y y x
.
…………12 分
19.。

（12分）解：（1）3
22)(++-=m m x
x f 在),0(+∞增，0322
>++-∴m m
,2
3
1<
<-∴m 。

又Z m ∈，10==m m 或，
而)(x f 为偶函数，2
)(,1x x f m ==∴-———---—---—-————-———5分
（2))1,0]()([log )(≠>-=a a ax x f x g a
在)3,2(上为增函数，
)(log )(2ax x x g a
-=由u y a
log =和ax x u -=2
复合而成，
当10<<a 时，u y a
log =减函数，ax x u -=2
在)3,2(为增函数,复合为减，
不符
⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤>∴0
2422
1a a a ，21≤<a -—-—--——-—--—---———-———---—-——--———12分 20。

（13
分）解：（1）∈x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡43,4ππ则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+23,162sin ,35,3262ππππx x —---—-——-3分
当0 a 时，则⎪⎩
⎪
⎨⎧-=++⋅--=++--3223
21
32)1(2b a a b a a ⇒⎩⎨⎧-==531b a 此时Q b ∉ ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=++⋅--=++--13223
232)1(2b a a b a a ⇒ 此时a ；
当0 a 时，则Q b ∈
满足条件。

----—--————-——--7分
（2）方程为：817
41sin 22sin sin 222
22-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=-+=-x x x a a
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππx
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴21,21sin x 2sin sin 22-+∴x x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--∈1,817
1128
17
2=⇒-≤-≤-∴a a a 满足条件…………13分
21 （14分）
解:（Ⅰ）设直线l 的斜率为k （k 存在)则方程为0(2)y k x -=-。

C 的圆心为(3,2)-，半径3r =，
由
232211
k k k +-=+，
解得34
k =-.
所以直线方程为3(2)4
y x =--, 即 3460x y +-=.
当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.………………4分
(Ⅱ）由于
CP =d ==
所以
d =CP =
所以P 为MN 的中点。

故
以
MN
为直径的圆
Q
的方程为
22(2)4x y -+= (8)
分
（Ⅲ）把直线10ax y --=即1y ax =+．代入圆C 的方程，
消去y ，整理得
22(1)6(1)90a x a x ++-+=．
由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点， 故2
236(1)
36(1)0a a ∆=--+>，
即20a ->，解得0a <．
则实数a 的取值范围是(,0)-∞． 设符合条件的实数a 存在，
由于2
l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在2
l 上．
所以2
l 的斜率2PC
k
=-，而1AB PC
k a k ==-
，
所以12
a =．
由于1(, 0)2
∉-∞,
故不存在实数a ，使得过点
(2, 0)
P 的直线2
l 垂直平分弦
AB ． (14)
分。